泛函分析解答第四章

第四章习题在口1中令p1(x,y)=(x-y)2,p2(x,y)=Ix-yl1/2,,问p「p2是否为口1上的距离？［解］显然p1,p2满足距离空间定义中的非负性和对称性.但P］不满足三角不等式：取点x=-1,y=0,z=1,贝Up1(x,z)=4>2=p1(x,y)+p1(y,z),所以p］不是口1上的距离。而Vx,y,zeD1,p2(x,y)=v'lx一yIVJx一zI+1z一yI<-^Ix一zI+1z一yI+2、.'lx一zI-1z一yI=、.'(』x—zI+Iz—yI)2=<Ix—zI+JIz—yI=p2(x,z)+p2(z,y)；所以p2是D1上的距离.设(X,p)是距离空间，令p1(x,y)=np(x,y),Vx,yeX.证明(X,p1)也是距离空间.［证明］显然R满足距离空间定义中的非负性和对称性，故只需证明R满足三角不等式即可. 实际上Vx,y,zeX,pjx,y)=p(x,y)<Jp(x,z)+p(z,y)<3p(x,z)+p(z,y)+M(x,y,z,n)=*(p(x,z)+<p(z,y))n=Jp(x,z)+廿p(z,y)=p1(x,z)+p1(z,y).设(X,p)是距离空间，证明Ip(x,z)—p(y,z)I<p(x,y),Vx,y,zeX；Ip(x,y)—p(z,w)I<p(x,z)+p(y,w),Vx,y,z,weX.［证明］Vx,y,z,weX,由三角不等式有—p(x,y)<p(x,z)—p(y,z)<p(x,y),故第一个不等式成立.由第一个不等式可直接推出第二个不等式：Ip(x,y)—p(z,w)I<Ip(x,y)—p(y,z)I+Ip(y,z)—p(z,w)I<p(x,z)+p(y,w).用Cauchy不等式证明(I£I+I£I+...+I《l)2<n(0P+0P+...+I^P).［证明］在P159中的Cauchy不等式中令a.=I£」,b.=1,Vi=1,2,...,n"即可.用图形表示C［a,b］上的S(x0,1).［注］我不明白此题意义，建议不做.设(X,刁)是距离空间，AcX,int(A)表示A的全体内点所组成的集合.证明int(A)是开集.［证明］若A=。，则int(A)=。，结论显然成立.若A70,则VxeA,Br>0使得S(x,r)cA.对VyeS(x,r),令s=r—d(x,y),则s>0,并且S(y,s)cS(x,r)cA；所以yeint(A).故S(x,r)cint(A),从而int(A)是开集.设(X,d)是距离空间，AcX,A70.证明：A是开集当且仅当A是开球的并.［证明］若A是开球的并，由于开球是开集，所以A是开集.

若A是开集，VnA,存在r(x)>0,使得S(x,r(x))匚A.显然A=■昨AS(x,r(x)).8.举例说明对于一般的距离空间X，并不是总有S(x,r)=S(x,r),VxeX,r>0.［例］设X={a,b},定义d:XxX-□为d(a,a)=d(b,b)=0,d(a,b)=1.则(X,d)是距离空间.当r=1时，不论x为a还是b,总有S(x,7)={x}。X=S(x,r).设(X,d)是距离空间，A,BcX.证明：AuB=AuB,AcBgAcB.［证明］由于AcA,BcB，故AuBcAuB.由于A和B都是闭集，所以AuB也是闭集，所以aUBcAuB.另一方面，由A,BcAuB，得A,BcAuB，所以AuBcAuB；这样就证明了第一个等式.由AcBcA,B得AcBcA,B，所以AcBcAcB。证明：距离空间中的闭集必为可列个开集的交，开集必为可列个闭集的并.［证明］由开集与闭集的关系，实际上我们只需证明第一部分即可.设(X,d)是距离空间，AcX,A是闭集.若A=。则结论显然成立，下面设A卫。.V乃6口+,定义An=■xeAS(x,1/n),则An是开集，且AcAn.因此Ac，“A“.若x史A,则由于A是闭集，3*口+,使得S(x,1/N)・A=0； ""即并AN，,所以xa・nA“.这样就证明了A=-nAn.因此距离空间中的闭集必'为可列个开集的交.""设(X,d)是距离空间，｛x〃｝是基本列，且有收敛子列xTx.证明x〃Tx.k£［证明］V£>0,由于｛x｝是基本列，存在自然数N,当m,n>N时d(x,x)<-^.由于子列x由于子列xnTx，存在自然数K,当k>K时，,>N且d(x,x)<2nnk+1因n>N，故d(x,x)<—,d(x,x)<—，从而d(x,x)<£.K+1 nn2 nnk+1K+1 」设在非空集合X上定义了两种距离d和d1，且存在正数a和b,使得对任意的x,yeX总有ad1(x,y)<d(x,y)<bd1(x,y).证明：在距离空间(X,d)和(X,d1)中，基本列与收敛点列是共同的.并举出这种空间的例子.［证明］设｛xn｝是(X,d)中的基本列，贝U对V—>0,3NeD+，当m,n>N时d(xm,xn)<a£.此时有d1(x,x)<d(x,x)/a<a—/a=£,所以｛x｝也是(X,d1)中的基本列.相反方向的证明是类似时.关于收敛点列的证明与关于基本列的证明类似.一个简单的例子就是在至少两个点的距离空间(X,d)中定义新的距离d1,使得d1=2d.13.设X是正整数集合，令d(x,y)=Ix-yI,,证明(X,d)是完备距离空间.［证明］首先从距离定义看，(X,d)实际上是口1的子空间，当然是距离空间.

因口1是完备的，而X又是口1中闭集，所以(X,©是完备距离空间.设X是正整数集合，令d(x,y)=I1/x-1/yI,证明(X,d)不是完备距离空间.［证明］首先直接验证可知(X,d)是距离空间.V^eD+，设xn=〃.则｛xn｝是(X,d)中的基本列.若｛x ｝收敛于xeX，则d(x ,x) ■ 0，即I1/x -1/xI ■0 (当n' 8时).由此推出1/x=0，而这是不可能的. n所以基本列｛xn｝不收敛，因此(X,d)不是完备距离空间.证明：离散距离空间(X,d)是完备距离空间.［证明］设｛xn｝是(X,d)中的基本列，则存在自然数N，当m,n>N时d(x,x)<1.由离散距离空间定义知，d(x,x)=%/所以应有x=x；TOC\o"1-5"\h\z mn mn即从N+1项开始｛x｝为常序列，因此｛x｝必为收敛列.所以(X,d)是完备距离空间。 n证明：c是可分的完备距离空间.［证明］首先证明c是完备距离空间.设｛x｝是基本列，Vs>0，存在自然数N，当m,n>N时d(x,x)<£.n mn记x=(g(n))，则|g(n)_g(m)|<s， (Vi>1).可见对Vi>1，数列｛&(n)|n>1｝是R1中的基本列，因此设&(n) …>&:并记x=(&.).显然当n>N时，Vi>1有In)—&l<£,取n=N+1贝UVi>1有I&(n+1)一&|<.由于xN1=(&(n+1))是收敛列，存在M>N使得当m,n>M时，' 'I&(N+1)—&(N+1)I<S.n m此时I&—&I<I&—&(N+1)I+I&(N+1)—&(N+1)I+I&(N+1)—&I<3S.nmnn n m m m故x=(&)是R1中的基本列，所以xec.i由前面可见，Vs>0，存在自然数N，当n>N时Vi>1有I&(n)—&I<s，故有supI&(n)—&I<s，即d(x,x)<s，所以基本列｛x｝是收敛的.n ni>1下面证明c是可分的.在c中，令A=｛x=(&)I&为有理数，存在自然数州使牧，>州有&=&『.则A显然为可数集，且入在c中稠密，所以c是可分的. 'N证明：s是可分的完备距离空间.［证明］首先证明s是完备距离空间.设｛x｝是基本列，Vs>0，存在自然数N，当m,n>N时d(x,x)<.n mni故艺1 |&『一&『|<s(对任意自然数M).2i1+I&(n)—&(m)|i=1 ii记x=(&(ni故艺1 |&『一&『|<s(对任意自然数M).2i1+I&(n)—&(m)|i=1 ii注意£1.知胄<s211+I&(n)—&(m)|i=1 ii

令m*得到丈-.1气)—%'<8,(对任意自然数M).2i1+1&(n)—&I所以有d(七,x)<8.即基本列｛%｝是收敛的.下面证明；是可分的. n在S中构造A如下：A=｛x=(&)I&为有理数，只有有限项不为0｝.显然A为可数集，且A在s中中稠密，所以s是可分的.从集合的角度看，mus，但s是可分的而m不是可分的，这能给我们什么启迪？［答］距离空间的可分性除了依赖于集合本身外，更重要的是依赖于集合上所给出的距离，仅对集合而言是谈不到什么可分不可分的.证明：lp(1<p<3)中的集合A是列紧集的充要条件是下面两条同时成立：存在K>0，使得对任意的x-(&■)eA有£I&.Ip<K，i=1对任意的8>0，存在自然数N，使得对任意的x-(&■)eA有£I&,Ip<8i-N+1［证明］若A是列紧集，则A是全有界集，第一个条件显然成立.对Vn-1,2,…，m.设｛x=(&(n))I1<n<m对Vn-1,2,…，m.则存在自然数N使£I&(n)Ip<()pii-N+12ii-N+1使得d(x,x)<

n(n0)Ip)p+(£使得d(x,x)<

n(n0)Ip)p+(£I&(n0)iIp)p<d(x,x)+—<8，i-N+1 0i那么(i&.ip)p<(-- ,i=n+1•从而第二个条件成立.反过来，假设集合A满足这两个条件，设｛x-(&(n))In=1,2,...｝是A中任意一个点列,ni由第一个条件，对任意的i-1,2,…，数集｛气n)｝有界，存在自然数列的子列｛n1｝使｛检np｝收敛于&：k 1 1又存在｛nk｝的子列｛n2｝使｛&(叫)｝收敛于&之，等等如此下去.令x.=(&"))，利用第二个条件容易证明｛x.｝是基本列.令；=(&) - -i即可在｛xn£i&—&°-ii-N+1,利用第一个条件可以证明xelp，并且｛x.｝收敛于x.-(&(n))In=1,2,...｝中选出收敛子列，所以集合A是列紧集.is中的集合As中的集合A是列紧集的充要条件是：对任意自然数i，存在c>0使i得，对任意的x-(&)eA有I&.I<c.［证明］若存在自然数i，对任意的M>0，存在x-(&i)eA使得I&il>M.这样就可以做一个A中的序列x-(&(n))使得I&(n)I>n.若｛xn｝有子列｛x%｝收敛，设其极限为y=(七)，'则因1.结匕iL1丰0，所以d(%,j)不收敛于零，得到矛盾，TOC\o"1-5"\h\z2i1+传(气)-ni2， /所以｛七｝没有收敛子列，即A不是列紧集，必要性得证.下面证明充分性.设对任意自然数，，存在c>0使得，对任意的%=(&)eA有I&l<c.i i ii设｛%｝是A中任一序列，存在｛%｝的子列｛%=(检咀))｝使&(〃，1)7门，n n n,1 i 1 1下一步，存在｛%｝的子列｛%=(&(n，2))｝使得&(n,2)^门，依次做下去；n,1 n,2 i 2 2然后考虑｛%｝的子列｛%｝，则它的第i个坐标收敛于七.令J=｛n.｝/显然｛%nn｝收敛于Jes.所以A是列紧集..设(X,d)是距离空间，AcX，令f%)=infd(%,j)，V%eX.证明f是连续函数.jeA［证明］V%1,%2eX，V>0，3J1,J2eA，使得d(%1,J1)-s<f(%1)，d(%2,J2)—£vf%2).由于d(%1,j1)-s<fxj<d(%1,j2)，d(%2,J2)—s<f%2)<d(%2,J1)，我们有f%J-f%2)<d(%1,J2)-(d(%2,J2)—s)<Id(%1,J2)-d(%2,J2)I+s<d(%1,%2)+s，f%)-f(%.)<d(%,j)-(d(x.,j)-s)<Id(%,j)-d(x.,j)I+s<d(x.,%)+s，」乙乙」所以If%)-f%)I<d(%,%)+s，由s的任意性，If(x)-f(x)I<d(%,%).所以f是(X,d)上的连续函数.(由证明可见，实际上是一致连续函数).设(X,d)是距离空间，孔,F2cX，F1,F2是闭集且％-F=0.证明存在开集GvG2cX，使得F1cG1,F件G2且G1-G2=0.乙Z-i Z-iZ-i［证明］对任意闭集F，定义fF(%)=infFd(%,j)，由21题结果知fF是(X,d)上的连续函数了显然当%eF时，fF(%)=0，而当%WF时，fF(%)>0.令g(%)=^J"］,、则g是(X,d)上的连续函数，且g(F1)=0，g(F2)=1.fF(%)+fF(%) 1令g=g-Y8,1/2)：G2=gT(1/2,+8)，则容易看出它们就是满足条件的开集.举例说明全有界集不一定是列紧的.［例］最为熟悉的例子是考虑口1中的开区间I=(0,1);作为6的子空间，显然它是全有界的距离空间，但不是列紧的距离空间.证明距离空间(X,d)中紧集的闭子集也是紧集［证明］设E为(X,d)中紧集，F是(X,d)中闭集，FcE.设A=｛AaI以eA｝是F的一个开覆盖，则8=A-｛X\F｝是E的一个开覆盖.由E紧，B有有限子覆盖C，则可得到F的有限覆盖C\｛X\F｝，实际上它也是A的一个有限子覆盖.所以F是紧集.证明：距离空间(X,d)中列紧集F的闭包是紧集.［证明］由F列紧，知F自列紧，因此F是紧集.设(X,d)为紧距离空间，｛Fn｝是闭集列，F］MF2^...^Fn^...，并且Fn^0.证明：-F丰0.这个结论在一般的距离空间是否成立？［证明］若・上=0,则｛Fnc｝是X的一个开覆盖，它存在有限的子覆盖.由于FfcF?c:..cFcJ...，，故存在自然数N使得FNc=X,此即FN=0.这与题目假设而矛盾.在一般的距离空间显然没有这样的结论.例如，在口】上考虑闭集列｛Fn｝,其中Fn=［n,+8).27.设(X,d)为距离空间，F是X中的紧集，f:F-口1连续.证明f一致连续.［证明］若不然，存在£>0，及F中的序列｛七｝，｛七｝，使得d(x,y)〈匕，但If(x)—f(j)1>£.nn■n n n由于F是X中的紧集，故也是自列紧集；存在自然数列的一个子列｛nk｝使得｛x〃｝，｛七｝皆收敛于F中点.k. k设x—x，y—y，由d(x,y)<1n，If(x)—f(y)I>£，nk nk nknk ■■-k nk nk知x=y，但If(x)—f(y)I>8，此为不可能.28.设fgC［0,1］，求证方程x(t)=f(t)+』x(s)ds，tg［0,1］有连续解.0［解］因人=0时方程是平凡的，不妨设樵0，记a=1n，n满足n>2IXI.考虑映射T:C[0,a]—C[0,a]，(Tx)t=f(t)+肩tx(s)dt.注意到01一d(Tx,Ty)=IXImaxIIx(s)一y(s)dsI<IXIad(x,y)V—d(x,y)，TOC\o"1-5"\h\ztG[0,1] 0 2所以T为压缩