广东省深圳市蛇口国际学校高二数学理期末试卷含解析

广东省深圳市蛇口国际学校高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为(

) A．2或﹣7 B．2或﹣8 C．1或﹣7 D．1或﹣8参考答案：A考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可．解答： 解：作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）．∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0，f（2）=22﹣3=1＞0，∴f（1）?f（2）＜0，∴有零点的区间是（1，2），因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，故另一个零点的区间是（﹣8，﹣7），则k的值为2或﹣7．故选A．点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断．二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．2.已知曲线C的参数方程为为参数），则曲线C的焦点坐标为（

）A.(0，±4) B.(0，±5) C.(±4,0) D.(±5,0)参考答案：A【分析】把曲线的参数方程，化为普通方程，得出曲线C的方程为，再根据椭圆的几何性质，即可求解.【详解】由曲线C的参数方程为为参数），可得，即，则，所以，又由椭圆的焦点在y轴上，所以曲线的焦点坐标为，故选A.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的几何性质，其中解答中准确把曲线的参数方程互为普通方程，熟记椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.3.已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（）A．4 B． C．2 D．2参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S△IPF1=|PF1|?|IF|=|PF1|r，S△IPF2=|PF2|?|IG|=|PF2|r，S△IF1F2=|F1F2|?|IE|=|F1F2|r，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2，∴|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，两边约去得：|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c?离心率为e==．故选B．【点评】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．4.如果如图撑血运行后，输出结果为132，那么程序中UNTIL，后面的条件应为（）A．i＞11 B．i≥11 C．i≤11 D．i＜11参考答案：D考点：伪代码．专题：算法和程序框图．分析：首先分析程序框图，根据框图执行，第一步：s=1i=12；第一步s=12，i=11；第一步s=12×11=132，i=10，然后根据输出结果即可写出判断条件．解答：解：本题考查根据程序框图的运算，写出控制条件按照程序框图执行如下：s=1

i=12s=12

i=11s=12×11=132

i=10因为输出132故此时判断条件应为：i≤10或i＜11故选：D．点评：本题考查循环语句，通过对程序框图的把握写出判断框，解题方法是模拟程序执行．属于基础题5.若点O和点F分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A6.命题“对任意,都有”的否定为（

）对任意,都有

不存在，使得

存在,使得

存在,使得

[.Com参考答案：D7.设是实数，则“”是“”的

（

）(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A略8.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知点(4a，2b)(a＞0，b＞0)在圆C:x2+y2=4和圆M:(x－2)2+(y－2)2=4的公共弦上，则的最小值为（

）．A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：D根据题意，圆的方程为，圆的方程为，则其公共弦的方程为，又由点在两圆的公共弦上，则有，即，，，，，即的最小值为．故选．10.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是

(

)A．4

B.6

C.8

D.12参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，则的从大到小关系是

.参考答案：12.已知点P（2，﹣3）是双曲线上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是___________.参考答案：略13.在区间上任取一个实数，则的概率是

．参考答案：14.若正数x，y满足x+2y﹣9=0，则的最小值为．参考答案：1【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，x=y=3时取等号．所以的最小值为1．故答案为：115.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是___________.参考答案：略16.已知函数，若?x1∈[1，2]，?x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是_________．参考答案：17.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④.其中恒成立的等式序号为____________.

参考答案：②、④在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④.其中恒成立的等式序号为②、④.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(Ⅰ)证明：BN⊥平面C1B1N；(Ⅱ)设二面角C－NB1－C1的平面角为，求cos的值；(Ⅲ)M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.

参考答案：法一:(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

∴BA,BC,BB1两两垂直.

以BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)

∵=(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0

=(4,4,0)·(0,0,4)=0

∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1,

∴BN⊥平面C1B1N;

(Ⅱ)∵BN⊥平面C1B1N,是平面C1B1N的一个法向量=(4,4,0),

设=(x,y,z)为平面NCB1的一个法向量,

则,取=(1,1,2),

则cosθ===;

(Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0,a)为BC上一点,则=(-2,0,a),∵MP∥平面CNB1,

∴⊥·=(-2,0,a)·(1,1,2)=-2+2a=0a=1.

又MP平面CNB1,∴MP∥平面CNB1,∴当BP=1时MP∥平面CNB1.

法二:(Ⅰ)证明:由已知得B1C1⊥平面BNB1,∴B1C1⊥BN,

BN=4=B1N,BB1=8,∴BB12=BN2+B1N2,∴BN⊥B1N

又B1C1与B1N交于B1,∴BN⊥平面C1B1N;

(Ⅱ)过N作NQB1C1,则BCQN,又BN⊥平面C1B1N,

∴CQ⊥平面C1B1N,则CQ⊥B1N,QN⊥B1N,∴∠CNQ是二面角C-B1N-Q的平面角θ,

在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4,∴CN=4,cosθ==;

(Ⅲ)延长BA、B1N交于R,连结CR,∵MP∥平面CNB1,

MP平面CBR,平面CBR∩平面CRN于CR,

∴MP∥CR,△RB1B中ANBB1,∴A为RB中点,

∴==,∴BP=1,因此存在P点使MP∥平面CNB1.

略19.如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且（1）求证：平面；（2）求面AMN与面NBC所成二面角的平面角的余弦值．参考答案：解：（1）是正方形，平面；(2分)又平面，平面，平面，(4分)所以平面平面，故平面；(5分)

（2）以D为坐标原点，DA，DC，DM分别为x，y，z轴建立图示空间直角坐标系，则：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).N(1,1,1),M(0,0,1),,,(6分)设平面AMN的一个法向量为,由得:(7分)令z=1得:.(8分)易知:是平面NBC的一个法向量.(9分)∴面AMN与面NBC所成二面角的余弦值为(10分)

略20.数列的前项和，研究一下，能否找到求的一个公式．你能对这个问题作一些推广吗？参考答案：解：数列的通项公式为所以．类似地，我们可以求出通项公式为的数列的前项和．略21.已知．（1）若，求实数k的值（2）若，求实数k的值．参考答案：【考点】空间向量的数量积运算．【专题】方程思想；转化法；空间向量及应用．【分析】（1）根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出k的值；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k的值．【解答】解：（1）∵，∴；又，∴，解得；（2）∵且，∴，即7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，解得．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，是基础题目．22.在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点O，过点，其焦点F在x轴上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）斜率为1且与点F的距离为的直线与x轴交于点M，且点M的横坐标大于1，求点M的坐标；（3）是否存在过点M的直线l，使l与C交于P、Q两点，且．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：（1）设的方程为

-------------------1分则

-------------------2分的方程为

------------------3分（2）点的坐标为

------------------4分设的方程为