第四讲均值向量和协方差阵的检验

第二章均值向量和

协方差阵的检验

在一元正态总体中，我们已经介绍过什么是假设检验以及其基本思想、计算步骤。比较两个总体的均值、标准差时，我们可以采用检验，t检验，F检验。在多元分析中也涉及到这方面的内容，后面介绍的各种常用统计方法有时要对总体均值向量和协方差阵作检验。那么上述有效的检验方法能否推广到多维正态总体呢？多元正态分布均值向量和协方差阵的检验均值向量的检验协方差阵的检验多个正态总体参数的检验总体均值向量的推断

设是取自多元正态总体的一个样本，这里，现欲检验单个总体均值向量的推断

样本均值和样本方差分别为(1)协方差阵已知时，服从自由度为p的卡方分布，用卡方检验。

（2）若协方差阵未知，用T2检验。两个总体均值向量的检验协方差阵相等的情形

一、两个独立样本的情形

与一元随机变量的情形相同，常常我们需要检验两个总体的均值是否相等。

设从总体，中各自独立地抽取样本和，。

考虑假设若两总体有共同已知协差阵，在H0成立时，检验统计量为若两总体协差阵相等且未知时，

根据两个样本可得μ1和μ2的无偏估计量为其中1当原假设为真的条件下，检验的规则为：协方差阵不等的情形

两正态总体均值与标准差均未知时的均值差的统计推断问题，称为贝伦斯-费希尔问题(Behrens-Fisherproblem)。

分两种情况：

(1)

时：

其中

(2)

，不防假设检验统计量为：

令多总体均值比较

单因素方差分析问题的提出统计的模型及检验方法多重比较检验问题的提出

方差分析：比较3个或3个以上的总体均值是否有显著性差异。用组间的方差与组内方差相比，据以判别误差主要源于组间的方差（不同组工人的产量，条件误差），还是源于组内方差（随机误差）。多个正态总体均值向量的检验

——多元方差分析实验数据如下表方差分析表协方差阵的检验

总体协方差阵是否等于已知常数矩阵的检验总体协方差阵是否等于已知常数矩阵倍数的检验单个总体协方差阵相等的检验多总体协方差阵相等的检验假设有k个多元正态总体，它们的分布分别为。现从每个总体中分别随机抽取了一个样本，要根据这些样本，对于这些总体的协方差阵是否相同进行检验。首先，列出原假设和备择假设。它们分别为：

其次，为构造出检验统计量，记来自第r个总体的第i个样品的观测向量为

记来自该总体的样本的容量为，总的样本容量为n，即，记各个样本的均值向量为：定义各个样本叉积矩阵和全部样本叉积矩阵的总和为：

使用似然比方法，可构造检验统计量为：根据无偏性的要求，巴特莱特（Bartlett）建议将的换成，从而n变为n-k。对变化后的取对数，可得一个近似的检验统计量为：多总体互协方差阵的检验首先将这些观测指标向量合并组成一个长向量，然后将此长向量按原各观测指标向量进行分块，并将此长向量的均值向量和协方差阵也进行相应的分块，则各观测指标向量之间的互协方差阵的检验转化为对此长向量的协差矩阵非对角线各块互协差矩阵的检验。假设原观测指标向量的个数为k，它们所组成的长向量的维数为p，记此长向量为则可将此长向量按原各个观测指标向量剖分为k块，并对此向量的均值向量和协方差阵也进行同样的剖分，使其成为：检验原k个观测指标向量之间的互协方差阵是否为零，就是要检验如下的假设：若对此p维观测指标向量进行了n次观测，得到了一个容量为n的样本并已计算出了样本叉积矩阵向量，则可将此样本叉积矩阵按原k个观测指标向量进行分块，得到如下的分块叉积矩阵为：采用似然比方法，可构造如下的检验统计量为：若对上述统计量进行转换，可得到另外一个等价的检验统计量为：安德生（Anderson）已给出了上述