广东省江门市开平第四中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

广东省江门市开平第四中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）

A．πB．2

C．（2）πD．（2）参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体，从而求出它的表面积．解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上、下部为共底面的圆锥体的组合体；该圆锥的底面半径为1，高为1；∴该几何体的表面积为S=2×π?1?=2π．故选：B．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．2.如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【解答】解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以∠BGA=﹣，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．【点评】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．3.定义在R上的函数f（x）满足：对任意α，β∈R，总有

，则下列说法正确的是

A．是奇函数

B．是奇函数

C．f（x）—2012是奇函数

D．f（x）+2012是奇函数参考答案：C4.黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=2，…，解得，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(

)A．A=30°，B=45° B． C．B=60°，c=3 D．C=75°，A=45°参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】综合题．【分析】A、由选项中的条件A和B的度数，求出sinA和sinB的值，由a的值，利用正弦定理即可求出b的值，作出判断；B、由c，cosC及a的值，利用余弦定理即可求出b的值，作出判断；C、由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值，作出判断；D、由A和C的度数求出B的度数，利用a，sinA和sinB的值，根据正弦定理即可求出b的值，作出判断．【解答】解：A、由a=2，sin30=，sin45=，根据正弦定理得：b==2≠，故此选项错误；B、由a=2，c=1，cosC=，利用余弦定理得：1=4+b2﹣b，即3b2﹣2b+9=0，∵△=4﹣108=﹣104＜0，所以此方程无解，故此选项错误；C、由a=2，c=3，cosB=，根据余弦定理得：b2=13﹣6=7，解得b=≠，故此选项错误；D、由B=180°﹣75°﹣45°=60°，又a=2，根据正弦定理得：=，则b=，故此选项正确，所以选项D可以作为这个习题的其余已知条件．故选D【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，牢记特殊角的三角函数值及三角形的内角和定理，是一道中档题．5.过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，如果截面是等腰三角形，则侧面与底面所成角的余弦值是A.

B.

C.

D.或参考答案：D6.已知双曲线和双曲线，其中b>a>0，且双曲线M与N的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M的离心率是

A．

B.

C．

D．参考答案：A7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A． B．

C． D．参考答案：C8.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的

体积是

()A．3B．

C．2

D．

参考答案：D9.设的内角的对边分别为，若，且，则A．

B．

C．

D．1

参考答案：B10.如图，在网格状小地图中，一机器人从A（0，0）点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，问6秒后到达B（4，2）点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】根据题意，分析可得机器人从A到B，需要向右走4步，向上走2步，由相互独立事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，机器人每秒运动一次，6秒共运动6次，若其从A（0，0）点出发，6秒后到达B（4，2），需要向右走4步，向上走2步，则其到达B的概率为C62?（）2（）4==；故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义：，在区域内任取一点的概率为

．参考答案：.试题分析：由题意知，如下图所示，实验包含的所有事件对应的集合，其面积为；满足条件的事件，即，由几何概型的计算公式知，.故应填.考点：几何概型.12.已知函数，若，则的值为

.参考答案：-1

函数有意义，则必须满足：，此时，则：，据此整理函数的解析式：，据此可得，结合可得：.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．13.已知函数,若,则实数的取值范围

.参考答案：略14.过原点作曲线的切线，则此切线方程为

参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B12【答案解析】y=ex解析：解：y′=ex设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为y﹣ex0=ex0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（x0，ex0），再求出在点切点（x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题15.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为

▲

.参考答案：16.在平行四边形ABCD中，已知，点E是BC的中点，则=﹣3参考答案：考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量的运算法则将用已知向量表示，利用向量的运算律将用已知的向量表示出，求出的值解答：解：∵∴===﹣3故答案为﹣3点评：本题考查利用向量的运算法则将未知向量用已知的向量表示；从而将未知向量的数量积用已知向量的数量积表示．17.已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；（3）若圆的面积为，求圆的方程．参考答案：1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，于是，即，所以椭圆E的离心率

…………4分（2）由可设，，则，于是的方程为：，故的中点到的距离，

…………6分又以为直径的圆的半径，即有，所以直线与圆相切．

…………8分（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而，

…………10分设的中点关于直线：的对称点为，则

…………12分解得．所以，圆的方程为．

…………14分19.（本小题满分12分）已知函数，.（Ⅰ）时，证明：；（Ⅱ），若，求a的取值范围.参考答案：（1）证明详见解析；（2）.

进行讨论，证明的最大值小于等于0即可.试题解析：（Ⅰ）令p(x)＝f?(x)＝ex－x－1，p?(x)＝ex－1，（2）当a＞1时，h?(0)＜0，x∈(－1，0)时，h?(x)＝－e－x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．即x∈(，0)时h?(x)＜0，h(x)单调递减，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …9分（3）当0＜a＜1时，h?(0)＞0，x∈(0，＋∞)时，h?(x)＝－e－x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．即x∈(0，)时h?(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾． …11分综上，a的取值为1． …12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.20.（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若b=，c=4，D是BC的中点，求AD的长．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）解法一：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4，可得a=2，再利用勾股定理的逆定理可得，再利用余弦定理即可得出．解法二：由，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）由．利用正弦定理可得，，从而可得．又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，∴．（2）解法一：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4?a=2，又∵，∴△ABC是直角三角形，，∴，∴．解法二：∵，∴，∴．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、勾股定理的逆定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知λ∈R，函数f（x）=λex﹣xlnx（e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）若f（1）=0，证明：曲线y=f（x）没有经过点的切线；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域上不单调，求λ的取值范围；（Ⅲ）是否存在正整数n，当时，函数f（x）的图象在x轴的上方，若存在，求n的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线方程，化简得：，令，根据函数的单调性判断方程无解，从而证明结论即可；（Ⅱ）分离参数，得，令（x＞0）．根据函数的单调性求出参数的范围即可；（Ⅲ）法一：问题等价于．令（x＞0），根据函数的单调性求出F（x）的最小值，从而证明结论即可；法二：问题等价于λ＞的最大值；当x∈（0，1]，得到恒成立，当x∈（1，+∞）时，，根据函数的单调性求出P（x）的最大值，从而证明结论．【解答】解证：（Ⅰ）因为f（1）=0，所以λ=0，此时f（x）=﹣xlnx，证法一：设曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线经过点则曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线y﹣f（x0）=f'（x0）（x﹣x0）所以化简得：…令，则，所以当时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，所以，所以无解所以曲线y=f（x）的切线都不经过点…（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），因为f'（x）=λex﹣（1+lnx），所以f（x）在定义域上不单调，等价于f'（x）有变号零点，…令f'（x）=0，得，令（x＞0）．因为，令，，所以h（x）是（0，+∞）上的减函数，又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零点，…当x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）递增；当x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）递减；故当x=1时，g（x）取得极大值且为最大值，所以，即λ的取值范围是…（Ⅲ）证法一：函数f（x）的图象在x轴的上方，即对任意x＞0，f（x）＞0恒成立．f（x）＞0?．令（x＞0），所以…（1）当n=1时，，即①当0＜x≤1时，F'（x）＜0，F（x）是减函数，所以F（x）≥F（1）=λe＞0；②当x＞1时，，令，则，所以G（x）是增函数，所以当x≥2时，，即F'（x）≥0所以F（x）在[2，+∞）上是增函数，所以，当x∈（1，2）时，取m∈（1，2），且使，即，则，因为G（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零点t∈（1，2），即F（x）有唯一的极值点且为最小值点t∈（1，2）…所以，又，即，故，设，因为，所以r（t）是（1，2）上的减函数，所以r（t）＞r（2）=1﹣ln2＞0，即[F（x）]min＞0所以当时，对任意x＞0，f（x）＞0恒成立…（2）当n≥2时，，因为，取，则，，所以f（x）＞0不恒成立，综上所述，存在正整数n=1满足要求，即当时，函数f（x）的图象在x轴的上方…证法二：f（x）＞0恒成立，等价于λ＞的最大值；当x∈（0，1]，，所以恒成立…当x∈（1，+∞）时，，，设，，所以q（x）在（1，+∞）上是减函数，因为q（2）=1﹣ln2＞0，，所以q（x）有唯一零点t∈（2，3）…当x∈（1，t）时，q（x）＞0，即P'（x）＞0，P（x）是增函数，当x∈（t，+∞）时，q（x）＜0，即P'（x）＜0，P（x）是减函数，所以，且，所以所以…设，t∈（2，3）所以，所以M（t）在（2，3）上是减函数，所以M（3）＜M（t）＜M（2），即…因为使f（x）＞0，所以，只有n=1符合要求，综上所述，存在正整数n=1满足要求，即当时，函数f（x）的图象在x轴的上方…22.已知抛物线C：y=x2．过