（整理版）高中学习资料单元综合测试二

单元综合测试二时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．数列{eq\r(2n＋1)}的第40项a40等于()A．9 B．10C．40 D．41解析：a40＝eq\r(2×40＋1)＝eq\r(81)＝9.答案：A2．等差数列{2－3n}中，公差d等于()A．2 B．3C．－1 D．－3解析：设an＝2－3n，则an＋1－an＝[2－3(n＋1)]－(2－3n)＝－3.答案：D3．数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，则S10等于()A．10 B．210C．210－2 D．211－2解析：∴数列{an}是公比为2的等比数列且a1＝2.答案：D4．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a7＝5，S7＝21，那么S10等于()A．55 B．40C．35 D．70解析：设公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＝5，,7a1＋21d＝21，))解得d＝eq\f(2,3)，a1＝1，则S10＝10a1＋45d答案：B5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4A．7 B．8C．15 D．16解析：设公比为q，由于4a1,2a2，a则4a2＝4a1＋a所以4q＝4＋q2，解得q＝2.所以S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝eq\f(1－24,1－2)＝15.答案：C6．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3＋a17＝10，则S19的值是()A．55 B．95C．100 D．不确定解析：a3＋a17＝a1＋a19，∴S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝eq\f(19,2)×10＝95.答案：B7．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋aA．120 B．105C．90 D．75解析：{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，即3a2＝15，则a2又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于()A．22 B．21C．19 D．18解析：设该数列有n项，且首项为a1，末项为an,公差为d.则依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝34，①,5an－10d＝146，②,\f(a1＋an,2)·n＝234，③))①＋②可得a1＋an＝36.代入③得n＝13.从而有a1＋a13＝36.又所求项a7恰为该数列的中间项，∴a7＝eq\f(a1＋a13,2)＝eq\f(36,2)＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a，b，c成等差数列，又a，c，b成等比数列，则eq\f(a,b)等于()A．－2 B．2C．－4 D．4解析：∵2b＝a＋c，∴c＝2b－a.∵c2＝ab，∴a2－5ab＋4b2＝0，∴a＝b(舍去)或a＝4b，∴eq\f(a,b)＝4.答案：D10．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2解析：设公比为q，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10m，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，A．7 B．6C．5 D．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗共走路程为10(x－1)m，然后回到第二面旗处再到第x面处的路程是20(x－2)m，…，从第x－1面到第x面来回共20m，从第x面处到第x＋1面处路程为20m，从第x面到第x＋2面处的路程为20×总共的路程为s＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x)＝10(x－1)＋20·eq\f(x－2x－1,2)＋20·eq\f(13－x14－x,2)＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20(x－eq\f(29,4))2＋eq\f(3115,4).∵x∈N*，∴当x＝7时，s有最小值为780即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短．答案：A12．若数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2007＋a2008>0，a2007·a2008<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()A．4013 B．4014C．4015 D．4016解析：由已知a1>0，a2007·a2008<0，可得数列{an}为递减数列，即d<0，a2007>0，a2008<0.利用等差数列的性质及前n项和公式可得所以使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4014，选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝________.解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.又n＝1时，2n－3≠a1，所以有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n>1.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n>1))14．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2006和a2007是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2008＋a2009＝________.解析：方程4x2－8x＋3＝0的两根是eq\f(1,2)和eq\f(3,2)，答案：1815．等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则eq\f(a1,d)等于________．解析：∵S12＝12a1＋66d，S4＝4a1＋6d，又S12＝8S4，∴12a1＋66d＝32a1＋48d.∴20a1＝18d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(18,20)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)16．用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{xn}的通项公式为xn＝[eq\f(n,5)](n∈N*)，则x1＋x2＋…＋x5n＝________.解析：x5n＝[eq\f(5n,5)]＝[n]＝n，则x1＋x2＋…＋x5n＝5[x5＋x10＋x15＋…＋x5(n－1)]＋x5n＝5(1＋2＋…＋n－1)＋n＝eq\f(5,2)n2－eq\f(3,2)n.答案：eq\f(5,2)n2－eq\f(3,2)n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为eq\f(a,q)，a，aq.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝512，,\f(a,q)－2＋aq－2＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝\f(1,2).))所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)，a≠0.解：原式＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)＝(a＋a2＋…＋an)－eq\f(nn＋1,2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－an,1－a)－\f(nn＋1,2)a≠1，,\f(n－n2,2)a＝1.))19．(本小题12分)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，a5＝18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋eq\f(1,2)bn＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列．解：(1)设{an}的公差为d，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝6，,a1＋4d＝18，))解得a1＝2，d＝4.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2.(2)证明：当n＝1时，b1＝T1，由T1＋eq\f(1,2)b1＝1，得b1＝eq\f(2,3).当n≥2时，∵Tn＝1－eq\f(1,2)bn，Tn－1＝1－eq\f(1,2)bn－1，∴Tn－Tn－1＝eq\f(1,2)(bn－1－bn)．∴bn＝eq\f(1,2)(bn－1－bn)．∴bn＝eq\f(1,3)bn－1.∴{bn}是以eq\f(2,3)为首项，eq\f(1,3)为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n年后该市每年所建中低价房的面积为an，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋eq\f(nn－1,2)×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n＝4750，即n2＋9n－190＝0，解得n＝－19或n＝10.又n是正整数，∴n＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米．21．(本小题12分)设a1＝1，a2＝eq\f(5,3)，an＋2＝eq\f(5,3)an＋1－eq\f(2,3)an(n∈N*)．(1)令bn＝an＋1－an(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和Sn.解：(1)因为bn＋1＝an＋2－an＋1＝eq\f(5,3)an＋1－eq\f(2,3)an－an＋1＝eq\f(2,3)(an＋1－an)＝eq\f(2,3)bn，所以数列{bn}是首项为b1＝a2－a1＝eq\f(2,3)，公比为eq\f(2,3)的等比数列，所以bn＝(eq\f(2,3))n(n＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1.Sn为数列{bn}的前n项和，且满足eq\f(2bn,bnSn－S\o\al(2,n))＝1(n≥2)．(1)证明数列{eq\f(1,Sn)}成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－eq\f(4,91)时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n≥2时，eq\f(2bn,bnSn－S\o\al(2,n))＝1，又因为Sn＝b1＋b2＋…＋bn，又因为S1＝b1＝a1＝1，所以数列{eq\f(1,Sn)}是首项为1，公差为eq\f(1,2)的等差数列．由上可知eq\f(1,Sn)＝1＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋1,2)，即Sn＝eq\f(2,n＋1).所以当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,n＋1)－eq\f(2,n)＝－eq\f(2,nn＋1).因此bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，