第1.1复数及其运算_第1页
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文档简介

第一章复数与复变函数§1.1复数虚数单位

是两个实数

称为复数

为的实部

为的虚部

的共轭复数

时

为实数

时

为纯虚数

1.复数的定义

1例如2.复数的几何表示任何一个复数对应平面上的一个点轴上的点轴称为实轴轴上的点轴称为虚轴整个平面或z平面O任何一个复数一一对应一个向量可以用向量来表示向量的长度

称为z的模或绝对值记为时,以正实轴为始边

向量为终边

的角的弧度数称为z的辐角记为任何一个非零复数有无穷多个辐角把满足的称为辐角的主值记为为整数对应一个实数,对应一个纯虚数,称为复平面23.辐角主值的算法零没有辐角,O时时时时时时3欧拉公式为实数为整数44.复数的三角指数表示设复数O模辐角主值称为复数称为复数例1设求解的三角式和指数式的三角表示式的指数表示式三角式为指数式为5例1.复数的三角式求下列指数式65.无穷远点与扩充复平面球面S与复平面切于原点O,ON为球面的直径,南极北极复平面对于复平面内任何一点z,直线段Nz必相交于球面一点P对于球面上异于N的一点P，直线NP必相交于复平面一点z任何一个复数可以用复平面内一个点表示因此复平面内的点z一一对应球面上也可以用球面上若则我们规定模为的复数∞对应着复平面的无穷远点∞对应着球面上的点N用球面上的点N表示复数∞含有无穷远点∞的平面称为扩充复平面不含有无穷远点∞的平面称为有限复平面,简称为复平面不同于N的点P不同于N的点P表示76.复数的运算设(1)相等若两个复数分别相等则称这两个复数相等且(2)加法(3)减法的实部和虚部注意：两个复数没有大小之分或且8(4)乘法设容易证明例如9乘法的几何意义设任何两个复数等于它们模任何两个复数等于它们辐角的和特别设则则复数z得到复数旋转特别乘积的模的乘积乘积的辐角10课本第4页例1.3已知正三角形的两个顶点为求其第三个顶点解或第三个顶点为或11(5)除法设例1设则12除法的几何意义设任何两个复数商的模等于它们模的商任何两个复数商的辐角等于它们辐角的差13课本第6页例1.6

设求的三角式指数式解三角式指数式146.乘方设为正整数则特别即DeMoivre公式15例1

求解例2

求解167.开方设的n次方根则其中时的n次方根共有n个不同的值5页例1.417补充例

若试求n的值解同样由条件得到其中k为整数18例1.5设n为自然数，课本第6页证明证根据所以DeMoi

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