zw-人教版必修高中数学第三章概率本章小结

随机在条件S下，可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件S随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果测下一次的结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性．概率可看做频率在理论上的期望值，随着试验次数的增加，①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；②只有当频A频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率反映了随机事件发10，因此0≤P(A)≤1.随机试验满足的条件：①试验可以在相同的条件下重复进行现哪种结果．如果两个事件AB不可能同时发生，则称AB互斥(互不相交，即A∩B＝∅.必然事件与不可能事件是互斥事件．两互斥事件的并的概率等于这两个事件的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)法公式的．如果A与B是互斥事件，且在一次试验中A与B必有一个发生，则称它们为对立事件．从集合的角度看，由事件B所含的结果组成的集合事件A所含的结条件：A∩B＝∅且A∪B＝I(I为全集)，通常事件A的对立事件记作A.对立事件的性质：P(AA)＝P(A)＋PA)＝1，由公式可得＝1－P(A)，当直接求某一事件的概率较为复而求其对某医院一天派出医生下乡医疗医生人数及其概率如下医生数012345上概6求：(1)派出医生至多2(2)派出医生至少2解析事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1C2事D：“派3名医生”，事件E：“派出4事件F5∵事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，(1)“派出医生至多2(2)“派出医生至少2►训1．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现在有放回地随机摸取321分，求3总分为5概率解析：每一个结果有三个球，它们的区别可用颜色体现，因此，果中找出符合要求的结果，即可求概率．一共有8不同的结果，列举如下：(红、红、红、)、(红、红、记“3次摸球所得总分为5”为事件A，则事件A包含的基本事件有3所3P(A)＝8古典概型及其概(1)有限个不同的基本事件；(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．则称这样的试验为古典概型．较易，对于“等可能性”的判断较难，要注意分辨．A包含的基本事件个数

总的基本事件个数 对于公式中事件A包含的基本事件个数及总的基本事件个数n的计算方法：(1)问题比较简单的、个数比较少的可用列举法按规(2)mn的值．要把一些实际问题转化为古典概型．地取1 试着开门试过 不扔掉求第二次才能打开门概率解析：用a，b表示能打开门的，用1,2表示不能打开门的(2，b)，(2,1)，(2,2)，共有16个基本事件，其中“第二次才能4开门”的事件含有4事件因此P(第二次才打开门)＝＝16用枚举法时要按照一定的顺序列举，做到不重复、不遗漏．训2．5张奖券中有2张是的，首先由甲然后由乙各抽一张，甲的概率甲、乙都的概率只有乙的概率乙的概率解析：(1)甲有5种抽法，即基本事件总数为5.的抽法只2种，即事件“甲”包含的基本事件数为2，故甲的概率2P1＝5甲乙各抽一张的事件中甲有五种抽法则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4＝20种，甲、乙 的事件中包含的 本事件只有2故P2＝＝20由(2)知，甲、乙各抽一张奖券，共有20奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情共有3×2＝6种 本事件，∴P3＝＝20由(1)可知，总的基本事件数为5，的基本事件数为2P4＝5几何概型及其概如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．几何概型是一种特小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．几何概型中事件A的概率计算公式构成事件A的区域长度面积或体积等P(A)＝试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积等D；(3)把随A转化为与之对应的子区域d；(4)利用几何概型概率公式计算．一、与长度有关的几若一次试验中所有可能结果和某个事件A包含的结果(基本事件)出各的计算公式即可求出事件A发睡来，发现钟表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10钟的概率．解析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的因为电台每隔1小时一次他在哪个时间段打开收音机的概率只与这时间段的长度有关，因此，需要求出各自相应的时间设事件A＝{等待时间不超过10分钟}，我们关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]之间，它的区间长度为10，电台每隔1小时一次，它的区间长度为60，由几何概型的计算公式60－50

60

.即“他等待的时间不多于10分钟的概率”为 可转化为与“长度”有关的几何概型每个事件理解为从某个区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．►训在其间再随意安装两盏路灯C，DAC，BD之间的距离都不小10个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型．E：“AC，BD之间的距10AB三 10分30＝10，∴P(E)＝＝ 30二、与角度有关的几若一次试验中所有可能结果和某个事件A包含的结果(基本事件)的计算公式即可求出事件A发生的概率．如右图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OAOA落在∠xOT内的概率．O作射线OA是随机的射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的设事件A＝{射线OA落在∠xOT内}，事件A的“几何度量”是60°，而坐标平面的“几何度量”为360°，所以由几何概率公式

60＝360点评：解此题的关键是找到事件A＝{射线OA落在∠xOT“几何度量”是60°，以及坐标平面的“几何度量”为训AA连接，求弦长超过半径的2倍的概率．解析B是⊙O上的任一点，要使弦长超过半径的2倍，只需∠AOB90°，记“弦长超过半径的2倍”为事件E，则E表示的范围是∠AOB∈[90°，270270°－90°2率的2

＝三、与面积有关的几如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地用几何概型的公式求解．0～1选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段，试求这三条线段能构成三角形的概率，12，12

＝2错解：因为 所以<x＋y<1，于是P＝2

1＝.错因：本题误把长度解析设三条线段的长度分别为xy,1xy，则

在平面上建立如图所x＝0，y＝0，y＝－x＋1围成如图所示三角形区域G，每一对(x，y)对应着G内的点(x，2

即x 1y<.因此图中的阴影区域g就表示“三条线段能g的面积

，G的面积

，则P(这三条线段构成三 g的面积G的面积训色黑色蓝色红色靶心为金色金色靶心叫“”奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm.运动员在70m外的，那么射中的概率为多少？解析：记“射中”为事件B，由于中靶点随机地落在面积

的大圆内，而当中靶点落在

4

的黄心时，事件B发生，于是事件B发生的概率为P(B1×π×12.2241×π×12224

即：“射 ”的概率是四、与体积有关的几对应体积求出，就可以利用几何概型概率公式进行计算．在区间[0,1x，y，z，事件A＝{(x，y，z)|x2＋y2＋z2＜1，x≥0，y≥0，z≥0}.构造出随机事件A对应的几何图形利用该图形求事件A的概率解析：在空间直角坐标系下，要明确x2＋y2＋z2＜1表示的几何图形是以原点为球心，半径r＝1的球的内部．事件A对应的几何图形所在位置是随机的，所以事件A的概率只与事件A对应的几何图(1)A＝{(x，y，z)|x2＋y2＋z2＜1，x≥0，y≥0，z≥0}表示空间直角坐标系中以原点为球心，半r＝1球的内部x≥0，y≥0，z≥0部分，如图所示．(2)由于x，y，z属于区间[0,1x＝y＝z＝1的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分．1 ×8 ＝6明白点P(x，y，z)的集合所表示的图形．从本例可以看出求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可解，另外要适当选择►训若∀b∈(0,1)，则方程x2＋x＋b＝0有实根的概率为

答案随机随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的．随机数的产生方法：(1)可以由实验产速度太慢．(2)由计算机或计算器产生，随机数表就是由计算机产生由计算机或计算器产生的不是真正的随机数，称为伪随机数．利用随机模拟的方法求概率，实质上是先求频率，用频率近感的量(如概率值常数)有关然后设计适当的试验并通过这个试验的结果来确定这些量．均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产RAND()函数可以产生0～1a～b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0～1之间的均匀随机数x＝RAND(x＝RAND()*(b－a)＋a，就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a～b之间的任何均匀随机数的应用：(1)用随机模拟法估计几何概率；(2)用欲用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积，可以如下操作利用计算器或计算机产生两组0～1的均匀随机数x1＝RAND，x＝3]及频率是概率的近似值进行计算．设事件A所投点落在阴影部分”．正方形的面积为9，设阴影部分的面积为S，则S式得：P(A)＝9

9又因为频率的值NP(A)的近似值，故N≈，所以S≈N9►训某校高一全年级共20个班1200学分配到40解析120040个考场中去，每个考场30先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后从1号到3