2018届数学复习第六章不等式、推理与证明课时作业39基本不等式（含解析）文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE11学必求其心得，业必贵于专精课时作业39基本不等式一、选择题1．已知a,b∈R＋且a≠b，x＝eq\f(\r（a)＋\r(b),2），y＝eq\r(a＋b）,则x，y的大小关系是()A．x<y B．x〉yC．x＝y D．视a，b的值而定解析：由不等式eq\f(a2＋b2,2）≥eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a＋b,2））)2,可得eq\r（\f（a＋b,2))≥eq\f（\r（a）＋\r(b），2)，又因为eq\r（\f（a＋b,2))<eq\r(a＋b），所以可得eq\f(\r(a)＋\r(b）,2)〈eq\r（a＋b），即x〈y。答案：A2．设函数f(x）＝x＋eq\f(1,x－1),当x>1时,不等式f(x）≥a恒成立，则实数a的取值范围是（)A．(－∞,3] B．[3，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞)） D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞,\f（7,2))）解析:当x>1时,x－1>0，则f(x）＝x＋eq\f（1，x－1）＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r（x－1·\f（1,x－1）)＋1＝3，当且仅当x－1＝eq\f（1，x－1)，即x＝2时等号成立，函数f(x）有最小值3.由不等式f（x)≥a恒成立，得实数a的取值范围是（－∞，3］．答案：A3．点（a，b）在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4bA．8 B．6C．4eq\r(2） D．3eq\r（2）解析:由题可得a＋2b＝3，因为2a＋4b＝2a＋22b≥2eq\r（2a＋2b)＝2eq\r（23)＝4eq\r（2），当且仅当a＝2b,即a＝eq\f(3，2），b＝eq\f(3,4）时等号成立．答案：C4．已知x>0，y〉0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3 B．4C。eq\f(9，2） D。eq\f(11,2）解析:∵2xy＝x·2y≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（x＋2y，2)））2,∴8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x＋2y,2）））2，令x＋2y＝t，则t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8(舍去）,∴x＋2y的最小值为4。答案：B5．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2〈0(a〉0）的解集为（x1，x2)，则x1＋x2＋eq\f（a,x1x2）的最小值是（)A。eq\f（\r(6)，3） B。eq\f（2,3）eq\r（3）C。eq\f(2,3）eq\r(6） D。eq\f（4,3）eq\r（3)解析:∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0（a〉0）的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2，又a>0，∴Δ>0，∴x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋eq\f(a，x1x2)＝4a＋eq\f（a，3a2）＝4a＋eq\f（1，3a)≥2eq\r(4a·\f（1，3a))＝eq\f（4\r（3），3）,当且仅当a＝eq\f（\r(3),6）时取等号．故x1＋x2＋eq\f（a，x1x2）的最小值是eq\f（4\r(3），3）。答案:D6．若正数a，b满足eq\f（1,a)＋eq\f（1，b)＝1，则eq\f（1，a－1)＋eq\f（9,b－1)的最小值为(）A．1 B．6C．9 D．16解析：∵正数a，b满足eq\f（1,a)＋eq\f(1，b)＝1，∴b＝eq\f(a，a－1）>0，解得a〉1,同理b〉1，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9，b－1）＝eq\f(1,a－1)＋eq\f（9,\f(a,a－1）－1）＝eq\f（1,a－1)＋9（a－1）≥2eq\r(\f（1,a－1）·9a－1)＝6，当且仅当eq\f（1,a－1）＝9(a－1），即a＝eq\f（4，3）时等号成立，∴最小值为6.答案：B二、填空题7．y＝eq\r(3－aa＋6)（－6≤a≤3)的最大值为________．解析：由－6≤a≤3，得3－a≥0，a＋6≥0。由基本不等式，得eq\r(3－aa＋6）≤eq\f(3－a＋a＋6，2)＝eq\f（9,2),当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－eq\f（3,2）时，等号成立，故y的最大值为eq\f（9，2）。答案：eq\f（9，2)8．已知直线ax＋by＝1经过点(1,2），则2a＋4b解析：由直线ax＋by＝1经过点(1,2)，得a＋2b＝1，则2a＋4b≥2eq\r（2a×4b）＝2eq\r（2a＋2b）＝2eq\r(2)，当且仅当2a＝4b,即a＝eq\f（1,2），b＝eq\f(1，4）时，等号成立，所以2a＋4b的取值范围是［2eq\r(2),＋∞)．答案：[2eq\r(2），＋∞）9．（2017·湖北襄阳一调)已知x〉－1，y〉0且满足x＋2y＝1，则eq\f（1，x＋1）＋eq\f(2，y)的最小值为________．解析：∵x〉－1，y〉0且满足x＋2y＝1，∴x＋1>0，且（x＋1)＋2y＝2，∴eq\f(1，x＋1)＋eq\f(2,y）＝eq\f（1，2)[（x＋1）＋2y］eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，x＋1)＋\f(2，y))）＝eq\f(5,2)＋eq\f（1,2）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2y，x＋1）＋\f(2x＋1，y)））≥eq\f（5,2）＋eq\f(1,2)×2eq\r(\f（2y,x＋1)·\f(2x＋1,y）)＝eq\f(9，2),当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(2y,x＋1）＝\f（2x＋1,y），，x＋2y＝1，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f（1，3），，y＝\f（2，3））)时取等号，故eq\f（1,x＋1）＋eq\f（2，y）的最小值为eq\f(9，2),所以答案应填eq\f（9，2）.答案:eq\f（9,2)三、解答题10．已知x〉0，y>0,且2x＋8y－xy＝0，求（1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：（1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f（8,x）＋eq\f(2，y）＝1，又x>0，y〉0，则1＝eq\f(8,x)＋eq\f（2，y）≥2eq\r（\f(8,x)·\f(2,y）)＝eq\f（8,\r（xy)）,得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.（2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f（8，x）＋eq\f（2,y）＝1,则x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（8，x)＋\f(2,y)））·（x＋y）＝10＋eq\f(2x，y）＋eq\f(8y，x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y，x）)＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立,∴x＋y的最小值为18.11．已知a〉0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f（1,b)＝eq\r(ab)。(1）求a3＋b3的最小值；（2）是否存在a,b，使得2a＋3b解：(1)∵a>0，b〉0,∴eq\f（1，a)＋eq\f（1,b)≥2eq\r（\f(1,ab）），即eq\r（ab)≥2eq\r（\f（1，ab)），由此得ab≥2，当且仅当a＝b＝eq\r(2）时取等号，又a3＋b3≥2eq\r(a3b3）≥2eq\r(23)＝4eq\r(2），当且仅当a＝b＝eq\r（2）时取等号，∴a3＋b3的最小值是4eq\r（2）。(2）由（1)得ab≥2（a＝b＝eq\r(2）时取等号）,∴2a＋3b≥2eq\r（2a·3b）＝2eq\r(6ab)，当且仅当2a＝3b故2a＋3b≥2eq\r(6ab）〉4eq\r（3）〉6，故不存在a,b，使得2a＋3b1．设正实数x,y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy，z）取得最大值时，eq\f（2,x）＋eq\f（1,y）－eq\f(2,z）的最大值是(）A．0 B．1C。eq\f（9,4） D．3解析：eq\f（xy，z)＝eq\f(xy，x2－3xy＋4y2）＝eq\f（1,\f（x,y）＋\f(4y，x）－3）≤eq\f(1，4－3)＝1，当且仅当x＝2y时等号成立,此时z＝2y2，eq\f(2，x)＋eq\f(1，y）－eq\f（2,z)＝－eq\f(1,y2)＋eq\f（2,y)＝－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,y）－1）)2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B2．(2017·银川模拟）若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则eq\f(2,a）＋eq\f(1，b)的最小值是（）A．2－eq\r(2) B。eq\r(2)－1C．3＋2eq\r（2） D．3－2eq\r（2)解析：∵圆心为（1，2）在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1,∴eq\f(2,a）＋eq\f(1,b）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,a）＋\f（1，b))）·（a＋b)＝3＋eq\f(2b,a）＋eq\f（a,b）≥3＋2eq\r(2).当且仅当eq\f(2b，a）＝eq\f（a,b)，即a＝2－eq\r(2)，b＝eq\r（2)－1时等号成立．答案：C3．若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1）,则（a＋1）（b解析：因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝eq\f(4a－1，a－1）.又a>1，所以b〉0，所以（a＋1)(b＋2）＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋eq\f（6,a－1）＋1＝6(a－1)＋eq\f（6,a－1）＋15.因为a－1〉0，所以6(a－1）＋eq\f（6,a－1）＋15≥2eq\r(6a－1×\f（6,a－1）)＋15＝27，当且仅当6(a－1)＝eq\f(6,a－1)(a>1），即a＝2时等号成立，故（a＋1)·(b＋2）的最小值为27。答案：274．某地需要修建一条大型输油管道通过240km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为xkm的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．（1)试将y表示成x的函数；(2）需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少?解：（1）设需要修建k个增压站，则（k＋1）x＝240，即k＝eq\f(240,x)－1.所以y＝400k＋(k＋1)（x2＋x）＝400eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（240，x)－1）)＋eq\f（240,x）（x2＋x）＝eq\f(96000,x）＋240x－160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0〈x<240.故y与x的函数关系是y＝eq\f(96000,x）＋240x－160(0<x〈240）．（2)y＝eq\