高考数学三轮冲刺压轴小题16 立体几何中探索性问题 (原卷版)

12/12立体几何中探索性问题立体几何中探索性问题一．方法综述立体几何在高考中突出对考生空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力等核心素养的考查。考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法。对于探索性问题（是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题）是近几年高考命题的热点，问题一般有三种类型：(1)条件追溯型；(2)存在探索型；(3)方法类比探索型。现进行归纳整理，以便对此类问题有一个明确的思考方向和解决办法。二．解题策略类型一空间平行关系的探索【例1】在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的动点（点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合），则下列结论正确的是__________①存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的面积可能等于SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的正投影的面积，则存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【举一反三】1．如图所示，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E是棱SKIPIF1<0上的一个动点，若平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，给出下列命题：①四棱锥SKIPIF1<0的体积恒为定值；②存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③对于棱SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0，在棱SKIPIF1<0上均有相应的点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④存在唯一的点SKIPIF1<0，使得截面四边形SKIPIF1<0的周长取得最小值.其中真命题的是____________．（填写所有正确答案的序号）2.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面ACF⊥平面BDEF；（Ⅱ）若过直线BD的一个平面与线段AE和AF分别相交于点G和H（点G与点A，E均不重合），求证：EF∥GH；（Ⅲ）判断线段CE上是否存在一点M，使得平面BDM∥平面AEF？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．类型二空间垂直关系的探索【例2】已知矩形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0沿矩形的对角线SKIPIF1<0所在的直线进行翻折,在翻折的过程中()A．存在某个位置,使得直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0垂直B．存在某个位置,使得直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0垂直C．存在某个位置,使得直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0垂直D．无论翻折到什么位置,以上三组直线均不垂直【举一反三】1．已知矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿矩形的对角线SKIPIF1<0所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（）．A．当SKIPIF1<0时，存在某个位置，使得SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，存在某个位置，使得SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，存在某个位置，使得SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0时，都不存在某个位置，使得SKIPIF1<02．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的动点（点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合），则下列结论正确的是__________．①存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的正投影的面积，则存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的面积可能等于SKIPIF1<0.3．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？证明你的结论；（2）若在SKIPIF1<0边上至少存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.类型三空间角与距离的探索【例3】如图，在单位正方体SKIPIF1<0中，点P在线段SKIPIF1<0上运动，给出以下四个命题：SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0间的距离为定值；SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值；SKIPIF1<0异面直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为定值；SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的大小为定值．其中真命题有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【举一反三】1．正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，在该四面体绕SKIPIF1<0旋转的过程中，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角不可能是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如图，已知等边三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不含端点），记SKIPIF1<0，现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起至SKIPIF1<0，记异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则下列一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.在边长为SKIPIF1<0的等边三角形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0上的点，满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折到SKIPIF1<0的位置.在翻折过程中，下列结论成立的是（）A．在边SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得在翻折过程中，满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，当二面角SKIPIF1<0为直二面角时，SKIPIF1<0D．在翻折过程中，四棱锥SKIPIF1<0体积的最大值记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0三．强化训练1．如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点．下列说法正确的是（）A．对任意动点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内不存在与平面SKIPIF1<0平行的直线B．对任意动点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内存在与平面SKIPIF1<0垂直的直线C．当点SKIPIF1<0从SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0的过程中，二面角SKIPIF1<0的大小不变D．当点SKIPIF1<0从SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0的过程中，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离逐渐变大2．如图，已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在圆上且分别在SKIPIF1<0的两侧，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.现将其沿SKIPIF1<0折起使得二面角SKIPIF1<0为直二面角，则下列说法不正确的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在同一个球面上B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是异面直线且不垂直D．存在一个位置，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<03．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C、D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折过程中，下列三个说法中正确的个数是（）①存在点E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC；②存在点E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC；③二面角S﹣AB﹣E的平面角总是小于2∠SAE．A．0 B．1 C．2 D．34．如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为4，动点E，F在棱SKIPIF1<0上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0大于零），则四面体PEFQ的体积A．与SKIPIF1<0都有关 B．与m有关，与SKIPIF1<0无关C．与p有关，与SKIPIF1<0无关 D．与π有关，与SKIPIF1<0无关5．如图，等边三角形SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0与中位线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是A．恒有SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0B．异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不可能垂直C．恒有平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0D．动点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影在线段SKIPIF1<0上6．如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起，点SKIPIF1<0折至SKIPIF1<0处（SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则在SKIPIF1<0折起过程中，下列说法错误的是（）A．始终有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．不存在某个位置，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值是SKIPIF1<0D．一定存在某个位置，使得异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<07．设SKIPIF1<0是正四面体SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0的中心，过SKIPIF1<0的动平面与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的延长线分别交于SKIPIF1<0则SKIPIF1<0()A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．既有最大值又有最小值，且两者不相等D．是一个与平面SKIPIF1<0无关的常数8．已知正三棱锥SKIPIF1<0（底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心），直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0上一点（除端点），将正三棱锥SKIPIF1<0绕直线SKIPIF1<0旋转一周，则能与平面SKIPIF1<0所成的角取遍区间SKIPIF1<0一切值的直线可能是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0中的任意一条9．设SKIPIF1<0是正方体SKIPIF1<0的对角面SKIPIF1<0（含边界）内的点，若点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0的距离相等，则符合条件的点SKIPIF1<0（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在10．如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻转为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则在SKIPIF1<0翻转过程中，有下列命题：①SKIPIF1<0是定值；②点SKIPIF1<0在圆上运动；③一定存在某个位置，使SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．其中正确的个数为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．如图，在正方体SKIPIF1<0中,平面垂直于对角线AC,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为SKIPIF1<0,周长为SKIPIF1<0,则（）A．SKIPIF1<0为定值,SKIPIF1<0不为定值 B．SKIPIF1<0不为定值,SKIPIF1<0为定值C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均为定值 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均不为定值12．设SKIPIF1<0为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4、5、6的直线，给出下列三个结论：①存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0是直角三角形；②存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0是等边三角形；③三条直线上存在四点SKIPIF1<0使得四面体SKIPIF1<0为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体，其中，所有正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．313．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中正确是___________.(填序号即可)①|BM|是定值；②总有CA1⊥平面A1DE成立；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MBSKIPIF1<0平面A1DE.对于②：由反证法，若总有CA1⊥平面A1DE成立，则CA1⊥A1E成立，14．如图正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点.则下列命题：①直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行；②直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直；③平面SKIPIF1<0截正方体所得的截面面积为SKIPIF1<0；④点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离相等；⑤平面SKIPIF1<0截正方体所得两个几何体的体积比为SKIPIF1<0.其中正确命题的序号为_______.15．在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的动点（点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合），则下列结论正确的是____.①存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0的面积不可能等于SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的正投影的面积，则存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.16．如图，已知在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的一个动点，平面SKIPIF1<0与棱SK