第三单元 第16课时　二次函数的实际应用

第三单元函数第16课时二次函数的实际应用2江苏真题随堂练3分层作业本1多设问串核心一、利润最值问题1.

电影《哪吒之魔童闹海》频频刷新票房记录，成为全

民话题，与此同时，与之相关的周边产品也在市场上热销起来.某商店售

卖哪吒手办，每件手办的进价为40元，在销售过程中发现，周销售量

y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，其部分对应数据(x，y)为(45，

110)，(60，80).(1)求y与x之间的函数表达式(不要求写出x的取值范围)；多设问串核心

y与x之间的函数表达式为y=－2x＋200(2)当该手办的销售单价定为多少元时，每周获得的利润最大？最大利润

是多少？(2)设每周可获得利润为w元，由题意得w=(－2x＋200)(x－40)=－2x2＋280x－8000=－2(x－70)2＋1800，∵－2＜0，∴当x=70时，w有最大值，最大值为1800，∴当该手办的销售单价定为70元时，每周获得的利润最大，最大利润是

1800元；(3)由于市场的原因，该手办的进价每件增加了n元(n＞0)，该商店通过自

己的销售记录发现，当销售单价大于76元时，每周的利润随着销售单价的

增大而减小，求n的取值范围.(3)设进价增加后，每周可获利润为p元，由题意得p=(－2x＋200)(x－40－n)=－2x2＋2(n＋140)x－200(n＋40)，

∵当销售单价大于76元时，每周的利润随着销售单价的增大而减小，

∴n的取值范围为0＜n≤12.2.

关注眼睛健康，共筑“睛”彩大视界.某电商为积极响

应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴.已知该款护眼贴的进价为50元/

盒，销售一段时间后该电商发现这款护眼贴的月销售量y(盒)与销售单价

x(元)是一次函数的关系，其对应关系如下表：x(元)606570y(盒)140013001200(1)求出月销售量y与销售单价x之间的函数关系式(不要求写自变量的取

值范围)；

x(元)606570y(盒)140013001200(2)该电商规定护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的

70%.①若该电商某月销售这种护眼贴获利14000元，则销售单价为多少元？(2)①由题意得(x－50)(－20x＋2600)=14000，解得x1=60，x2=120，由题意得50≤x≤50×(1＋70%)，即50≤x≤85，∴x=60，答：销售单价为60元；月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=－20x＋2600(2)该电商规定护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的

70%.②设销售这种护眼贴每月获利w(元)，当销售单价为多少元时，每月获利

最大？最大利润是多少元？月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=－20x＋2600②由题意得w=(x－50)(－20x＋2600)=－20x2＋3600x－130000=－20(x

－90)2＋32000，∵－20＜0，50≤x≤85，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=90，∴当50≤x≤85时，w随x的增大而增大，∴当x=85时，w有最大值，w最大=31500元.答：当销售单价为85元时，每月获利最大，最大利润是31500元.二、几何图形问题3.

(苏科九下习题改编)某校开展劳动实践活动，九(1)班需

要一块如图所示的矩形菜地ABCD，学校内有一块空地，如何用一段长为

60m的栅栏围成矩形菜地，为了节省栅栏，计划让菜地的一边靠墙(墙长

24m)，设AB的长为xm.(1)BC的长为

m(用含x的代数式表示)；(60－2x)(2)设菜地的面积为Sm2，求S与x之间的函数关系式；解：(2)由题意得，60－2x＞0，且60－2x≤24，∴18≤x＜30，∴S=AB∙BC=x(60－2x)=－2x2＋60x(18≤x＜30)；用一段长为60m的栅栏围成矩形菜地，计划让菜地的一边靠墙(墙长24m)，设AB的长为xm.BC的长为(60－2x)mS=－2x2＋60x(18≤x＜30)(3)求围成菜地的最大面积；(3)∵S=－2x2＋60x=－2(x－15)2＋450，∵－2＜0，18≤x＜30，∴当x=18时，S有最大值，S最大=432，∴围成菜地的最大面积为432m2；S=－2x2＋60x(18≤x＜30)(4)当围成菜地的面积为400m2时，求AB的长.(4)令－2x2＋60x=400，解得x1=20，x2=10(不符合题意，舍去)，∴AB的长为20m.三、抛物线型问题4.

(苏科九下练习改编)如图，小明在玩掷沙包游戏，沙包

的运动轨迹是条抛物线，在图中建立平面直角坐标系，小明在点O处，沙

包在距离地面1.6m处被抛出，在离原点水平距离8m处落地，相关数据如

图所示.(1)求沙包运动轨迹所在抛物线的表达式；

沙包运动轨迹所在抛物线的表达式为y=－0.1x2＋0.6x＋1.6(2)求沙包在运动过程中的最大高度；(2)∵y=－0.1x2＋0.6x＋1.6=－0.1(x－3)2＋2.5，∴沙包在离原点水平距离3m处达到最大高度，最大高度为2.5m；沙包运动轨迹所在抛物线的表达式为y=－0.1x2＋0.6x＋1.6(3)小华跳起时最高能摸到2.1m.若小华能在沙包落地前接住沙包，小明和

小华之间的距离为nm，求n的取值范围(两人之间的距离大于3m).(3)令y=0，则0=－0.1x2＋0.6x＋1.6，解得x1=－2(舍去)，x2=8；令y=2.1，则2.1=－0.1x2＋0.6x＋1.6，解得x1=1(舍去)，x2=5，∴小华距离小明5米到8米(不包括8米)时，能在沙包落地前接住沙包，∴n的取值范围为5≤n＜8.江苏真题随堂练类型一利润最值问题(3年2考)1.(2023宿迁26题)某商场销售A，B两种商品，每件进价均为20元.调查发

现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元，如果售出A种10

件，B种15件，销售总额为660元.(1)求A，B两种商品的销售单价；

答：A种商品的销售单价是30元，B种商品的销售单价是24元；(2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1

元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种

商品售价.设A种商品降价m元，如果A，B两种商品销售量相同，求m取

何值时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？A种商品的销售单价是30元，B种商品的销售单价是24元(2)设其销售获得的总利润为W元，根据题意，得W=(30－m－20)(40＋10m)＋(24－20)(40＋10m)=－10(m

－5)2＋810，∵A种商品售价不低于B种商品售价，∴30－m≥24，解得m≤6.∵－10＜0，∴当m=5时，W取得最大值，最大值是810元，答：当m=5时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大，最大利润是

810元.新考法综合与实践2.

(2024盐城26题)请根据以下素材，完成探究任务.制定加工方案生

产

背

景背景1◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有

“风”“雅”“正”三种样式.◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装

2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件.◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件

数和“风”服装相等.续表制定加工方案生产背景背

景2每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的

获利情况为：①“风”服装：24元/件；②“正”服装：48元/件；③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果

每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.信息整理现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服

装，列表如下：

探究任务任务1探寻变量关系求x，y之间的数量关系；

探究任务任务2建立数学模型设该工厂每天的总利润为w元，求w

关于x的函数表达式任务2：根据题意，得“雅”服装每天获利为x［100－2(x－10)］元，∴w=2y×24＋(70－x－y)×48＋x［100－2(x－10)］，整理，得w=48y＋3360－48x－48y＋(－2x2＋120x)=－2x2＋72x＋3360(x＞10)；探究任务任务3拟定加工方案制定使每天总利润最大的加工方案.任务3：由任务2得w=－2x2＋72x＋3

360=－2(x－18)2＋4

008，∵－2＜0，x≥10，∴当x=18时，w有最大值，

∵x，y均为正整数，∴x≠18，∵开口向下，∴当x=17或x=19，此时有最大利润，

∴当x=19，y=17时，有最大利润，此时最大利润为4006元，∴70－x－y=34，∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加

工“正”服装，每天获得的总利润最大.类型二几何图形问题(3年2考)3.(苏科九下练习改编)如图是某景区民宿的观景窗户示意图，此窗户的上

部分是由两个全等小正方形组成的大长方形，下部分是两个全等矩形，已

知制作一个窗框需用总长为21m的铝合金材料(不计损耗，中间横框所占

的面积忽略不计)，那么这个窗户的最大观景面积为(B)A.12m2B4.(2025连云港25题)一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2m，面

积为1.5m2.(1)甲、乙两人分别按图①，图②用它设计一个正方形桌面，请说明哪个

正方形面积较大；

解：(1)∵BC=2m，Rt△ABC的面积为1.5m2，

设正方形的边长为xm，如题图①设计方案：∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥CF，∠ADE=∠C=90°，DE=CD=x，∴AD=1.5－x，Rt△ADE∽Rt△ACB，

∴图①的正方形面积较大；(2)丙、丁两人分别按图③，图④用它设计一个长方形桌面.请分别求出图

③，图④中长方形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数表达式，并分

别求出面积的最大值.(2)如题图③设计方案：∵四边形CDEF是长方形，∴DE∥CF，∠ADE=∠C=90°，∴Rt△ADE∽Rt△ACB，

如题图④设计方案：同理得Rt△DEC∽Rt△ABC，

同理得Rt△ADG∽Rt△ABC，

类型三抛物线型问题(3年1考)5.(2025连云港15题)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x－3)2

＋2.5运行，其中