第3讲　小题研透-导数的简单应用 2023高考数学二轮复习课件

第3讲小题研透

——导数的简单应用CONTENTS目录01备考领航·重难排查02考点整合·研透悟通03专题检测01一、考情分析高频考点高考预测导数的几何意义在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用，利用导数研究函数的单调性，极值，最值及应用，注意构造法的应用函数单调性求函数极值求函数最值(与不等式结合转化求解)B

2．(2021·全国乙卷)(函数的极值)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则 (

)A．a＜b B．a＞bC．ab＜a2 D．ab＞a2解析：当a＞0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图①所示，观察可知b＞a.当a＜0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图②所示，观察可知a＞b.综上，可知必有ab＞a2成立．故选D.D

3．(2021·新高考全国Ⅰ卷)(函数的最值)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．解析：函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的定义域为(0，＋∞)．综上，f(x)min＝1.14．(2022·新高考Ⅰ卷)(导数的几何意义)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________．(－∞，－4)∪(0，＋∞)1．四个易误导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；2．利用导数研究函数的单调性(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．3．利用导数研究函数的极值、最值(1)若f′(x0)＝0且在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．4．常用结论(1)在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件；(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零；(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．易错提醒

(1)求复合函数的导数时分不清函数的层次致误；(2)导数与函数单调性的充分必要条件理解不清致误；(3)导数与极值关系运用不当致误．02【例1】

(1)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为 (

)A．(1，3)

B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)．经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上．故选C．导数的几何意义C(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．|方法总结|求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．

1．曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为 (

)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：由题意可知y′＝2cosx－sinx，则y′|x＝π＝－2.所以曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y＋1－2π＝0，故选C．2．已知函数f(x)＝x3－5x＋a，直线2x＋y＋b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a＋b的值为________．解析：f′(x)＝3x2－5，令f′(x)＝－2，解得x＝±1.当x＝1时，切点为(1，a－4)，则－4＋a＝－2－b，解得a＋b＝2；当x＝－1时，同理可得a＋b＝－2.又a，b均为正实数，所以a＋b>0，即a＋b＝2.C

2【例2】

(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(

)利用导数研究函数的单调性解析由图可知函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，则当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，且f′(－1)＝0.对于函数y＝xf′(x)，当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)＞0，当x∈(－1，0)时，xf′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，xf′(x)＞0，且当x＝－1时，xf′(x)＝0，当x＝0时，xf′(x)＝0，显然选项C符合，故选C．C(2)(多选)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0且g(－3)＝0，则使得不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围是 (

)A．(－∞，－3) B．(－3，0)C．(0，3) D．(3，＋∞)解析∵f(x)，g(x)分別是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝－h(x)，故h(x)＝f(x)·g(x)为R上的奇函数，∵当x＜0时，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0，∴h(x)＝f(x)·g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，∴奇函数h(x)在区间(0，＋∞)上也单调递减，作出h(x)的草图，如图所示，由g(－3)＝0，∴h(－3)＝－h(3)＝0，∴当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，h(x)＝f(x)·g(x)＜0，故选B、D.BD|方法总结|利用导数研究函数单调性的常见题型及求解策略(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解集，但是要注意定义域；(2)解决含参数问题及不等式问题要注意两个转化：一是利用导数解决含参函数的单调性问题，可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用；二是将不等式的证明、方程根的个数的判定问题转化为函数的单调性问题处理．

1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是

(

)解析：对于导函数y＝f′(x)，当x<0时，导函数值f′(x)先负后正，则原函数y＝f(x)的单调性为先减后增，当x>0时，导函数值f′(x)先正后负再正，则原函数y＝f(x)的单调性为先增后减再增，只有D选项符合题意，故选D.D

2．已知函数f(x)＝x2－alnx＋1在(1，3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是 (

)A．(2，18) B．[2，18]C．(－∞，2)∪[18，＋∞) D．[2，18)A

利用导数研究函数的极值(最值)【例3】

(1)若函数f(x)＝x3＋x2－5x－2在区间(m，m＋5)内有最小值，则实数m的取值范围是 (

)A．(－4，1) B．(－4，0)C．[－3，1) D．(－3，1)C(2)(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是________．|方法总结|利用导数研究函数的极值、最值的注意事项(1)不能忽略函数f(x)的定义域；(2)f′(x0)＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要不充分条件；(3)函数的极小值不一定比极大值小；(4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

D

专题检测03A组——小题提速练D

2．“m＜4”是“函数f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上单调递增”的 (

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件A

3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是 (

)解析：法一：因为在区间(－3，－1)和区间(0，1)上f′(x)＞0，在区间(－1，0)和区间(1，3)上f′(x)＜0，所以函数y＝f(x)在(－3，－1)，(0，1)上单调递增，在(－1，0)，(1，3)上单调递减，观察各选项知，只有D符合题意，故选D.法二：由题图知，y＝f′(x)在x＝－1的左侧大于0，右侧小于0，所以函数y＝f(x)在x＝－1处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意，故选D.D

B

C

C7．若函数f(x)对任意x∈R都有f′(x)＞f(x)成立，则 (

)A．3f(ln5)＞5f(ln3) B．3f(ln5)＝5f(ln3)C．3f(ln5)＜5f(ln3) D．3f(ln5)与5f(ln3)的大小不确定A

A

9．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是 (

)A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanxAC

BC

11．(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则 (

)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线AC

AC

13．已知函数f(x)＝lnx－x，则f(x)的最大值为________．－114．已知函数f(x)＝x－cosx(x∈R)，α，β是钝角三角形的两个锐角，则f(cosα)________f(sinβ)(填写“＞”“＜”或“＝”)．＞15．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝(1－x)ex，且f(2)＝0，则f(x)＞0的解集为________．(0，2)16．对于某种类型的口服药，口服x小时后，由消化系统进入血