第五讲幂级数(一)

第二、三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的性质函数项级数与幂级数

第四章一、函数项级数的概念(1)设为定义在区间I上的函数项级数.(2)对若常数项级数所有收敛点的全体称为其收敛域X;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,为其收敛点，

为其发散点,所有发散点的全体称为其发散域

.为级数的和函数

,并写成(4)若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即(3)在收敛域X上,函数项级数的和是

x

的函数称它二、函数项级数的收敛域1.借助于已有级数（几何级数，p级数）敛散性例１.

求级数的收敛域。解：它的收敛域是区间有和函数上面级数可看成以为公比的等比级数。又如,

级数级数发散;所以级数的收敛域仅为2.借助于数项级数，利用比值（根值）法求

利用比值（根值）法判别绝对值级数发散，则原级数也发散的性质。设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.(3)当时,级数可能收敛也可能发散。步骤：1.用比值（根值）法求；2.解不等式求出的收敛区间3.考查时，级数的敛散性；4.写出的收敛域。例2.

求级数的收敛域。解：解不等式原级数化为令得收敛；原级数化为令收敛；原级数收敛域是练习：

求级数的收敛域。#20140303012.借助于数项级数，利用比值（根值）法求1.借助于已有数项级数（几何级数，p级数）敛散性一般函数项级数收敛域求法三、幂级数及其收敛性

(1)形如的函数项级数称为幂级数,其中数列为幂级数的系数

.称令则幂级数化为不失一般性，下面讨论幂级数(2)幂级数的收敛半径与收敛域任何幂级数在0都收敛。由例1知其收敛域是一个区间。定理1.(Abel定理)

若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.在的一切x,该幂级数也发散.点发散,则对满足不等式发散发散收敛收敛发散阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题

,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得

到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,下面用反证法证之.假设有一点满足且使级数收敛,级数在点的x,原幂级数也发散

.

则对一切满足不等式则由前可知也应收敛,与所设矛盾。证毕设发散,界点

因此，当我们从原点出发，沿数轴向两方走，后来遇到的全部是发散点.起初只遇到收敛点，讨论：在界点处函数项级数敛散性正确描述是（）答：在界点处级数可能收敛，也可能发散，在两个界点处的敛散性未必相同，要单独讨论.(a)在界点处函数项级数敛散性相同，且都发散(b)在界点处函数项级数敛散性不同，且必有一个发散(c)在界点处函数项级数敛散性不同，但不能绝对收敛(d)在界点处函数项级数敛散性绝对收敛，条件收敛，发散均可能#2015031301定义1若幂级数在这个R称为幂级数的收敛半径，而把开区间（-R,R）称为收敛区间。幂级数在(－∞,+∞)收敛，规定R=0；幂级数仅在x=0收敛，R=

。(1)幂级数的收敛域是区间；(2)幂级数在(a,b)内收敛，在(a,b)外发散，例3.

设在处收敛，则此级数在处收敛性如何？（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）太难确定了#2014030302例3.

设在处收敛，则此级数在处收敛性如何？解:

令设级数的收敛半径为R。收敛，由阿贝尔定理1.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径性质为思考#2014030303幂级数由它的系数数列所确定，故其收敛半径R也应由唯一确定定理2.

若的系数满足1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,因此级数的收敛半径2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此注意（1）缺项的幂级数不能直接用此定理解决：（ii）用一般级数收敛域求法（i）作变换（2）也可以由根值法求收敛半径对端点

x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;

级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

例2.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由比值例3.的收敛域.#2014030501例3.的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2

时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即2.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数它的收敛半径?思考#20140303042.

在幂级数中,n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:

不能.