第9讲更新过程

随机数学第9讲更新过程教师:陈萍prob123@1则称{N(t),t0}为更新过程。2.4.1更新过程的定义

显然,更新过程是一个计数过程.在更新过程中,我们将事件发生一次叫作一次更新,从而定义中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的时间,τn是第n次更新发生的时刻.N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数.定义2.4.1设为独立同分布的非负随机变量序列，分布函数为F(x),且F(0)<1。令τ0=0，记2更新过程的基本结论：

过程的统计特性可由序列的共同分布完全刻画；N(t)是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的t，N(t)为取非负整数值的随机变量；的分布函数为

,即在有限时间内不可能进行无穷次更新.N(t)的概率分布为3例2.4.1设更新过程的更新间距服从参数为m,λ的Gamma分布，即的概率密度函数为

求解备查：1）的特征函数为分布函数为：4令,称为过程{N(t),t0}的更新函数。定理2.4.1

对,若F(t)<1,则有2.4.2更新函数

定理2.4.2更新过程{N(t),t0}可由其更新函数M(t)唯一确定.……证…证引理更新函数是自变量的单调递增，有界且右连续函数.…证略

5例2.4.2设更新过程{N(t),t0}具有更新函数,求更新间距T的分布.解:设T的概率密度为f(t),则故更新间距T服从指数分布,{N(t),t0}为Poison过程.--[4]拉氏变换简表62.4.3更新过程的极限性质定理2.4.3推论定理2.4.4设{N(t),t0}为更新过程，{Tn,n1}共同的分布函数为F(x)，Tn的期望为μ，方差为2，则yR，证明参见”S.M.Ross，随机过程，中国统计出版社”,定理某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号的新电池.如果电池的寿命为均匀分布在30小时到60小时内的随机变量，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率为多少？解设N(t)表示在t时间内失效的电池数,则由推论,在长时间工作情况下，电池的更新速率为

而

故电池的更新速率为1/45.EX8(2.4.1)2.4.4更新方程定义2.4.2设已知函数a(t)及分布函数F(t),若未知函数A(t),满足如下积分方程:则称(2.4.1)式为更新方程.定理2.4.5

,

更新函数M(t)满足下列更新方程(2.4.2)定理2.4.6若未知函数A(t)满足更新方程(2.4.1)，则其解为9例2.4.3设{N(t),t0}为更新过程,其更新间距T的分布函数为F(t),记表示t时刻的剩余寿命，对任意固定z>0，令,求证满足更新方程:EX设试用定理2.4.6解出.答案:10定理2.4.7（关键更新定理）设F(x)是均值为的非负随机变量的分布函数,F(0)<1，a(t)是Riemann直接可积的,则更新方程(1)若F是非格点的，则(2)若F是周期为d的格点的,c>0，有的解A(t)满足:11例2.4.3(续)剩余寿命的极限分布记表示t时刻的剩余寿命，对任意固定z>0，令,求提示：设X是非负随机变量，分布函数为F(x),如果期望E(X)存在，则12更新过程的推广

(1)更新报酬过程

定义2.4.6设更新过程{N(t),t0}的时间间隔为随机变量序列{Xn,n1}.其分布为F，Rn(可以依赖于Xn)表示第n次更新时可得到的报酬，且{Rn,n1}独立同分布，再设{(Xn,Rn),n1}独立同分布，令，则R(t)表示在(0,T]中的总报酬，称{R(t),t0}为更新报酬过程。13交错更新过程考虑只有两个状态的系统：开(1)或关(0)，系统在t=0时是开的且持续开的时间为Z1;接着关闭且持续时间为Y1；之后又开着持续时间为Z2，又关闭时间为Y2，如此开关交替重复下去。设{(Zn,Yn),n1}为独立同分布的随机变量序列,记

则{N(t),t0}为更新过程。记称为交错更新过程.14终止更新过程就是不会进行无限次更新的更新过程，它与上面讨论的更新过程的区别在于：事件发生的相邻间隔长度为无穷的概率大于0。终止更新过程定义设独立同分布F(t),F(0-)=0，F(∞)=p<1,则称F相应的记数过程{N(t),t0}为终止更新过程。记N为时间[0,∞)内发生的更新次数，则