2023年四边形知识点与经典例题

第十九章四边形基础知识(一）四边形由一般到特殊的演变示意图(二)特殊四边形平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形定义有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一组邻边相等的平行四边形是菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。两腰相等的梯形是等腰梯形。性质1对边平行且相等。2对角相等,邻角互补。3对角线互相平分1四个角都是直角。2对角线相等。1四条边都相等。2两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。具有平行四边形、矩形、菱形的所有特性。1两腰相等两底平行2同一底上的两角相等3两条对角线相等判定１定义:2鉴定定理:(1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（３)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。1定义:2鉴定定理:(1)对角线相等的平行四边形是矩形。(２)有三个角是直角的四边形是矩形。1定义：2鉴定定理：(1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。（２）对角线互相垂直的四边形是菱形。(1）先证明是矩形再证明一组邻边相等。(2)先证明是菱形再证一个角是直角。1定义:先判断是梯形在证明两腰相等。2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。3对角线相等的梯形是等腰梯形。对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形(三）1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半。2．由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。例题例1：已知:如图,菱形ABCD中∠Ｂ=６0°;E，F在边ＢＣ,CＤ上,且∠ＥAF=６0°；求证：AE=ＡＦ.同类练习：如图，已知菱形ABCＤ中，∠B＝∠EAF=６０°，∠BAE=2０°,求∠ＣEF．例2:如图,在的纸片中,AＣ⊥AB，ＡＣ与BD交于O，将△ABC沿对角线ＡC翻折得到．(1)求证：以A、C、D、为顶点的四边形是矩形;（2)若,求翻折后纸片重叠部分的面积，即．例4、已知：分别以的各边为边,在边的同侧作等边三角形、等边三角形和等边三角形,连结。（1)试说明四边形为平行四边形;（2)当满足什么条件时,四边形为菱形、矩形、正方形；同类练习：中，，都是等边三角形。求四边形的面积。三、适时训练（一)精心选一选1.下列命题对的的是（)一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形对角线相等的四边形一定是矩形两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2.已知平行四边形AＢCD的周长3２,5AＢ=3ＢC,则AC的取值范围为()A.６＜AC<１0；B.6<AC<１6；C.10＜ＡC<16；Ｄ.4<AC＜163.两个全等的三角形（不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是(）（A)1(Ｂ)2（Ｃ)３（D)4４.延长平形四边形ABCD的一边ＡB到E,使BＥ=BD,连结ＤE交BC于F,若∠DAB＝12０°，∠CFE=135°，AB＝１，则AC的长为（)(A）１（B）1.2（Ｃ）EQ\F(EQ＼R(，3),2)（Ｄ)1.5５.若菱形ABCD中，AE垂直平分ＢC于E,AE=１cm,则ＢＤ的长是（)（A）1ｃm（B)２cm(Ｃ）3cm（Ｄ)４ｃm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么这个四边形的对角线()(A)互相垂直(B）相等（C)互相平分（Ｄ)互相垂直且相等7.如图，等腰△ＡBＣ中,D是BC边上的一点,ＤＥ∥AC,DF∥AB,AB＝5那么四边形AFDE的周长是 ﻩ(）（Ａ)5（Ｂ)１0 (C)15ﻩ（D）２０8．如图，将边长为８cm的正方形纸片AＢＣD折叠，使点D落在BＣ边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN，则线段CN的长是（）.(A)3cm（Ｂ)４ｃm(Ｃ）5cｍ(D）6ｃｍ9.如图,在直角梯形AＢＣD中,AＤ∥BC，∠B=９0°,AC将梯形提成两个三角形,其中△ACD是周长为18cm的等边三角形，则该梯形的中位线的长是（）.(A)9cm（B)１2ｃm(c)cｍ（D)18cm10.如图，在周长为2０cｍ的□ABＣD中,ＡＢ≠AD，ＡＣ、BD相交于点O,OＥ⊥BＤ交AD于Ｅ,则△ＡBE的周长为（）(A)４cｍ(B)6cｍ(C)８ｃｍ(D)１0cｍABCDEF图211.如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片AＢCD折叠,使点Ｂ恰好落在CＤ边的中点E处,折痕为ABCDEF图2(A）（B）(C)ﻩﻩ（D）８RRPDCBAEF第12题图12.如图,已知四边形ABＣＤ中，R、P分别是ＢC、CD上的点,E、Ｆ分别是AP、RP的中点,当点Ｐ在CD上从C向Ｄ移动而点R不动时,那么下列结论成立的是（)Ａ、线段EF的长逐渐增大B、线段EＦ的长逐渐减小C、线段EＦ的长不变D、线段EＦ的长与点P１３．在梯形ABCD中，AD/／BＣ,对角线AC⊥BD,且,BD=1２cm，则梯形中位线的长等于(）Ａ.7.５cm ﻩB.7cｍﻩﻩC．6.5cm D.6cm黄蓝紫橙红绿AGE黄蓝紫橙红绿AGEDHCFB第14题Ａ.红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等C．红花、蓝花种植面积一定相等Ｄ．蓝花、黄花种植面积一定相等15.如图,在一个3方格纸上，若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该3方格纸上最多可画出的正方形的个数是（)个．A.13Ｂ.14C．18D．20（二）细心填一填1．假如四边形四个内角之比1:２:３：4,则这四边形为＿_＿＿形。２.若正方形的对角线长为2ＱUOTE错误!未找到引用源。ｃm,则正方形的面积为＿＿_。3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm，5cｍ两部分，则这个矩形周长是＿_＿4.已知:平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，ＢＤ相交于点Ｏ,△AOB的周长比△BOC的周长长5cｍ,则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。５．已知：平行四边形ABCD中，AE⊥BＣ交CB的延长线于点E，ＡＦ⊥CＤ交ＣD的延长线于点F,ＡＢ＋BＣ+ＣＤ＋DA＝3２cｍ，ＢC=EQ\F(３,5)AB，∠EAF＝２∠C，则BＥ长为＿＿_,则∠C_＿＿．ABCDEABCDEFO图87.已知：如图8,正方形ＡBCD中,对角线AC和BD相交于点O,E、F分别是边AB、ＢC上的点，若AＥ=4cｍ，DF=3cｍ，且ＯE⊥ＯF,则ＥＦ的长为。8.如图１０(１)是一个等腰梯形,由６个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图１0（2)所示的一个菱形.对于图10(1)中的等腰梯形,请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个对的结论：ﻩ ﻩﻩ.９．如图,在四边形中,是对角线的中点,分别是的中点，,则的度数是.第10题图DA第10题图DABCPMNCFDBEAP（第9题）（1）（2）图101０.如图，菱形ABCＤ的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点,点M、Ｎ分别是边AB、BC的中点,则ＰM+PN的最小值是__＿__________．1１.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、Ｈ分别是AB、BD、ＣＤ、AC的中点,要使四边形EFＧH是菱形,四边形AＢCD还应满足的一个条件是。１2．已知矩形ABCD，分别为AD和ＣＤ为一边向矩形外作正三角形AＤE和正三角形CDＦ，连接ＢE和BF，则的值等于。13．如图所示,O为矩形ABＣＤ的对角线交点,DF平分∠ＡDC交ＡＣ于E,BＣ于Ｆ,∠BDF=15°，则∠COF=__＿＿_＿.１4.如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、Ｆ，,则图中阴影部分的面积为.１５、如图,矩形的面积为4，顺次连结各边中点得到四边形,再顺次连结四边形四边中点得到四边形,依此类推，求四边形的面积是。(三)认真答一答1.如图，在四边形ABＣD中,∠Ａ=60°,∠B=∠D＝９0°,BＣ＝２,CD=3，求AＢ的长。2.如图，在等腰梯形ＡBCD中，AＤ∥ＢC,AB=CD＝2,∠ＢAD=1２0°,对角线ＡＣ平分∠BCD,求等腰梯形ABCＤ的周长。ABCDABCDEFD′(１）求证:△ＡBＥ≌△AD′F；(2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论4.已知：如图，在梯形ABCD中，AＤ∥ＢC,AB＝CD，对角线ＡC、BD相交于点Ｅ，∠ADB=6０°,BD=10,BE∶ＥD=4∶１，求梯形ＡBCD的腰长.5.如图，菱形ABＣD,E，F分别是BC,CD上的点,∠B=∠EAF＝60°，∠BAE＝18°求∠CEF的度数。ABCDMNE(第6题)６．已知:如图，在△ABC中,AB=ＡＣ,AD⊥BC,垂足为点D,ＡN是△ABＣ外角∠ＣAMABCDMNE(第6题)（1)求证:四边形AＤCE为矩形；(2）当△AＢC满足什么条件时，四边形ADＣE是一个正方形？并给出证明．7.如图，四边形AＢCD中,一组对边ＡＢ=DC＝4,另一组对边AD≠BＣ，对角线ＢＤ与边DＣ互相垂直，M、N、Ｈ分别是ＡＤ、BC、ＢD的中点,且∠ABD＝30°求：(1）ＭH的长(2)MN的长。8如图,在矩形ABCD中,AＤ=８cm,AB=6cｍ，点Ａ处有一动点E以１cm∕ｓ的速度由点Ａ向点Ｂ运动,同时点C处也有一动点F以2cｍ∕ｓ的速度由点Ｃ向点D运动，设运动的时间为x(s)，四边形EBFＤ的面积为y(