第二章空间向量与立体几何章末归纳总结课件(北师大版选修2-1)

空间向量与立体几何第二章章末归纳总结第二章专题探究3知识结构2即时训练4知识结构专题探究1．空间向量的线性运算与数量积运算及其性质是本章的基础，应熟练掌握向量共线与向量共面的概念，共线向量定理与共面向量定理，是解决向量问题和用向量解决立体几何问题的基本依据，讨论三点共线、直线平行、四点共面、向量共面、线面平行等等都需要运用这两个基本原理．[例1]如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与、共面．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：(1)MN∥平面A1BD；(2)平面A1BD∥平面B1D1C.2．利用空间向量判定线面、面面位置关系[例2]如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.[分析]建立合适的空间直角坐标系，可以借助共面向量定理证明(1)，借助于法向量证明(2)．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．[解析](1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.3．空间角[例3]如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.[分析]建立恰当空间直角坐标系，求出相应的向量，利用法向量求解．如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；(2)求二面角B—AC—A1的大小．[解析]如图，以B1为原点，分别以B1C1，B1A1，B1B所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,1,4)，B(0,0,2)，C(1,0,3)．[分析]此题共有3问，包括两个向量的夹角的求解，两异面直线间的距离的求解和点到平面的距离的求解，可建立空间直角坐标系，进行求解．[解析]如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，M(0,0，a)，E(a,0，a)，F(0，a，a)，5．探索性问题[例5]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．这说明A1，B，G，E共面．所以BG平面A1BE.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.[点评]本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力．(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小；(2)求二面角E－AD－C的平面角的余弦值；(3)在线段PC上是否存在一点K，使PC⊥平面KBD成立，如果存在，求出KC的长；如果不存在，请说明理由．即时训练[答案]D[答案]B[答案]B二、填空题4．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，则这个二面角的度数为________．[答案]60°5．在半径为13的球面上有A，B，C三点，AB＝6，BC＝8，CA＝10，则(1)球心到平面ABC的距离为________；(2)过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为________．[答案](1)12(2)3[解析]解法一：连接AC，设AC∩BD＝O，AP与平面BDD1B1交于点G，连接OG.如图所示，∵PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG，(2)存在点Q.证明：依题意，要在A1C1上找一点Q，使得D1Q⊥AP，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点．∵D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，∴D1O1⊥平面ACC1A1.又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.从而D1Q在平面AD1P上的射影与AP垂直．∴存在定点Q满足题意．7.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的余弦值；(3)求点C到平面A1BD的距离．[分析]∵△ABC为正三角形，且平面ABC⊥平面BCC1B1，故可取BC中点O，以O为原点建立恰当