黑龙江省绥化市安达第七中学2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A． B． C． D．2．函数的大致图象为（）A． B．C． D．3．已知向量，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（）A． B． C． D．5．关于函数有下述四个结论：（）①是偶函数；②在区间上是单调递增函数；③在上的最大值为2；④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（）A．1 B． C．2 D．37．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）A． B． C． D．8．设，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．9．已知函数f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a D．-a10．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A．2 B．3 C．4 D．111．为得到y=sin(2x-πA．向左平移π3个单位B．向左平移πC．向右平移π3个单位D．向右平移π12．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知命题：，，那么是__________.14．已知集合，.若，则实数a的值是______.15．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.16．双曲线的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（1）若，，求实数的值．（2）若，，求正实数的取值范围．18．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，设，证明：，，使.19．（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.20．（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.（1）请你根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价(单位：元)和日销量(单位：件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的：①根据上表数据计算的值；②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①：附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.21．（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.22．（10分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.求证：平面；求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，由于，，∴，∴，，∴点坐标为，代入抛物线方程得，，∴，．故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．2、A【解析】

利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.【详解】，排除掉C，D；，，，.故选：A．【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.3、D【解析】

由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值.【详解】解：，，即，将和代入，得出，所以.故选:D.【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.4、C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因为，所以，从而，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.5、C【解析】

根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于，所以为偶函数，故①正确.由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.当时，，且存在，使.所以当时，；由于为偶函数，所以时，所以的最大值为，所以③错误.依题意，，当时，，所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述，正确的结论序号为①④.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.6、C【解析】

连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.【详解】连接AO，由O为BC中点可得，，、、三点共线，，.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.7、B【解析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种，这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8、D【解析】

因为，，所以且在上单调递减，且所以，所以，又因为，，所以，所以.故选：D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“”比较大小.9、A【解析】

令xex=t，构造g(x)=xex，要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x2,【详解】令xex=t，构造g(x)=xex，求导得g'(x)=故g(x)在-∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，且x<0时，g(x)<0，x>0时，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可画出函数g(x)的图象（见下图），要使函数f(x)=xex2+axex-a有三个不同的零点x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故选A.【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.10、B【解析】

将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.11、D【解析】试题分析：因为，所以为得到y=sin(2x-π3)的图象，只需要将考点：三角函数的图像变换．12、A【解析】

是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．【详解】由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，∴的最小值是．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、真命题【解析】

由幂函数的单调性进行判断即可.【详解】已知命题：，，因为在上单调递增，则，所以是真命题，故答案为：真命题【点睛】本题主要考查了判断全称命题的真假，属于基础题.14、9【解析】

根据集合交集的定义即得.【详解】集合，，，，则a的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.15、【解析】

先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解．【详解】6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有个，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：个，所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.16、【解析】

通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果．【详解】由双曲线，可得，，则，所以双曲线的焦点坐标是，渐近线方程为：．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1（2）【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解．（2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解．解法二：可利用导数，先证明不等式，，，，令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）由题意，得，，由，…①，得，令，则，因为，所以在单调递增，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，当且仅当时等号成立．故方程①有且仅有唯一解，实数的值为1．（2）解法一：令（），则，所以当时，，单调递增;当时，，单调递减;故．令（），则．（i）若时，，在单调递增，所以，满足题意．（ii）若时，，满足题意．（iii）若时，，在单调递减，所以．不满足题意．综上述：．解法二：先证明不等式，，，…（*）．令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即．变形得，，所以时，，所以当时，.又由上式得，当时，，，.因此不等式（*）均成立．令（），则，（i）若时，当时，，单调递增;当时，，单调递减;故．（ii）若时，，在单调递增，所以．因此，①当时，此时，，，则需由（*）知，，（当且仅当时等号成立），所以．②当时，此时，，则当时，（由（*）知）；当时，（由（*）知）．故对于任意，．综上述：．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．18、（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1），分，，，四种情况讨论即可；（2）问题转化为，利用导数找到与即可证明.【详解】（1）.①当时，恒成立，当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数.②当时，，.当时，；当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.③当时，，则在上是减函数.④当时，，当时，；当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.（2）由题意，得.由（1）知，当，时，，.令，，故在上是减函数，有，所以，从而.，，则，令，显然在上是增函数，且，，所以存在使，且在上是减函数，在上是增函数，，所以，所以，命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据，即可求得参数的值.【详解】（1）设，，则两式相减，可得.（*）因为线段的中点坐标为，所以，.代入（*）式，得.所以直线的斜率.所以直线的方程为，即.（Ⅱ）设直线：（），联立整理得.所以，解得.所以，.所以，所以.所以.因为，所以.【点睛】本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题.20、（1）列联表见解析，有把握；（2）①；②元时【解析】

（1）直接由题意列出列联表，通过计算，可判断精英店与采用促销活动是否有关.（2）①代入表中数据，结合公式求出；②由①中所得的线性回归方程，若售价为，单价利润为，日销售量为，进而可求出日利润，结合导数可求最值.【详解】解：（1）由题意知，采用促销中精英店的数量为，采用促销中非精英店的数量为；没有采用促销中精英店的数量为，没有采用促销中非精英店的数量为，列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100因为有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.（2）①由公式可得：所以回归方程为②若售价为，单件利润为，日销售为，故日利润，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.故当售价元时，日利润达到最大为元.【点睛】本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有：函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还