第八章检验假设

第八章

检验假设假设检验的含义利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，称为假设检验。实际上是对样本平均数与总体平均数之间是否存在显著差异进行检验。假设检验的基本思想是概率性质的反证法。第一节假设检验的基本原理如果这个随机样本统计量的值在其抽样分布上出现的概率较大，则保留这个假设，即承认该样本来自这个总体，而样本统计量的值与总体参数的差异是抽样误差所致；如果这个随机样本统计量的值在其抽样分布上出现的概率极小，则否定这个样本统计量是来自这个总体参数值的假设，也就是说，样本统计量的值与总体参数之间的差异不是抽样误差所致，而是存在着本质差异，故称它们之间差异显著。一、假设虚无假设H0：样本均值与总体均值无显著差异——可以直接进行检验的假设。（也叫无差假设、零假设、原假设）备选假设H1：样本均值与总体均值存在显著差异——不能直接进行检验的假设（也叫备择假设、对立假设）虚无假设与备择假设相互矛盾且只有一个正确。显著性水平与虚无假设的关系虚无假设是否成立，是以由显著性水平所确立的小概率事件的判断标准为前提的：当把概率越小的随机事件确定为小概率事件，虚无假设成立的可能性就越大，反之，虚无假设被拒绝的可能性就越大。二、推断时容易发生的两类错误类型一错误()：根据统计推断结果否定虚无假设，而实际上虚无假设是成立的；类型二错误()：根据统计推断结果接受虚无假设，而实际上虚无假设不成立。控制两种类型错误产生的方法:在保持类型一可能的错误率一定情况下，利用已知的实际总体参数值与假设参数值之间大小关系，合理安排拒绝区域的位置：采用双侧检验采用右侧检验采用左侧检验使样本容量增大，可以同时减少两类错误的概率，或减少其中一种错误的概率而不增加另一种错误的概率，因为容量越大，抽样误差越小。第二节总体平均数的显著性检验具体步骤：建立假设：虚无假设：①u1=u0；②u1

u0；③u1u0；备选假设：①u1u0；②u1<u0；③u1>u0；选择检验统计量并计算Z分布T分布确定检验形式双侧单侧进行统计推断如何确定检验形式？双侧：当根据理论或经验不能预料总体平均数的值与假设总体平均数的值之间关系时，可采用双侧检验/2；单侧：当能预料总体平均数的值大于假设的值，采用右侧检验；当能预料总体平均数的值小于假设的值，采用左侧检验。一、总体为正态分布、总体方差已知例8-1全区统一考试物理平均分μ0＝50，标准差σ0＝10分。某校的一个班(n＝41)平均成绩=52.5，该班成绩与全区平均成绩差异是否显著？解：设全区考生成绩服从正态分布①从表面看该班成绩52．5分，高于全区平均分，但是并没有任何依据说明该班真实水平比全区分数高。因而需要用双侧检验。H0：μ1＝μ0H1：μ1≠μ0

②算出样本平均数分布的标准误③计算临界比率CR(Criticalratio)

CR的意义与标准分数Z相似。在总体分布为正态、总体方差已知时，临界比率CR一般用Z表示。μ0-1.6×1.562＜＜μ0＋1.6×1.56247.50＜＜52.50答：该班成绩与全区平均成绩差异不显著。例8-2有人调查早期教育对儿童智力发展的影响，从受过良好早期教育的儿童中随机抽取70人进行韦氏-儿童智力测验(μ0＝100，σ0＝15)，结果＝103.3，能否认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平？解：根据题意，应该用单侧检验(设总体正态分布)H0：μ1≤μ0H1：μ1>μ0从正态分布表查得，单侧α＝0.05时临界点Zα＝1.645而所得临界比率Z=1.84>1.645，P<0.05，这意味着在0.05水平上

与μ0的差异是显著的，或者说在0.05水平上μ1>μ0，从统计检验的结果可以下结论；受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。二、总体分布为正态，总体标准差未知具体步骤：建立假设：虚无假设：u=u0

；uu0

；uu0

；备选假设：uu0；u<u0

；u>u0

；选择检验统计量并计算T分布确定检验形式(df=n-1)双侧单侧进行统计推断

例8-3某心理学家认为一般汽车司机的视反应时平均175毫秒，有人随机抽取36名汽车司机作为研究样本进行了测定，结果平均值为180毫秒，标准差25毫秒。能否根据测试结果否定该心理学家的结论。(假定人的视反应时符合正态分布)解：H0：μ1＝μ0H1：μ1≠μ0

＝180S＝25n＝36

查t分布表(双侧)df＝35t0.05／2＝2.031.18<2.03即P>0.05(这表示否定H0时犯错误的概率大于0.05，因而从统计学上不能否定H0)这就是说样本平均值(180)与总体平均值(175)的差异不显著。因此不能否定心理学家的结论。答：不能否定心理学家的结论。三、总体非正态分布

一般认为当n≥30时，尽管总体分布非正态，对于平均数的显著性检验仍可以用Z检验。(这时的Z检验是近似的)即：当总体标准差σ0未知时，由于样本容量较大，可以直接用样本标准差代替上式中的σ0

小结总体为正态分布Z检验又叫大样本的检验方法，t检验又叫小样本的检验方法。总体为正态分布、总体方差已知，用Z检验，总体为正态分布、总体方差未知，用t检验。总体分布为非正态总体分布为非正态，大样本，且要求不是特别严格时，近似地Z检验。总体分布为非正态，小样本，不能Z检验也不能t检验。（可以做非参数检验或数据转换）第三节平均数差异的显著性检验何谓平均数差异的显著性检验？需要考虑的条件：总体分布总体方差两个总体方差是否一致两个样本是否相关两个样本容量大小试验设计的类型一、两个总体都是正态分布，两个总体方差都已知两个样本平均数之间的差异：两个样本平均数之间的差异的总体平均数：经过证明：不用考虑大样本还是小样本。（一）独立样本的平均数差异检验例8-4在参加了全国统一考试后，已知考生成绩服从正态分布。在甲省抽取153名考生，得到平均分为57.41，该省的总标准差为5.77分；在已省抽取686名，得到平均分数55.95分，该省的总标准差为5.17分。问两省考生在这次考试中平均分数是否有显著的差异？（取α=0.01）答案：Z=2.88＞2.58，两省考生的平均分数差异极为显著。（二）相关样本的平均数差异检验例8-5某幼儿园在儿童入园时对49名儿童进行了比奈智力测验（标准差=16），结果平均智商为106，一年后再对同组被试进行施测，结果平均智商为110。已知两次测验结果的相关系数为0.74，问能否说随着年龄的增长与一年的教育，儿童智商有了显著的提高？解：已知（1）假设：H0：μ1＝μ0H1：μ1＞μ0

（2）确定检验形式：右侧检验（3）计算临界值：（4）查表获得Z值（5）比较推断：差异显著（6）答：略。二、两个总体都是正态分布，两个总体方差都未知一般不用考虑大样本还是小样本（一）独立样本的平均数差异检验

（1）两个总体方差相等例8-6对甲、乙两校小学一年级的学生进行智力测验，两个学校分别测查100人和90人，他们的平均智商分别为110和107，标准差分别为17和16，检验两校一年级学生智商是否有显著差异？

解：已知：所以有1.242＜1.96=t0.05/2因此，两所小学一年级学生智力测验结果没有显著差异。答：两所小学一年级学生智力测验结果没有显著差异。（2）两个总体方差不相等解决方法第一步，需要做方差齐性检验第二部，阿斯平—威尔士（Aspin-Welch）检验例8-7为了对某门课程进行教学改革，该学校对各方面条件类似的两个班学生进行测验，甲班45人，采用教师免受的教学方法；乙班36人，采用教师讲授要点，学生讨论的方法。一年后，用同一试题对两个班的学生进行测验，结果如下：甲班平均数69.5分，标准差8.35；乙班平均数78分，标准差16.5。试问两种教学方法是否有显著差异？（α=0.01）解：（二）相关样本的平均数差异检验标准误：检验公式：

例8-8

从某小学四年级随机抽取15名学生，学期初进行了一次推理测验，学期末有进行了一次相似的推理测验，两次成绩如下。问学生的推理测验成绩是否显著提高？（已知：S1=3.53，S2=4.13，r=0.42）期初525352515053545655515960615859期末545555535460626563586453586063解：答：这一学期的学生推理能力有极其显著的提高。例8-9从某小学一年级随机抽取100名学生作为样本，在学期初进行了阅读测验，学期末又进行了类似的测验，计算得到两次测验的相关系数为0.50，其他数据如下。问这100名学生的两次测验成绩差异显著吗？（α=0.01）答案：t=8.98＞2.640，极其显著。（提高极为显著）测验时间n平均分Sr期初100456

0.50期末100505研究生入学考试真题（2005，北师大）在一项反馈对知觉判断的影响研究中n（人数）X(平均数)S（标准差）试验组（有反馈）60X1=80S1=18控制组（无反馈）52X2=73S2=15问实验组的平均结果是否显著高于控制组？三、两个总体非正态分布当两个样本都大于30可以用近似Z检验。不用考虑总体方差已知否（一）独立样本的平均数差异检验（二）相关样本的平均数差异检验三种T检验——

应用最多的三种平均数差异的显著性检验单样本T检验样本平均数与总体平均数之间的比较检验。条件——总体正态分布，总体方差未知配对（相关）样本T检验来自同一个总体的两个样本的平均数之间差异的显著性检验。条件——总体正态分布，总体方差未知独立样本T检验来自不同的两个总体中的两个样本的平均数显著性检验。条件——总体正态分布，两个总体方差未知，但是相等第四节方差的差异检验一、样本方差与总体方差的差异检验例8-10在一次全区统考中，全体学生的总标准差为18，某校40名学生的标准差为12

，问该校学生成绩的方差与全区方差是否有显著差异？答：该校学生成绩的方差与全区方差之间存在显著差异。二、两个样本方差之间的差异显著性检验（一）独立样本例8-11随机抽取男生n1=31，女生n2=25，进行闪光融合频率的测定，结果男生的标准差