九年级数学下册第24章圆24.6正多边形与圆第1课时正多边形与圆的关系授课课件新版沪科版

第24章

圆24.6正多边形与圆第1课时

正多边形与圆

的关系1课堂讲解正多边形与圆的关系的认识正多边形的有关计算圆内接正多边形的画法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？1知识点正多边形与圆的关系的认识各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．要点精析：“各边相等，各角相等”是正多边形的两个基本特征，边数

n＞3的多边形必须同时满足，二者缺一不可，否则多边形就不是正多边形．例如，菱形的各边相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以它们都不是正多边形．知1－讲1.正多边形的定义：把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形就是圆内接正n边形，而这个圆是正n

边形的外接圆．拓展：把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，而这个圆是这个正n边形的内切圆．知1－讲

2.圆内接正n边形：例1下列说法不正确的是(

)A．等边三角形是正多边形B．各边相等，各角相等的多边形是正多边形C．菱形不一定是正多边形D．各角相等的多边形是正多边形等边三角形是正三角形；当菱形的四角相等时才是正

多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；各边相等，各角相等的多边形是正多边形，故D不对．知1－讲D导引：总

结知1－讲解答本题运用了定义法，即各选项中提到的多边形是否具备各边和各角相等，这两个条件缺一不可．例2已知一个正多边形有一个内角是150°，那么它是正几边形？由正多边形的一个内角的度数求其边数，可以用n

边形的内角和公式(n－2)·180°＝150°n，求出n的值；也可以先求每个外角的度数为30°，再求

边数．知1－讲导引：方法一：∵n边形的内角和为(n－2)·180°，∴此正多边形内角和为150°n＝(n－2)·180°，

解得n＝12.∴此多边形为正十二边形．方法二：∵正多边形的每个内角相等，则每个外角也相等，∴每个外角为180°－150°＝30°.又∵多边形的外角和是360°，∴360°÷30°＝12，即此多边形为正十二边形．知1－讲解：总

结知1－讲求正多边形的边数的常用方法：一是利用多边形内角和公式(n－2)·180°求出多边形内角和，再根据每个内角的度数相等除以n；二是先求出每个外角的度数，再用360°除以每个外角的度数即可．例3如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．

根据同圆中相等的圆周角所

对的弧相等，得出，

利用等式的性质，两边同时减去

，即可得到，根据等弧所对的弦

相等，得出BC＝AE.知1－讲导引：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A所对的弧为，圆周角∠B所对的弧为，∴.∴，即.∴BC＝AE.同理可证其余各边都相等．∴五边形ABCDE是正五边形．知1－讲证明：总

结知1－讲(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．其证明思路如下：角相等⇒弧相等⇒弦相等⇒⇒正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连接各等分点，所得多边形即为正多边形.各角相等各边相等1 求下列正多边形每个内角及其外角的度数：(1)正五边形；(2)正八边形；(3)正十二边形.2下列说法正确的是(

)A．平行四边形是正多边形B．矩形是正四边形C．菱形是正四边形D．正方形是正四边形知1－练已知四边形ABCD内接于⊙O，给出下列三个条件：①；②AB＝BC＝CD＝DA；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D.在这些条件中，能够判定四边形ABCD是正方形的条件共有(

)A．0个B．1个C．2个D．3个知1－练4下列给出四个命题：①各多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；②各边相等的圆外切多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中正确命题有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个知1－练2知识点正多边形的有关计算知2－讲1．与正多边形有关的概念：(1)我们把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，

叫做正多边形的中心．(2)正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．(4)正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的

中心角．知2－讲边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心距也可以看作正多边形的外接圆中，圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距；但弦心距不一定是边心距．2.边心距与弦心距的关系：知2－讲拓展：正多边形的有关计算：名称公式说明中心角α＝α为中心角，n为边数边心距、边长、半径间的关系式R2＝r2＋

a2R为半径，r为边心距，a为边长周长C＝naC为正n边形的周长，a为边长面积S＝

CrS为正多边形的面积，C为正多边形的周长，r为边心距知2－讲例4已知：⊙O的半径R＝6cm.(1)如图(1)，求⊙O的内接正三角形ABC的边心距、

边长、周长、面积；(2)如图(2)，求⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心

距、边长、周长、面积．知2－讲找准解题时所需要的基本图形，由中心到正多边形一边的垂线段、半径、边的一半构成直角三角形(这样很自然就产生了本题的辅助线)，根据关系式R2＝r2＋(R为外接圆半径，r为边心距，a为边长)解题．导引：知2－讲(1)如图(1)所示，连接OB，过O作OD⊥BC于点D.由题意得，∠BOD＝×＝60°，∴∠OBD＝30°，又∵R＝6cm，∴边心距r＝OD＝OB＝R＝3cm.∴BD＝cm.由垂径定理得，

边长BC＝2BD＝6cm，∴周长C＝3BC＝18cm，

面积S＝Cr＝×18×3＝27(cm2)．解：知2－讲(2)如图(2)所示，连接OA，过O作OH⊥AB于点H.由题意得，∠AOH＝×＝30°.∵R＝6cm，∴AH＝OA＝R＝3cm.∴边心距r＝OH＝cm.

由垂径定理得，AB＝2AH＝6cm.∴周长C＝6AB＝36cm，

面积S＝Cr＝×36×3＝54(cm2)．总

结知2－讲在求圆内接正多边形的边长、周长、面积、边心距问题时，常利用半径、边心距、边长的一半构成含有30°，45°或60°等特殊角的直角三角形来求解．3知2－练1半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为(

)A．8cmB．4cmC．8cmD．4cm如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是(

)A．弦AB的长等于圆内接

正六边形的边长B.C．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长D．∠BAC＝30°3一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是(

)A．1∶B．1∶2C．2∶3D．2∶π知2－练知3－讲3知识点圆内接正多边形的画法由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”．这种方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．1.用量角器等分圆：知3－讲用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差．作图时易忽视累积误差的影响，导致作图不准，应减少累积误差.2.用尺规等分圆：3.易错警示：知3－讲例5作一个正三角形，使其半径为0.9cm.

先作出一个半径为0.9cm的圆，再用量角器画出中

心角为120°的角(2个)，依次连接与圆的交点即可，

或将圆六等分，再依次连接相隔一个的等分点即

可．导引：作法一：(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)用量角器画∠AOB

＝∠BOC

＝120°，与⊙O分别交于点A，B，C；(3)连接AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角形，如图所示．知3－讲解：作法二：(1)作半径为0.9cm的⊙O；(2)作⊙O的任一直径AB；(3)分别以A，B为圆心，以0.9cm为半径作弧，交

⊙O于C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.则△ADE为所求作的正三角形，

如图所示．知3－讲总

结知3－讲解决这类问题通常有两种方法：(1)用量角器等分圆周法；(2)用尺规等分圆周法．在一个半径为2cm的圆中，作出它的内接正六边形及内接正三角形.2用量角器作出一个半径为2cm的圆的内接正五边形.知3－练如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：(1)以D为圆心，OD长为半径