现代数学与中学数学考试卷a卷

研究生课程深造班试卷封面姓名：徐竞单位河南驻马店平舆县第一高级中学专业：数学考试科目：现代数学与中学数学考试分数：2011年12月29日东北师范大学研究生课程深造班考试一试卷评分表题号分数签名课程名称现代数学与中1学数学2姓名徐竞3单位河南驻马店平舆4县一高5专业数学6789102011年12月29日总分评阅教师署名：年代日现代数学与中学数学考试卷一、(10分)对以下各式，判断其对错，或加以证明，或举出反例（1）fo(gh)fogfoh（2）(gh)ofgofhof解：（1）令f(x)x2,g(x)x,h(x)1x则f(gh)f[g(x)h(x)]f(1)1fgfhf[g(x)]f[h(x)]x2(1x)22x22x1f(gh)fgfh（2）设f(x),g(x),h(x)的定义域分别为A、B、C，DABC对xD,gfhfg[f(x)]h[f(x)](gh)f二、（10分）若函数f(x)在点xa可导，计算（1）limf(a2t)f(a)（2）limf(a2t)f(at)t0tt02t解：（1）f(a2t)f(a)f(a2t)f(a)2f'( )t2tt0t0f(a2t)f(at)limf(a2t)f(a)f(a)f(at)（2）lim2t2tt0tlimf(a2t)t02tlimf(a2t)t02tf'(a)1f'(a)2

f(a)limf(a)f(at)t02tf(a)limf(at)f(a)t02tf'(a)2三、（10分）求一函数yf(x)，其曲线过坐标原点且曲线上每一点切线斜率是该点横坐标的2倍。解：由题意f'(x)2x，即dy2xdx①①式两边积分，有dy2xdxCyx2C又f(x)过点(0,0)，进而C=0f(x)x2四、（10分）证明：若0x1x2x3，则sinx2sinx1sinx3sinx2x2x1x3x2解：记f(x)sinx，因为0x1x2，故f(x)在[x1,x2]上连续，在(x1,x2)内可导。由拉格朗日中值定理存在1(x1,x2)，有sinx2sinx1cos1(x2x1)，即cos1sinx2sinx1，同理存在2(x2,x3)，有cos2sinx3sinx2x2x1x3x2又f'(x)cosx在(0,)上递减，1,2(0,)，cos1cos2，也就是：sinx2sinx1sinx3sinx2x2x1x3x2五、（10分）求极点在座标原点的锥面x2y2z20与平面zc所围成的a2b2c2锥体的体积。解：任取z(0,c)，过点(0,0,z)作垂直于z轴的平面，截面为椭圆，其方程为x2y21，截面面积S(z)abz2a2z2b2z2c2c2c2cabz2dzabc2dz1abc故Vc2c2z300六、（10分）甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,。今各投2次。求甲比乙投中次数多的概率。解：设甲、乙两人各投篮两次，投中的次数分别为,，则~B(2,0.3)，~B(2,0.6)。P()P(2,1)P(2,0)P(1,0)C220.32C210.60.4C220.32C200.42C210.30.7C200.420.04320.01440.06720.1248甲比乙投中次数多的概率为。七、（10分）要研究某种物质致癌性质，用小白鼠做试验。假定把50只小白鼠随机地分红10组，每组5只，对每只小白鼠注射该物质，经过一段时间后，察看每组小白鼠患癌的个数，获得X1,X2,,X10，则Xi~B(5,p),i1,2,,10，这里p就是这类物质致癌的概率。试导出p的最大似然预计值的计算公式。解：由Xi~B(5,p),i1,2,,10有：P(Xix)Cxi(1p)5xipxii1,2,,10i5现有样本X1,X2,,X10，故似然函数为1010xi101050xiL(p)C5xi(1p)5xipxiC5xi?(1p)i1?pi1i1i11010xi1050xiL(p)i1C5xi?(1p)i1?pi1①①式两边取自然对数，得：10lnL(p)ln[i110ln(i1

1010C5xi50xixi?(1p)i1?pi1]C5xi1010)(50xi)ln(1p)xilnpi1i11010两边对p求导，得：dlnL(p)xi(50xi)i11i1dppp10令dlnL(p)xi0，解得pi1dp5010xip的最大似然预计值的计算公式为pi150八、（10分）甲同学在他的盒子中放了200个玻璃球（盒子中黑球、白球究竟各有多少他并未告诉其余任何人），甲同学当众宣告：他的这些球中黑球所占比率p=3%，乙同学从甲同学的盒子中随意取若干个球（比方：10个），观察并记录取到球的颜色。该实验的结果有多种可能。（1）假如乙同学发现他任取的10个球中2个黑球，问此时乙同学可否相信甲同学的说法？（2）假如乙同学发现他任取的10个球没有黑球，问此时乙同学对甲同学的说法又应做何反响？H0：p=3%，假定p=3%真确，这解：把甲同学的说法看作一种假定，即令（1）、时200个球中的黑球数应为6，用我们在概率中学过的方法，来计算任取10个球中最少有2个是黑球的概率。令pi表示任取10个球中恰有i个黑球这一事件的概率，则p0=P{“乙同学所取的10个球中无黑球”}C19410/C20010(190189185)(200199195)0.732140p1=P{“乙同学所取的10个球中恰有一个黑球”}(C61?C1949)/C20010610(194193186)(200199191)=于是1－p0－p1=1－－=。上述结果表示，若甲同学所说的200个球中黑球所占比率为3%为真的话，则任取10个球，出现最少2个黑球的概率为。这样的抽样做100回，碰到这类状况（最少取到2个黑球）将不到4回，现在，只做一回抽样（乙同学取个球）就碰上了这类稀有的事情，这和实质推断原理判断的结果：小概率事件在一次实验中其实是不行能发生的，产生了矛盾，究其原由，产生这种矛盾的本源在于甲同学的说法p=3%，所以乙同学应当拒绝假定H0：p=3%，以为甲同学的200个球中黑球所占比率将远大于3%，进而拒绝甲同学的说法，以为甲同学声称的200个球中黑球所占比率为3%不行信。2）、假如乙同学任取的10个球中没有黑球，全部是白球的话，则乙同学只能认可甲同学声称的200个球中黑球所占比率为3%可能是可信的。九、（10分）用选主元素的Gauss消元法求解x12x23x326,(1a)2x13x2x334,(1b)3x12x2x339.(1c)请指明消元、回代过程。解：n3,a1110,l21a21/a112,l31a31/a113做（第i个方程）+li1（第1个方程），i2,3。达成第一步消元得：x12x23x326x25x3184x28x339a(1)10,l32a(1)/a(1)4223222做第三个方程+l32第二个方程，达成第二步消元得：x12x23x326x25x31812x333回代求得：x311,x2185x317,x1262x23x337444所以原方程组的解为(x1,x2,x3)(37,17,11)444十、（10分）使用二分法求解x220于[1,2]内的根，二分3次即可。解：记f(x)x22，f(1)1223,f(2)2222,f(1)f(2)0，f(x)在区间（1，2）内有零点，记为x0。取区间（1，2