弹性力学简明教程第一章

弹性力学简明教程第一章第一页，共五十页，2022年，8月28日第一章绪论第二章平面问题的基本理论第三章平面问题的直角坐标解答第四章平面问题的极坐标解答第五章用差分法和变分法解平面问题第二页，共五十页，2022年，8月28日第六章用有限元法解平面问题第七章空间问题的基本理论第八章空间问题的解答第九章薄板弯曲问题附录：关于提高课堂教学质量的文章第三页，共五十页，2022年，8月28日教学参考资料第三节弹性力学中的基本假定第二节弹性力学中的几个基本概念第一节弹性力学的内容第一章绪论第四页，共五十页，2022年，8月28日§1-1弹性力学的内容

弹性力学─研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。第一章绪论定义研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：第五页，共五十页，2022年，8月28日材料力学─研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。

弹性力学─研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 第一节弹性力学的内容

结构力学─在材料力学基础上研究杆系结构

（如桁架、刚架等）。研究对象第六页，共五十页，2022年，8月28日

在研究方法上，弹力和材力也有区别：

弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程;在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。第一节弹性力学的内容研究方法第七页，共五十页，2022年，8月28日

材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。第一节弹性力学的内容研究方法

因此材力建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材力解法只能适用于杆件形状的结构。第八页，共五十页，2022年，8月28日

弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。

弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。第一节弹性力学的内容

弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：地位第九页，共五十页，2022年，8月28日第一节弹性力学的内容

工科学生学习弹力的目的：学习目的（4）为进一步学习其他固体力学分支学科打下基础。（3）能用弹力近似解法（变分法、差分法和有限单元法）解决工程实际问题；（2）能阅读和应用弹力文献；（1）理解和掌握弹力的基本理论；第十页，共五十页，2022年，8月28日思考题弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？2.弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？

3.试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？第十一页，共五十页，2022年，8月28日

外力─其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。

第一章绪论§1－2弹性力学中的

几个基本概念外力第十二页，共五十页，2022年，8月28日体力─（定义）作用于物体体积内的力。（表示）以单位体积内所受的力来量度，（量纲）第二节弹性力学中的几个基本概念（符号）坐标正向为正。第十三页，共五十页，2022年，8月28日（表示）以单位面积所受的力来量度，面力─（定义）作用于物体表面上的力。第二节弹性力学中的几个基本概念（符号）坐标正向为正。（量纲）第十四页，共五十页，2022年，8月28日例：表示出下图中正的体力和面力第二节弹性力学中的几个基本概念第十五页，共五十页，2022年，8月28日内力─假想切开物体，截面两边互相作用的力（合力和合力矩)，称为内力。第二节弹性力学中的几个基本概念应力第十六页，共五十页，2022年，8月28日应力─截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。第二节弹性力学中的几个基本概念（量纲）（表示）─面上沿向正应力，

─面上沿

向切应力。（符号）应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负向为正。第十七页，共五十页，2022年，8月28日例：正的应力第二节弹性力学中的几个基本概念第十八页，共五十页，2022年，8月28日应力与面力，在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。第二节弹性力学中的几个基本概念第十九页，共五十页，2022年，8月28日弹力与材力相比，正应力符号，相同切应力符号，不同材力：以拉为正材力：顺时针向为正第二节弹性力学中的几个基本概念第二十页，共五十页，2022年，8月28日

由微分体的平衡条件得：

第二节弹性力学中的几个基本概念在弹力中，与不仅数值相同，符号也相同。在材力中，与

数值相同，符号相反。因此，弹力与材力中的符号规定不完全相同。

切应力互等定理：第二十一页，共五十页，2022年，8月28日正应变

，以伸长为正。形变

─形状的改变。以通过一点的沿坐标正向微分线段的正应变和切应变来表示。切应变

,以直角减小为正,用弧度表示。第二节弹性力学中的几个基本概念形变第二十二页，共五十页，2022年，8月28日

正的正应力对应于正的线应变,

正的切应力对应于正的切应变。第二节弹性力学中的几个基本概念第二十三页，共五十页，2022年，8月28日位移

─

一点位置的移动，用,表示,

量纲为L。以坐标正向为正。变形前变形后第二节弹性力学中的几个基本概念位移第二十四页，共五十页，2022年，8月28日

思考题试画出正负y面上正的应力和正的面力的方向。在的六面体上，试问x面和y面上切应力的合力是否相等？第二十五页，共五十页，2022年，8月28日

由微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；

由应力与形变之间的物理关系,

建立物理方程；

弹力的研究方法，在体积V内：

由微分线段上形变与位移的几何关系，建立几何方程；第一章绪论研究方法§1－3弹性力学中基本假定

第二十六页，共五十页，2022年，8月28日在给定约束的边界上，建立位移边界条件。

在给定面力的边界上，建立应力边界条件;第三节弹性力学中的基本假定研究方法

在边界S面上:

然后在边界条件下求解上述方程，得出应力、形变和位移。第二十七页，共五十页，2022年，8月28日

任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素建立计算模型归纳为学科的基本假定。第三节弹性力学中的基本假定基本假定

为什么要提出基本假定？第二十八页，共五十页，2022年，8月28日（1）连续性─假定物体是连续的。各物理量可用连续函数表示。第三节弹性力学中的基本假定材料性质假定

弹性力学中的五个基本假定。

关于材料性质的假定及其在建立弹力理论中的作用：第二十九页，共五十页，2022年，8月28日

（2）完全弹性

─假定物体是,即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。第三节弹性力学中的基本假定材料性质假定

a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。b.线性弹性—应力与应变成正比。第三十页，共五十页，2022年，8月28日（3）均匀性

─假定物体由同种材料组成。

E、μ等与位置无关。（4）各向同性

─假定物体各向同性。

E、μ等与方向无关。符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。第三节弹性力学中的基本假定材料性质假定

（3）,（4）→E、μ等为常数第三十一页，共五十页，2022年，8月28日（5）小变形假定

─假定位移和形变为很小。第三节弹性力学中的基本假定变形状态假定

变形状态假定：例：梁的≤10－3

＜＜1,

＜＜1弧度（57.3°）.a.位移＜＜物体尺寸,

例：梁的挠度v＜＜梁高h.第三十二页，共五十页，2022年，8月28日a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。 b.简化几何方程：在几何方程中，由于

可略去等项,使几何方程成为线性方程。第三节弹性力学中的基本假定变形状态假定

作用第三十三页，共五十页，2022年，8月28日

弹力基本假定，确定了弹力的研究范围:第三节弹性力学中的基本假定变形状态假定

理想弹性体的小变形问题。第三十四页，共五十页，2022年，8月28日

第一章教学参考资料第一章绪论

(一)本章的学习要求及重点

1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别。

2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处。

3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。第三十五页，共五十页，2022年，8月28日

(二)本章内容提要

1、弹性力学的内容─弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、弹性力学中的几个基本物理量：体力—分布在物体体积内的力、记号为、、，量纲为L-2MT-2，以坐标正向为正。第一章教学参考资料第三十六页，共五十页，2022年，8月28日面力—

分布在物体表面上的力，记号为。量纲为L-1MT-2

，以坐标正向为正。应力—

单位截面面积上的内力，记号，量纲为L-1MT-2，以正面正向为正，负面负向为正；反之为负。第一章教学参考资料第三十七页，共五十页，2022年，8月28日

形变—用线应变和切应变表示，量纲为1，线应变以伸长为正，切应变以直角减小为正。第一章教学参考资料位移—一点位置的移动，记号为、、，量纲为L，以坐标正向为正。第三十八页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料

3、弹性力学中的基本假定

理想弹性体假定—连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。小变形假定。

4、弹性力学问题的研究方法已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。求解：应力、形变和位移。第三十九页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料

解法：在弹性体区域V内，根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。

在弹性体边界s上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约束条件，建立位移边界条件。然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。第四十页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料

(三)弹力的发展简史与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错误到正确的演变历史。许多数学家、力学家和实验工作者做了幸勤的探索和研究工作，使弹性力学理论得以建立，并且不断地深化和发展。

第四十一页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料

1、发展初期（约于1660－1820）—

这段时期主要是通过实验探索了物体的受力与变形之间的关系。1678年，胡克通过实验，发现了弹性体的变形与受力之间成比例的规律。1807年，杨做了大量的实验，提出和测定了材料的弹性模量。伯努利（1705）和库仑（1776）研究了梁的弯曲理论。一些力学家开始了对杆件等的研究分析。第四十二页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料

2、理论基础的建立（约于1821－1855）—这段时间建立了线性弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入的研究。纳维（1820）从分子结构理论出发，建立了各向同性弹性体的方程，但其中只含一个弹性常数。柯西（1820－1822）从连续统模型出发，建立了弹性力学的平衡（运动）微分方程、几何方程和各向同性的广义胡克定律。第四十三页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料格林（1838）应用能量守衡定律，指出各向异性体只有21个独立的弹性常数。此后，汤姆逊由热力学定理证明了上述结果。同时拉梅等再次肯定了各向同性体只有两个独立的弹性常数。至此，弹性力学建立了完整的线性理论，弹性力学问题已经化为在给定边界条件下求解微分方程的数学问题。第四十四页，共五十页，2022年，8月28日

3、线性理论的发展时期（约于1854－1907）在这段时期，数学家和力学家应用已建立的线性弹性理论，去解决大量的工程实际问题，并由此推动了数学分析工作的进展。第一章教学参考资料第四十五页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料圣维南（1854－1856）发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，并提出了圣维南原理。艾里（1862）提出了应力函数，以求解平面问题。赫兹（1882）求解了接触问题。克希霍夫（1850及以后）解决了平板的平衡和震动问题。还有，爱隆对薄壳作了一系列工作等等。弹性力学在这段时期得到了飞跃的发展。第四十六页，共五十页，2022年，8月28日第一章教学参考资料