高中数学 第4章 指数与对数 4.1 指数教学案(含解析)苏教版必修第一册-苏教版高一第一册数学教学

word4.1指数学习目标1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2．掌握有理数指数幂的运算法那么．(重点)3．

核心素养通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．22412 224

11122我们已经知道，22

6000 10000 10000057305730

57302 ，2

，2

的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值X围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．1．平方根与立方根的概念如果＝，那么x称为a的平方根；如果3，那么x称为a22．an次方根n＝>1N*x为a的n次方根，式子n叫作被开方数．

a叫作根式，几个规定：①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，ann次方根只有一个，记作n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数an次n方根用符号

n表示，负的n次方根用符号－

na表示，它们可以合并写成±

a(a>0)的形式；③0的n0(无论n-1-/9word根式的性质n(1)

0＝0(N，且>1n(2)(

1n(3)(an)＝|a|＝

aa≥0，－a

(n1n(4)(

n)＝N，且>，a使得

a有意义)．一般地，我们规定：00,005．有理数指数幂的运算性质(1)＝＋；(2)(as)t＝ast；(3)(ab)t＝atbt，(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．1．思考辨(正确的打“√〞，错误的打“×(1)16的四次方根为2．( )(2) π－42＝π－4．( )4(3)

－16＝－2．( )[提示](1)16的四次方根有两个没意义．

4π4＝|π4|4－π(3)

－16[答案](1)×(2)×(3)×n2．假设n是偶数， 那么x的取值X围为．[1，＋∞)[由题意知3．-2/9word4 1 1 2 5323 － 1232

2 35(1)54＝5；(2)2

；(3)

－22＝(－2)；(4)3＝33．(1)(2)(3)(44．5x＝4,5y＝2，52x 5x 2 428[52x－y＝5＝5 ＝2＝8．]y y根式的性质[例1]求以下各式的值．3(1)

4－23；(2)

8－3；(3) 3－π；(4)6；(5)2－2＋－[思路点拨]利用根式的性质进行求解．3[解](1)

3＝－2．4(2)

4－32＝

32＝3．8(3)

3－π

8＝|3－π|＝π－3．3，≥0，(4)

3 2||－3<0.(5)原式＝

x－1

－ 3|－1－＋3|，当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4．－2，3<≤1，因此，原式x－4，1<<3.式的性质进行化简或求值．n注意

nan与(

a)n的区别-3-/9wordn((当n，当na，n为奇数，n＝ a≥0，a

n为偶数.－ <0[跟进训练]1．(1

31－a2＋

3＝．(2)假设2－2＋＋2＋＋＝0，那么＝．(2)－3[(1)易知a－1≥0，原式(2)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，－10，∴＋30

1，＝，∴(－31＝3]根式与分数指数幂的互化[例2]将以下根式化成分数指数幂的形式．[思路点拨]利用分数指数幂的意义以及有理数指数幂的运算性质进行转化．mn －n 1根式和分数指数幂互化时应熟练应用a＝和a ＝ (>0N且>1当nam-4-/9word所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的X分数指数幂的运算1 4 133 － 0 33 8[例3](1计算064 －－＋[－23] ＋1－07＋－0．01|；8[思路点拨]将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．指数幂与根式运算的技巧有理数指数幂的运算技巧①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.②指数的处理：负指数先化为正指数.底数互为倒数③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.根式运算技巧①各根式尤其是根指数不同时要先化成分数指数幂，再运算.-5-/9word②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.[跟进训练]条件求值问题[探究问题]1 1－2 21．x＋x 与＋1＋－1与2＋－2有什么关系？＋－1＝2＋－＝(＋－)2－．2．33＝＋)(－a23－＝(－)2＋a＋)．1 12 －4]a＋a2＝5，求以下各式的值：(1)－1(2)2＋2．-6-/9word1 1－2 2[思路点]考虑到如何由a＋a 得到－．1 12 －[解](1)将a＋a

2＝5两边平方，得－12＝，即＋－1＝．(2)将＋－1＝3两边平方，得＋－＋＝9，∴2－27．1．(22＝．±35[令＝－－，两边平方，得＝＋－－(＋－2)－＝724＝4y＝±35，即2－－2＝±35．]2．(变条)假设本例变为b分别为－12＋＝0的两根，且<，求 的值．条件求值问题的常用方法-7-/9wordn掌握两个公式：(1)(

＝(N*)；n(2)n为奇数且N，n

a

a≥0，an为偶数且N，＝|a－

a<0.式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．1．以下说法正确的选项是．(填序号)①正数的n次方根是正数；②负数的n次方根是负数；③0的n次方根是0(其中＞1且N)；n④a的n次方根是③n义，故②错；③显然正确；当时，只有n1

a才有意义，故④错．]2．(1)2－＋＝．(<1)1－的结果是．(2)[－2)2]的结果是．(1)1－x(2)2

[(1)原式＝

1＝|－1＝－．1 12－ －22 2(2)[(－2)2] ＝2 ＝2．]8－28

23．计算：

3

1－22．49[解]由题意，原式＋×＋(2－1)＝2＋1．94-8-/9wordword4．假设