高中数学高考一轮复习一轮复习 第二节 排列与组合

课时作业(五十六)排列与组合一、单项选择题1．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18B．24C．30D．36C[选出的3人中有2名男同学1名女同学的选法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的选法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝12(种)，故3名学生中男女生都有的选法有18＋12＝30(种).故选C项．]2．高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800B．3600C．4320 D．5040B[先排除舞蹈节目以外的5个节目，共Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))种，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝3600(种).]3．(2023·大同调研)从6名大学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人知识竞赛代表队，则不同的选法共有()A．15种B．180种C．360种D．90种B[第一步，从6名大学生中选出2人，1人当队长，另1人当副队长，不同的选法有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝30(种)；第二步，从余下的4名大学生中再选出2人，作为普通队员，不同的选法有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6(种).由分步乘法计数原理可得不同的选法共有30×6＝180(种)，故选B.]4．为抗击新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资，爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有()A．10种B．40种C．80种D．120种A[根据题意，将6箱相同规格的医用外科口罩分成四份，每一份依次对应一家医院即可．将6箱相同规格的医用外科口罩排成一排，其中间有5个空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，则可将其分为四份，则有Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝10种分组方法，故选A．]5．(2023·惠州一调)7人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()A．3600B．1440C．4820 D．4800A[分两步：第一步，先安排甲、乙以外的5人，不同的排法有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120(种)；第二步，在6个空中任选2个空排甲、乙，不同的排法有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝30(种).由分步乘法计数原理得，满足条件的不同排法有120×30＝3600(种).故选A．]6．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A．540B．480C．360D．200D[由“个位数字与十位数字之和为奇数”知个位数字、十位数字为1奇1偶，共有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝50(种)排法；由“所有数位上的数字和为偶数”知百位数字是奇数，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝4(种)排法．故满足题意的三位数共有50×4＝200(个).故选D.]7．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事，撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有()A．240种B．188种C．156种D．120种D[当任务E，F排在前三位时，有(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝24(种)安排方案，当任务E，F排在后三位时，有(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝72(种)安排方案，当任务E，F排在第三，四位时，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝24(种)安排方案，故共有120种安排方案．故选D项．8．2023年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为()A．48B．72C．120D．240C[若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝48种不同的分配方法．若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝72种不同的分配方法．综上，这8张门票共有48＋72＝120种不同的分配方法．]二、多项选择题9．已知Ceq\o\al(\s\up1(x＋2),\s\do1(12))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－5),\s\do1(12))，则x可能取值为()A．4B．5C．6D．7BD[∵Ceq\o\al(\s\up1(x＋2),\s\do1(12))＝Ceq\o\al(\s\up1(2x－5),\s\do1(12))根据组合数的性质得x＋2＝2x－5或x＋2＋2x－5＝12，解得x＝7或x＝5.故选BD.]10．(多选)为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是()A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B．共有64种不同的安排方法C．若甲乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车(救护车相同)，且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法AD[根据题意，依次分析选项：对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(24－2)＝42种选取方法，A正确；对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有3×3×3×3＝81种安排方法，B错误；对于C，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去A地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种情况，此时有2×2＝4种安排方法；若甲乙不在同一组，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－1＝5种分组方法，若甲乙两人不能去A地，只能安排没有甲乙的1组去A地，甲乙所在的两组安排到B、C两地，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种情况，此时有5×2＝10种安排方法；则一共有4＋10＝14种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入档板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(19))＝171种安排方法；故选AD.]11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是()A．若任意选择三门课程，选法总数为Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))B．若物理和化学至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))C．若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))ABD[对于A项，若任意选择三门课程，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))，错误；对于B项，若物理和化学选一门，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))种方法，其余两门从剩余的5门中选，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种选法；若物理和化学选两门，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))种选法，所以总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))，错误；对于C项，若物理和历史不能同时选，选法总数为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7))－Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))(种)，正确；对于D项，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种选法；②选化学，不选物理，有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))种选法；③物理与化学都选，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种选法，故总数为Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(1))·Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＝6＋10＋4＝20(种)，错误．故选ABD项．]12．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，为求出场顺序的排法种数，下列列式正确的为()A．Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) B．Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))C．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) D．Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))ABD[若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2位女生排列好，2位男生插空，方法有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种．∴满足条件的出场顺序有Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种，故A正确；先排3位女生，3位女生之间有4个空，从4个空中选2个排男生，共有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种，若女生甲排在第一个，则3位女生之间有3个空，从3个空中选2个排男生，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种，∴满足条件的出场顺序有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))种，故B正确；5位选手全排列的方法数Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))减去2位男生连续出场的方法数Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))，再减去女生甲排在第一个的方法数Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)).∵多减去了2位男生既连续出场，女生甲又排在第一个的方法数Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))，∴满足条件的出场顺序有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))－Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))－Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种，故D正确．故选ABD.]三、填空题13．(2023·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．解析：此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种分法；第二步，将所分3组进行排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种排法．所以不同的安排方法共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝36种．答案：3614．我国第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼­15”舰载机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为________．解析：根据题意，分两种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架舰载机全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(种)情况，即此时有24种不同的着舰方法；②丙机不是最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架舰载机中任选1架作为最先着舰的舰载机，将剩下的4架舰载机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，因此有eq\f(1,2)Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24(种)情况，即此时有24种不同的着舰方法．根据分类加法计数原理，共有24＋24＝48(种)不同的着舰方法．答案：4815．在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高考，则学生有________种选法．