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文档简介

§6.2正定二次型定义所以二次型为正定二次型为负定二次型例不是负定二次型同理但必要性设二次型为正定的,推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正．同理可证

推论对称矩阵A为负定的充分必要条件是A的特征值全为负．推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正．推论

n

元二次型

正定

f(X)的正惯性指数为

n，负惯性指数为

0，符号差为

n。定理

n元二次型

为负定的充分必要条件为：它的标准形的n个系数全为负。推论

n

元二次型

负定

f(X)的负惯性指数为

n，正惯性指数为0，符号差为

n。例

设A是n

阶正定矩阵，证明:|A+I|>1.证

A是正定矩阵A的特征值全为正数：1，2

，…，n=(1+1)(2

+1)…(n+1)>1法11+1，2

+1，…，n+1例

设A,B都是n

阶正定矩阵.证明：kA+lB也是

正定矩阵

(k>0,l>0).证

A,B都是n

阶正定矩阵X

Rn,X0,XT(kA+lB)XkA+lB为正定矩阵.=kXTAX+lXTBX>0

有

XTAX>0,

XTBX>0

设A=(aij)nn

是正定矩阵.证明:

aii>0(i=1,…,n).证同理可证

练一练定理f(X)=XTAX正定

A与I

合同.证(）设

f(X)=XTAX正定,则

f(X)=

z12+

z22+…+

zn2所以，

A与

I合同.则存在可逆变换X=CY使f(X)=1y12+

2

y22+…+n

yn2，i

>0(i=1,…,n)

例

设A是正定矩阵，证明：证1因

A是正定矩阵，所以，存在可逆矩阵

C，使例

设A是正定矩阵，证明：证2因

A是正定矩阵，A的特征值全为正数：1，2

，…，n全为正数称为A的k阶顺序主子式。定义设是一个n阶矩阵，A的k阶子式解1用特征值判别法.例

判别下列二次型的正定性。特征值均大于0，故二次型是正定的.例

判别下列二次型的正定性。解2它的顺序主子式故上述二次型是正定的.解练一练正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义；(2)顺序主子式判别法；(3)特征值判别法；(4)与单位矩阵I合同.解1练一练解3练一练

A,B是正定矩阵,A,B的特征值全为正数,C的特征值为A,B的特征值,全为正数,解4练一练

A,B是正定矩阵,则存在可逆矩阵

C,D使为可逆矩阵

，使例

设实对称矩阵A=(aij)nn

是正定矩阵.b1,b2,…,bn是任意n个非零实数，证明:B=(aijbibj)nn为正定矩阵.证2因A

是正定矩阵所以B是正定矩阵结论

定义

对于二次型

f(X)=XTAX及任一实向量X,

如：f(x1,x2,x3)=x12+x22

是半正定二次型，

f(x1,x2,x3)=x12-x22+x32是不定二次型.(1)如果f(X)=XTAX≥0，则称f(X)为半正定二次型；(2)如果f(X)=XTAX≤0，则称f(X)为半负定二次型；(3)不是正定、半正定、负定、半负定的二次型称为不定二次型.2.

正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺序主子式判别法；(3)特征值判别法;小结1.正定二次型，正定矩阵的概念．(4)与单位矩阵

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