初中数学华东师大版九年级下册第二十七章圆2正多边形和圆

华师大版数学九年级下册第27章第4节正多边形和圆课时练习一、单选题（共15小题）1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A．3 B． 9 C． 18 D． 36答案：C解析：解答：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．分析：掌握正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B． 2，π C． ， D． 2，答案：D解析：解答：如图所示：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，==，故选D．分析：正六边形的边长与外接圆的半径相等，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解．3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°答案：A解析：解答：如图所示：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=×360°=72°，∴∠1=∠BOC=×72°=36°，R2﹣r2=（a）2=a2，a=Rsin36°，a=2Rsin36°；a=rtan36°，a=2rtan36°，cos36°=，r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．分析：由圆内接正五边形的性质求∠BOC，再由垂径定理求出∠1后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可．4．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B． 5：2 C． ：2 D． ：答案：A解析：解答：如左图所示：连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=；如右图所示：连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是÷（2π）=．故选：A．分析：求出扇形和圆的半径，根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值．5．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k的值为（）A．9 B． 9 C． 3 D． 3答案：B解析：解答：如图所示：连接OB，过B作BG⊥OA于G，∵ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB=OA=AB=6，∵BG⊥OA，∴∠BGO=90°，∴∠OBG=30°，∴OG=OB=3，由勾股定理得：BG=3，即B的坐标是（3，3），∵B点在反比例函数上，∴k=3×3=9，故选B．分析：连接OB，过B作BG⊥OA于G，得出等边三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐标，即可．6．正八边形的中心角是（）A．45° B． 135° C． 360° D． 1080°答案：A解析：解答：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；故选A分析：中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角．7．如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．10 B． 20 C． 18 D． 20答案：B解析：解答：如图所示：作出正方形ABCD．△AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x．则正方形的边长是（2+）x．根据题意得：x（2+）x=20，解得：x2==10（﹣1）．则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．故选B．分析：设直角△AEF中，AE=x，则AF=x，EF=x，正八边形的边长是x．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x的值，利用矩形和三角形的面积求解．8．如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，则图中阴影部分的总面积是（）A． B． C． D． 答案：A解析：解答：如图所示：边长是2cm的正六边形ABCDEF的面积是：6××sin60°×22=6cm2．作出连接中心O，连接OD1，OC．在直角△OCD1中，∠O=30°，CD1=CD=1（cm）．则OD1=CD1=，OG=OD1=，C1D1=．则A1B1C1D1E1F1的面积是：6××sin60°×（）2=cm2．则图中阴影部分的总面积是（6﹣）=．故选A．分析：六边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正多边形，两个多边形的面积的差的一半就是阴影部分的面积．9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AC，AE，则的值是（）A．1 B． C． 2 D． 答案：B解析：解答：如图所示：连接AG、GE、EC，则四边形ACEG为正方形，故=．故选B．分析：连接AG、GE、EC，四边形ACEG为正方形，根据正方形的性质求解．10．边长为1的正六边形的内切圆的半径为（）A．2 B． 1 C． D． 答案：D解析：解答：如图所示：连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=1，∴OG=OA•sin60°=1×=，∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为．故选D．分析：利用正六边形中的等边三角形的性质求解．11．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30° B． 60° C． 90° D． 120°答案：B解析：解答：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，其中心角为=60°．故选B．分析：由正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出中心角．12．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（）A．30° B． 45° C． 50° D． 60°答案：B解析：解答：∵正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=×（180°﹣150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED==30°，∴∠BED=15°+30°=45°．故选B．分析：由正六边形的内角为120°，正方形的内角为90°可得∠BEA=30°，∠AED=30°后求解．13．如图，边长为a的正六边形，里面有一菱形，边长也为a，空白部分面积为S1，阴影部分面积为S2，则=（）A． B． C． D． 答案：A解析：解答：如图所示：连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，∵正六边形边长为a，菱形边长为a且有一角为60°，∴S△DEF=S△ABC，∴S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；∴==．故选A．分析：连接BC，找到正六边形的中心D，作△DEF，求出S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；再求比值．14．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（）A．10 B． 8 C． 6 D． 5答案：A解析：解答：设这个正多边形的边数是n，∵正多边形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10．故选A．分析：设正多边形的边数是n，根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数．15．已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（）A．八 B． 六 C． 四 D． 三答案：B解析：解答：根据勾股定理得：22﹣（）2=1，∴正多边形的边长为2，∴正多边形的中心角为60°，∴此正多边形是正六边形，故选B．分析：由正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数．二、填空题（共5小题）16．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为cm．答案：2解析：解答：如图所示：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OAD=60°，∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，解得：AO=2．故答案为：2．分析：画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解．17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有个．答案：8解析：解答：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．分析：在正六边形的六个顶点是圆的六等分点，可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．18．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为．答案：2解析：解答：如图所示：∵正六边形的边心距为，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．故答案为：2分析：用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理求解．19．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为．答案：（，﹣）解析：解答：如图所示：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．∴GE=，OG=．∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．故答案为：（，﹣）分析：连接OE，由正六边形是轴对称图形，设EF交Y轴于G，则∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似．20．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为．答案：54°解析：解答：如图所示：连接OB，则OB=OA，∴∠BAO=∠ABO，∵点O是正五边形ABCDE的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；故答案为：54°．分析：连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．三、解答题（共5小题）21．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．答案：解答：如图所示：连接BD．∵CE=×1=，∴BE==，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，∴△DEB∽△FEC，∴，∴=，∴FC=．解析：分析：连接BD，构造△DBE，然后证出△DBE∽△FCE，列出，计算FC．22．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．答案：解答：如图所示：作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．∵△ABC为等边三角形，∴AF垂直平分BC，∵四边形BDEC为正方形，∴AH垂直平分正方形的边DE．又∵DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．在Rt△ABF中，∵∠BAF=30°，∴AF=AB•cos30°=2×=．∴OH=AF+FH﹣OA=+2﹣r．在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2．∴（2+﹣r）2+12=r2．解得r=2．∴该圆的半径长为2．解析：分析：作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据轴对称，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可求AH，DH，设圆的半径是r．BOH中，根据勾股定理列方程求解．23．如图，四边形ABCD内接于大圆O，且各边与小圆相切于点E，F，G，H．求证：四边形ABCD是正方形．答案：解答：证明：连结OE、OF、OG、OH．∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H，∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．∴AB=BC=CD=DA．∴A、B、C、D是大圆O的四等分点．∴四边形ABCD是正方形．解析：分析：连结OE、OF、OG、OH，利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点，进而可证明四边形ABCD是正方形．24．已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F．证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．答案：解答：证明：如图所示：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36