2018届数学大二轮复习专题四数列第2讲数列求和及综合应用复习指导课后强化训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE18学必求其心得，业必贵于专精专题四第二讲A组1．已知数列{an｝，{bn｝满足a1＝b1＝1,an＋1－an＝eq\f（bn＋1,bn）＝2，n∈N＋,则数列{ban}的前10项的和为eq\x(导学号52134510)(D）A．eq\f（4,3）（49－1） B．eq\f(4,3）（410－1）C．eq\f（1,3)（49－1） D．eq\f(1,3)（410－1)[解析］由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1,由eq\f（bn＋1，bn）＝2,b1＝1得bn＝2n－1，∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1，∴数列｛ban}前10项和为eq\f（1×410－1，4－1）＝eq\f(1，3）（410－1)．2．若数列｛an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝eq\f（1,a1a2）＋eq\f(1，a2a3)＋…＋eq\f（1，anan＋1）等于eq\x（导学号52134511)(B）A．1－eq\f(1，4n） B．eq\f(2,3）（1－eq\f（1,4n))C．1－eq\f（1，2n) D．eq\f（2,3）(1－eq\f（1,2n))[解析]因为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1，所以eq\f（1,anan＋1)＝eq\f（1,2）×(eq\f(1，4））n－1,所以{eq\f(1,anan＋1）｝也是等比数列，所以Tn＝eq\f(1,a1a2）＋eq\f（1，a2a3)＋…＋eq\f（1，anan＋1）＝eq\f(1，2)×eq\f（1×1－\f（1,4n),1－\f（1，4)）＝eq\f(2,3）（1－eq\f(1，4n）），故选B．3．(文）给出数列eq\f（1,1),eq\f（1，2），eq\f（2，1），eq\f(1,3），eq\f（2,2），eq\f(3,1）,…，eq\f（1,k)，eq\f（2,k－1)，…,eq\f(k,1），…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是eq\x（导学号52134512)（B)A．4900 B．4901C．5000 D．5001[解析]根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项,…，分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是：eq\f(1,99），eq\f(2，98)，eq\f(3,97)，…，eq\f(50,50），eq\f(51，49)，…，eq\f(99，1），第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝eq\f(981＋98，2）＋50＝4901．(理）(2017·合肥市质检）以Sn表示等差数列{an｝的前n项和，若S5>S6，则下列不等关系不一定成立的是eq\x（导学号52134513）（D）A．2a3>3a4 B．5a5〉a1C．a5＋a4－a3<0 D．a3＋a6＋a12<2a［解析］依题意得a6＝S6－S5<0,2a3－3a4＝2(a1＋2d）－3（a1＋3d)＝－（a1＋5d）＝－a6>0,2a3〉3a4；5a5－(a1＋6a6)＝5（a1＋4d）－a1－6（a1＋5d）＝－2(a1＋5d)＝－2a6〉0,5a5>a1＋6a6；a5＋a4－a3＝（a3＋a6)－a4．等差数列{an｝中,a1〉0,公差d〈0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点（n，Sn）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是eq\x（导学号52134514）（C）［解析］∵Sn＝na1＋eq\f（nn－1,2）d，∴Sn＝eq\f（d,2)n2＋（a1－eq\f（d,2）)n,又a1〉0，公差d<0，所以点(n，Sn）所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．［点评］可取特殊数列验证排除,如an＝3－n．5．定义在(－∞,0）∪（0，＋∞)上的函数f(x）,如果对于任意给定的等比数列{an｝，{f(an）}仍是等比数列，则称f（x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f（x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x）＝eq\r(|x|)；④f（x）＝ln｜x｜．则其中是“保等比数列函数”的f(x）的序号为eq\x(导学号52134515)(C)A．①② B．③④C．①③ D．②④［分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数;②若{an}是等比数列，则{f（an)}仍是等比数列．［解析]解法一：设{an}的公比为q．①f（an)＝aeq\o\al(2，n），∵eq\f（a\o\al(2,n＋1)，a\o\al（2，n））＝（eq\f（an＋1，an））2＝q2,∴｛f（an）｝是等比数列，排除B、D．③f(an)＝eq\r（｜an|），∵eq\f(\r（｜an＋1|）,\r（｜an|）)＝eq\r(｜\f（an＋1,an)｜）＝eq\r(|q｜)，∴｛f（an）｝是等比数列,排除A．解法二：不妨令an＝2n．①因为f（x）＝x2，所以f（an）＝aeq\o\al(2,n）＝4n.显然{f（an）}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f(x）＝2x，所以f（a1）＝f（2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以eq\f（fa2，fa1）＝eq\f（24，22）＝4≠eq\f（fa3，fa2）＝eq\f（28,24）＝16，所以{f(an)｝不是等比数列．③因为f(x）＝eq\r(|x｜），所以f(an)＝eq\r（2n）＝（eq\r（2））n．显然{f（an)}是首项为eq\r（2）,公比为eq\r(2）的等比数列．④因为f(x)＝ln|x｜,所以f（an)＝ln2n＝nln2．显然{f(an）｝是首项为ln2,公差为ln2的等差数列，故选C．6．若数列｛an}与｛bn｝满足bn＋1an＋bnan＋1＝（－1)n＋1，bn＝eq\f（3＋－1n－1,2),n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝__560__.eq\x（导学号52134516）［解析]∵bn＝eq\f(3＋－1n－1,2）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2n为奇数,1n为偶数））,又a1＝2,∴a2＝－1，a3＝4，a4＝－2，a5＝6，a6＝－3，…，∴S63＝a1＋a2＋a3＋…a63＝(a1＋a3＋a5＋…＋a63)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a62）＝(2＋4＋6＋…＋64）－(1＋2＋3＋…＋31）＝1056－496＝560．7．已知向量a＝（2,－n)，b＝(Sn，n＋1），n∈N＊，其中Sn是数列{an｝的前n项和，若a⊥b，则数列｛eq\f（an,an＋1an＋4）}的最大项的值为__eq\f(1，9)__。eq\x（导学号52134517）［解析]∵a⊥b，∴a·b＝2Sn－n(n＋1）＝0，∴Sn＝eq\f(nn＋1,2),∴an＝n，∴eq\f(an,an＋1·an＋4)＝eq\f（n,n＋1n＋4）＝eq\f（1,n＋\f(4，n)＋5),当n＝2时，n＋eq\f（4，n)取最小值4,此时eq\f（an，an＋1an＋4）取到最大值eq\f（1,9）．8．已知数列{an｝是递增的等比数列，且a1＋a4＝9,a2a3＝8。eq\x（导学号52134518)(1）求数列｛an｝的通项公式;（2）设Sn为数列｛an}的前n项和，bn＝eq\f(an＋1,SnSn＋1),求数列{bn｝的前n项和Tn．［解析](1)由题设知a1·a4＝a2·a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a4＝8）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝8，，a4＝1))（舍去）．由a4＝a1q3得公比为q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1．（2）Sn＝eq\f（a11－qn，1－q)＝2n－1，又bn＝eq\f（an＋1,SnSn＋1）＝eq\f（Sn＋1－Sn，SnSn＋1)＝eq\f(1,Sn）－eq\f（1，Sn＋1）,所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,S1）－\f(1，S2））)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，S2)－\f(1,S3）））＋…＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)－\f(1，Sn＋1)）)＝eq\f（1，S1)－eq\f（1,Sn＋1)＝1－eq\f(1,2n＋1－1）.9．已知等比数列｛an｝的公比q>1,4eq\r（2）是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn＝log2an（n∈N＊)。eq\x(导学号52134519）（1)求数列{an｝的通项公式；(2）求数列｛anbn}的前n项和Sn．[解析］(1)因为4eq\r（2)是a1和a4的一个等比中项，所以a1·a4＝（4eq\r(2））2＝32．由题意可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2·a3＝32，,a2＋a3＝12。)）因为q>1，所以a3>a2．解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝4，,a3＝8。）)所以q＝eq\f（a3,a2)＝2．故数列{an｝的通项公式an＝2n．（2)由于bn＝log2an(n∈N*），所以anbn＝n·2n,Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋（n－1）·2n－1＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。②①－②得,－Sn＝1·2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝eq\f（21－2n,1－2）－n·2n＋1．所以Sn＝2－2n＋1＋n·2n＋1＝2＋（n－1)·2n＋1．B组1．（2017·武汉市高三调研)设Sn是公差不为0的等差数列｛an}的前n项和,S1，S2，S4成等比数列,且a3＝－eq\f（5，2)，则数列｛eq\f(1,2n＋1an)}的前n项和Tn＝eq\x(导学号52134520）(C）A．－eq\f（n，2n＋1) B．eq\f(n，2n＋1）C．－eq\f（2n,2n＋1) D．eq\f（2n,2n＋1)[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{an}的公差为d，因为S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋eq\f(a3－a1,2)＝eq\f（3，2）a1－eq\f(5,4）,S4＝3a3＋a1＝a1－eq\f（15,2），因为S1，S2,S4成等比数列，所以(eq\f(3,2）a1－eq\f（5,4)）2＝(a1－eq\f(15,2)）a1，整理得4aeq\o\al(2,1)＋12a1＋5＝0，所以a1＝－eq\f(5,2)或a1＝－eq\f（1，2）．当a1＝－eq\f（5，2）时,公差d＝0不符合题意，舍去;当a1＝－eq\f（1,2)时，公差d＝eq\f(a3－a1,2）＝－1，所以an＝－eq\f(1,2)＋(n－1）×（－1）＝－n＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1，2）(2n－1），所以eq\f（1，2n＋1an）＝－eq\f（2，2n－12n＋1）＝－（eq\f（1，2n－1）－eq\f(1，2n＋1)）,所以其前n项和Tn＝－(1－eq\f(1，3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)）＝－（1－eq\f(1，2n＋1）)＝－eq\f（2n,2n＋1），故选C．2．（文）已知函数f（x）＝log2x，等比数列｛an}的首项a1〉0,公比q＝2,若f(a2·a4·a6·a8·a10）＝25，则2f（a1)＋f(a2)＋…＋f(a2017）等于eq\x（导学号52134521)（C)A．21009×2018 B．21010×2019C．21008×2017 D．21009×2017［解析]f（a2·a4·a6·a8·a10)＝log2(a2·a4·a6·a8·a10）＝log2（aeq\o\al（5，1)q25)＝25，即aeq\o\al(5，1）·q25＝225，又a1〉0，q＝2,故得到a1＝1．2f（a1)＋f（a2)＋…＋f（a2012）＝2f（a1）·2f（a2)·…·2f＝2log2a1·2log2a2·…·2log＝a1·a2·…·a2017＝aeq\o\al(2017，1)·q1＋2＋…＋2016＝12017×2eq\f（2016×1＋2016，2)＝21008×2017.故选C．(理）已知an＝eq\f（3，2n－11），数列{an｝的前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是eq\x(导学号52134522）（C）A．an与Sn都有最大值 B．an与Sn都没有最大值C．an与Sn都有最小值 D．an与Sn都没有最小值［解析]画出an＝eq\f（3,2n－11）的图象，点（n，an)为函数y＝eq\f(3，2x－11）图象上的一群孤立点,(eq\f(11，2），0)为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大．3．(文）已知正数组成的等差数列｛an｝，前20项和为100，则a7·a14的最大值是eq\x(导学号52134523)(A）A．25 B．50C．100 D．不存在［解析］∵S20＝eq\f（a1＋a20,2)×20＝100,∴a1＋a20＝10．∵a1＋a20＝a7＋a14,∴a7＋a14＝10．∵an〉0，∴a7·a14≤(eq\f（a7＋a14,2))2＝25.当且仅当a7＝a14时取等号．(理）已知数列{an}的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k＝4时，输出S＝eq\f（1，3)，则a2018＝eq\x(导学号52134524）（D）A．2016 B．2017C．2018 D．2019［解析]由程序框图可知，{an｝是公差为1的等差数列，且eq\f（1，a1a2)＋eq\f（1，a2a3)＋eq\f(1,a3a4)＋eq\f（1,a4a5）＝eq\f（1,3）,∴eq\f(1,a1）－eq\f（1，a2）＋eq\f(1,a2）－eq\f（1，a3）＋eq\f（1,a3)－eq\f(1，a4)＋eq\f(1,a4)－eq\f（1，a5）＝eq\f(1,a1）－eq\f（1，a5)＝eq\f（1，3)，∴eq\f(1，a1)－eq\f(1,a1＋4）＝eq\f（1，3），解得a1＝2，∴a2018＝a1＋2017d＝2＋2017＝2019．4．(文）在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2（x2，y2）是第一象限内的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列,则△OP1P2的面积是eq\x(导学号52134525）(A)A．1 B．2C．3 D．4［解析]由等差、等比数列的性质,可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴P1(2，2)，P2（3，4），∴S△OP1P2＝1．(理）已知曲线C：y＝eq\f(1,x)(x〉0)上两点A1(x1，y1）和A2（x2，y2），其中x2〉x1。过A1、A2的直线l与x轴交于点A3(x3,0），那么eq\x(导学号52134526)(A)A．x1，eq\f(x3,2），x2成等差数列 B．x1，eq\f(x3，2）,x2成等比数列C．x1，x3,x2成等差数列 D．x1,x3，x2成等比数列［解析]直线A1A2的斜率k＝eq\f（y2－y1,x2－x1）＝eq\f（\f(1，x2）－\f(1,x1）,x2－x1）＝－eq\f(1，x1x2),所以直线A1A2的方程为y－eq\f(1，x1)＝－eq\f（1，x1x2)（x－x1)，令y＝0解得x＝x1＋x2，∴x3＝x1＋x2，故x1，eq\f(x3,2)，x2成等差数列，故选A．5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f（an,an＋2)(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ）(eq\f（1，an）＋1），b1＝－λ,且数列{bn｝是递增数列，则实数λ的取值范围为eq\x(导学号52134527)(A）A．λ<2 B．λ>3C．λ>2 D．λ<3［解析］易知eq\f(1，an＋1)＝eq\f(2,an)＋1，所以eq\f(1,an＋1)＋1＝2(eq\f（1，an）＋1）．又a1＝1，所以eq\f（1,an)＋1＝(eq\f（1，a1)＋1）2n－1＝2n，所以bn＋1＝（n－λ）2n，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ）2n－1＝（n－λ＋1）2n－1>0，所以n－λ＋1〉0．又n∈N＊，所以λ<2．6．已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A（2，eq\f（1,2））、B（3,1），若记an＝log2f（n）（n∈N*)，Sn是数列｛an｝的前n项和,则Sn的最小值是__－3__.eq\x（导学号52134528）［解析]将A、B两点坐标代入f(x）得，eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)＝ab2，，1＝ab3，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（1，8)，,b＝2，））∴f(x）＝eq\f(1,8)·2x.∴f(n)＝eq\f（1,8)·2n＝2n－3．∴an＝log2f（n）＝n令an≤0，即n－3≤0，∴n≤3．∴数列前3项小于或等于零,故S3或S2最小．S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋（－1)＋0＝－3．7．（2017·新乡、许昌、平顶山调研）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群,第二群，…，第n群，…，第n群恰好n个数,则第n群中n个数的和是__3·2n－2n－3__。eq\x(导学号52134529)［解析]由图规律知，第n行第1个数为2n－1，第2个数为3·2n－2，第3个数为5·2n－3……设这n个数的和为S则S＝2n－1＋3·2n－2＋5×2n－3＋…＋（2n－3)·2＋(2n－1）·20 ①2Sn＝2n＋3·2n－1＋5·2n－2＋…＋(2n－3)·22＋（2n－1）·21 ②②－①得Sn＝2n＋2·2n－1＋2·2n－2＋…＋2·22＋2·2－(2n－1)＝2n＋2n＋2n－1＋…＋23＋22－（2n－1)＝2n＋eq\f（41－2n－1，1－2）－(2n－1)＝2n＋2n＋1－4－2n＋1＝3·2n－2n－3．8．已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.eq\x（导学号52134530）（1）证明:an＋2－an＝λ；（2)是否存在λ，使得｛an｝为等差数列?并说明理由．［分析］（1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn用配凑法可获证；（2）假设存在λ,则a1，a2，a3应成等差数列求出λ的值，然后依据an＋2－an＝λ推证｛an}为等差数列．［解析](1)由题设：anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1．由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；｛a2n}是首项为3，公差为4的等差数列,a2n＝4n－1．所以an＝2n－1，an＋1－an＝2．因此存在λ