九上数学全册教案

第二十四章圆

教学目标

1.知识与技能

(1)了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的

相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理.

(2)探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索

切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的

切线.

(3)进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算.

(4)熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练

掌握圆锥的侧面积和全面枳的计算.

3.情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学

生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑

战性的情景，激发学生求知、探索的欲望.

教学重点

1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用.

2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用.

3.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半及其运用.

4.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用.

5.不在同一直线上的三个点确定一个圆.

6.直线L和。O相交=d<r；直线L和圆相切=d=r；直线L和。O相离=d>r及

其运用.

7.圆的切线垂直于过切点的半径及其运用.

8.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问

题.

9.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分

两条切线的夹角及其运用.

10.两圆的位置关系:d与“和金之间的关系:外离=d>ij+r2；外切Odf+n；相

交Q|r2-r(|<d<ri+r2；内切Qd=|ri-r2I；内含Qd<|r2-ri|.

11.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角。之间的等量关系并应用这个等量

关系解决具体题目.

12.n°的圆心角所对的弧长为L="K,n°的圆心角的扇形面积是S明杉=竺忆及

180360

其运用这两个公式进行计算.

13.圆锥的侧面积和全面积的计算.

教学难点

1.垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题.

2.弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问

题.

3.有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用.

4.点与圆的位置关系的应用.

5.三点确定一个圆的探索及应用.

6.直线和圆的位置关系的判定及其应用.

7.切线的判定定理与性质定理的运用.

8.切线长定理的探索与运用.

9.圆和圆的位置关系的判定及其运用.

10.正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角。的关系的应用.

11.n的圆心角所对的弧长L=四及S«=的公式的应用.

180360

12.圆锥侧面展开图的理解.

教学关键

1.积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、

“三个”位置关系并推理证明等活动.

2.关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高.

3.在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学

生有条理的思考能力及语言表达能力.

单元课时划分

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

24.1圆3课时

24.2与圆有关的位置关系4课时

24.3正多边形和圆1课时

24.4弧长和扇形面积2课时

教学活动、习题课、小结3课时

24.1圆

第一课时

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问

题.

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念.利用操作几

何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方

法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解.

重难点、关键

1.重点：垂径定理及其运用.

2.难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学过程

一、复习引入

1.举出生活中的圆三、四个.

2.你能讲出形成圆的方法有多少种？

老师点评（U答）：（1）如车轮、杯口、时针等.（2）圆规：固定一个定点，固定一

个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.

二、探索新知

从以上圆的形成过程，我们可以得出：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点所形成的图

形叫做圆.固定的端点。叫做圆心，线段0A叫做半径.

以点O为圆心的圆，记作“。0“，读作''圆0”.

学生四人〜组讨论下面的两个问题：

问题1：图上各点到定点（圆心0）的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心0）的距离都等于定长（半径r）；

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0

的距离等于定长r的点组成的图形.

同时，我们又把

①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB；

②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作

“圆弧AC”或“MAC”.大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，小于半圆的弧（如

图所示）AC1或8C叫做劣弧.

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

（学生活动）请同学们回答下面两个问题.

1.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.

（老师点评）1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.

3.我是利用沿着圆的任意•条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.

因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意•条过圆心的直线.

（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是00的一条弦，作直径CD,使CDLAB,垂足为M.

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说-说你理由.

（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,=，即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB.

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条菰"

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB且CDJ_AB垂足为M

求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.

分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结OA、

OB或AC、BC即可.

证明：如图，连结OA、0B,贝IJOA=OB

在RtAOAM和RtAOBM中

OA^OB

OM=0M

/.RtAOAM^RtAOBM

；.AM=BM

.•.点A和点B关于CD对称

关于直径CD对称

二当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与重合，AD与8。重合.

AC^BC,AD=BD

进步，我们还可以得到结论：

平分弦(分是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条瓦

(本题的证明作为课后练习)

例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CO,点O是CO的圆心，其中

CD=600m,E为CD上一点，且OE_LCD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解

决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

解：如图，连接0C

设弯路的半径为R,贝|JOF=(R-90)m

VOE1CD

.\CF=-CD=-X600=300(m)

22

根据勾股定理，得：OC^CI^+OF2

B|JR2=3002+(R-90)2解得R=545

这段弯路的半径为545m.

三、巩固练习

教材P86练习P88练习.

四、应用拓展

例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m,

水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？

清说明理由.

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE

的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.

解：不需要采取紧急措施

设OA=R,在RtaAOC中，AC=30,CD=18D

R2=3O2+(R-18)2R2=900+RL36R+324M_____IE—_N

解得R=34(m)

r

连接OM,设DE=x,在RtaMOE中，ME=16A--------------广--------B

342=162+(34-X)26

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得XI=4,X2=64(不合设)

•\DE=4

•••不需采取紧急措施.

五、归纳小结(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

1.圆的有关概念；

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.

3.垂径定理及其推论以及它们的应用.

六、布置作业

1.教材P94复习巩固1、2、3.

24.1圆(第2课时)

教学内容

1.圆心角的概念.

2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,

所对的弦也相等.

3.定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，

所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就

可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或

等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组

量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题.

重难点、关键

1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其

两个推论和它们的应用.

2.难点与关键：探索定理和推导及其应用.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下题.

已知△OAB,如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形.

老师点评：绕。点旋转，O点就是固定点，旋转30°,就是旋转角/BOB'=30°.

二、探索新知

如图所示，NAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的中，分别作相等的圆心角NAOB和NA'OB'将圆心角NAOB绕

圆心O旋转到NA'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

AB=A'B',AB=A'B'

理由：•.•半径OA与O'A'重合，且/AOB=NA'OB'

半径OB与OB'重合

•••点A与点A'重合，点B与点B'重合

...AB与4B'重合，弦AB与弦A'B'重合

,AB=A'B'

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在

动手作-一作.

(学生活动)老师点评：如图1,在。O和。0'中，分别作相等的圆心角NAOB

和/A'O'B'得到如图2,滚动一个圆，使O与0'重合，固定圆心，将其中的一个圆

旋转一个角度，使得0A与O'A'重合.

你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现:AB=A'B',AB=A/B/.

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢

•化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

(学生活动)请同学们现在给予说明一下.

请三位同学到黑板板书，老师点评.

例1.如图，在。。中，AB、CD是两条弦，OE_LAB,0F1CD,垂足分别为EF.

(1)如果NAOB=/COD,那么0E与OF的大小有什么关系？为什么？

(2)如果OE=OF,那么AB与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？

为什么？/AOB与/COD呢？

C

分析：(1)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,

即说明AB=CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.

(2)；OE=OF,.,.在RtaAOE和RtZkCOF中，

又有AO=CO是半径，ARtAAOE^RtACOF,

，AE=CF,，AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CO

解：(1)如果NAOB=/COD,那么OE=OF

理由是：VZAOB=ZCOD

；.AB=CD

VOE1AB,OF±CD

.\AE=-AB,CF=-CD

22

.\AE=CF

XVOA-OC

ARtAOAE^RtAOCF

.".OE=OF

(2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD

理由是：

VOA=OC,OE=OF

.'.RtAOAE^RtAOCF

；.AE=CF

又..PELAB,OF±CD

11

；.AE=-AB,CF=-CD

22

；.AB=2AE,CD=2CF

；.AB=CD

AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、巩固练习

教材P89练习1教材P90练习2.

四、归纳总结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆心角概念.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.

五、布置作业

24.1圆（第3课时）

教学内容

1.圆周角的概念.

2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所

对的圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径及其它们

的应用.

教学目标

1.了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所

对的弦是直径.

4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给

予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导

解决一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它

们所对的其余各组量都分别相等.

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它

的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，

要解决的问题.

二、探索新知

问题：如图所示的。0,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在E/所

在的。。其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，我们可以发现像/EAF、/EBF、

NECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

1.•个弧上所对的圆周角的个数有多少个？

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.

老师点评：

1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.

2.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度

数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半."

(1)设圆周角NABC的边BC是。。的直径，如图所示

ZA0C是aABO的夕卜角

ZA0C=ZAB0+ZBA0

V0A=0B

ZAB0=ZBA0

/.ZA0C=ZAB0

ZABC=-ZAOC

2

(2)如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径0D

0

BC

的两侧，那么/ABC='/AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程.

2

老师点评：连结B0交。。于D同理NAOD是△ABO的外角，NC0D是△!»（：的外角,

那么就有NA0D=2NAB0,ZD0C=2ZCB0,因此/A0C=2NABC.

（3）如图，圆周角NABC的两边AB、AC在一条直径0D的同侧，那

么/ABC=!ZA0C吗？请同学们独立完成证明.

2

老师点评：连结OA、0C,连结B0并延长交。。于D,那么/A0D=2/ABD,ZC0D=2Z

CBO,而/ABC=NABD-NCBO=，ZA0D--ZC0D=-ZAOC

222

现在，我如果在画一个任意的圆周角NAB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,

因此，同弧上的圆周角是相等的.

从（1）、⑵、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理:

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.

例1.如图，AB是。0的直径，BD是。0的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的

大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD,因为AB二AC,所以这个AABC是等腰，要证明D

是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是NBAC的平分线即可.

解：BD=CD

理由是：如图24-30,连接AD

；AB是。0的直径

ZADB=90°BPADIBC

又「ACuAB

.\BD=CD

三、巩固练习

1.教材P92思考题.

2.教材P93练习.

四、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆周角的概念；

2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧

所对的圆心角的一半；

3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.

五、布置作业

1.教材P95综合运用9、10、11拓广探索12、13.

24.2点和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆

的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

（二）能力训练要求

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.

2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问

题的策略.

（三）情感与价值观要求

1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创

新精神.

2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

教学重点

1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.

2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.

3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.

教学难点

经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的

三个点作圆.

教学方法

教师指导学生自主探索交流法.

教学过程

I,创设问题情境，引入新课

［师］我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一

点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索.

II.新课讲解

［师］我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做

圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么？

［生］由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定

圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.

［生］(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点力作圆，只要圆心确定下

来，半径就随之确定了下来.所以以点/以外的任意一点为圆心，以这一点与点4所连的

线段为半径就可以作一个圆.由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).

(2)

(2)己知点46都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此圆心到/、8的距离

相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段

两端点的距离相等，则圆心应在线段49的垂直平分线上.在/夕的垂直平分线上任意取一

点，都能满足到/、8两点的距离相等，所以在4?的垂直平分线上任取一点都可以作为圆

心，这点到力的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段4?的垂直平分线上有无数点，

因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).

(3)要作一个圆经过力、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离

相等.因为到46两点距离相等的点的集合是线段4夕的垂直平分线，到&。两点距离

相等的点的集合是线段a'的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到4、B、C三点

的距离相等，就是所作圆的圆心.

因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.

［师］大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？

3.过不在同一条直线上的三点作圆.

因为连结46,作46的垂直平分线9则被上任意一点到4、6的距离相等；连结

BC,作比的垂直平分线房则属上的任一点到反C的距离相等.劭与用的满足条件.

［师］由上可知，过已知一点可作无数个圆.过已知两点也可作无数个圆，过不在同一

条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆.

不在同一直线上的三个点确定一个圆.

4.有关定义

由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆

(circumcircleoftriangle),这个三角形叫这个圆的内接三角形.

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).

m.课堂练习

Li知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位

置有怎样的特点？

解：如下图.

。为外接圆的圆心，即外心.

锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心

在三角形的外部.

IV.课时小结

本节课所学内容如下：

1.经历不在同•条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.

2.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.

V.课后作业

习题3.6

VI.活动与探究

如下图，切所在的直线垂直平分线段AB.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

解：因为/!、8两点在圆上，所以圆心必与/、8两点的距离相等，又因为和一条线段

的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在缪所在的直线匕因

此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.

24.2.2直线和圆的位置关系（一）

教学目标

（一）教学知识点

1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.

2.了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系.

（二）能力训练要求

1.经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力.

2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置

关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化.

教学重点

经历探索直线与圆位置关系的过程.

理解直线与圆的三种位置关系.

了解切线的概念以及切线的性质.

教学难点

经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系.

探索圆的切线的性质.

教学过程

I,创设问题情境，引入新课

［师］我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？

［生］圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距

离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径.因此点

和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离和

半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内.

［师］本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系.

II.新课讲解

1.探索直线与圆的三种位置关系

［师］直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的

例子是很多的.如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系

怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置

关系？

［生］把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系：把直尺的边缘看

成一条直线，则直线和圆有三种位置关系.

［师］直线和圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离.

(1)从公共点的个数来判断：

直线与圆有两个公共点时.，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切;

直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.

(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：

时，直线与圆相交；

d=r时，直线与圆相切；

心r时，直线与圆相离.

ID.课堂练习随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了如下内容：

1.直线与圆的三种位置关系.

(1)从公共点数来判断.

(2)从d与r间的数量关系来判断.

2.圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.

3.例题讲解.

V.课后作业习题3.7

24.2.2直线和圆的位置关系(2)

教学目标

(一)教学知识点：能判定一条直线是否为圆的切线.

(二)能力训练要求

1.通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力.

2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力.

(三)情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能

力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简

单的问题.

教学重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用.

教学难点：探索圆的切线的判定方法.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三

种位置关系：相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个

数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的

切线垂直于过切点的直径.

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探

索切线的判定条件.

II.新课讲解

1.探索切线的判定条件

［师］大家可以先画一个圆，并画出直径18,拿直尺当直线，让直尺绕着点1移动.观

察/。发生变化时，点。到/的距离，如何变化，然后互相交流意见.

［生］直线1垂直于直径AB,并经过直径的一端4点.

［师］很好.这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这

条直径的直线是圆的切线.

2.做一做

已知。。上有一点4过力作出。。的切线.

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直

于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心。和圆上一点4那么过4点的直径就可以作

出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手.

［生］如下图.

(1)连接0A.

(2)过点4作物的垂线/,/即为所求的切线.

3.如何作三角形的内切圆.

如下图，从,块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切.

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此，圆心

在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离.

解：（1）作/氏NC的平分线应和5交点为/（如下图）.

⑵过/作"，品垂足为〃

（3）以/为圆心，以"为半径作。/.

。/就是所求的圆.

［师］由例题可知，龙和行只有一个交点/,并且/到△/比三边的距离相等，为什

么？

［生］在N8的角平分线应上，弘又在t的平分线CFA1,：.ID=IN,

：.ID=IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的.

［师］因此和三角形三边都相切的圆可以作出•个，因为三角形三个内角的平分线交于

一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定

的圆只有••个.并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆（inscribedcircleof

triangle）,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心（incenter）.

4.例题讲解

投影片（§3.50

如下图，四是。。的直径，勿=45°,AT^AB.

B

分析：力7经过直径的一端，因此只要证4,垂直于力6即可，而由已知条件可知47=

AB,所以//87=//制，又由/187=45°,所以//7»=45°.

由三角形内角和可证N窗6=90°,即/71L4?.

请大家自己写步骤.

［生］证明：•:AB=AT,/四7=45°.

:.NATB=ZABT=45°.

窗8=180°~ZABT-ZATB=90°.

J.ATVAB,B|J47是。。的切线.

m.课堂练习随堂练习

IV.课时小结：本节课学习了以下内容：

i.探索切线的判定条件.

2.会经过圆上一点作圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

4.了解三角形的内切圆，三角形的内心概念.

V.课后作业习题24.2

VI.活动与探究

已知18是。。的直径，比是。。的切线，切点为8,优1平行于弦

A\B

求证：勿是。。的切线.

分析：要证加是。。的切线，需证加垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线

半径勿，利用平行关系推出N3=N4,又因为如，%为公共边，因此△傲运

所以NODC=/OBC=900.

证明：连结切.

VOA=OD,AZ1=Z2,

'：AD〃OC,AZ1=Z3,N2=N4.

・・・N3=N4.

YOD=OB,OC=OC,

J△败丝△阪：

：・/0DC=20BC.

・・・/是。。的切线，

・•・/仍0=90°.

・・・/加。=90°.

是。。的切线.

24.2.3圆和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

1.了解圆与圆之间的几种位置关系.

2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径7?和r的数量关系的联系.

（二）能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力.

2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能

力.

（三）情感与价值观要求

1.通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨

性以及数学结论的确定性.

2.经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.

教学重点：探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距4

半径斤和r的数量关系的联系.

教学难点：探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径〃和

r的数量关系的过程.

教学方法：教师讲解与学生合作交流探索法

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；

还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今

天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有

发言权.下面我们就来进行有关探讨.

II.新课讲解

一、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个。0.再在另一张透明纸上作一个与。Q半径不等的。Q.把

两张透明纸叠在一起，固定。公平移。a,。。与。。有儿种位置关系？

［师］请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流.

［生］我总结出共有五种位置关系，如下图：

相交内切内含

［师］大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共

点的个数和•个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.

［生］如图：(D外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部;

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一

个圆的内部；

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，。。上的点在。。的内部；

(5)内含：两个圆没有公共点，。。上的点都在。。的内部.

［师］总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类

型吗？

［生］外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点.

［师］因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种.

经过大家的讨论我们可知：

(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个

圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.

伊卜离

(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离《上人，相；

〔内含：

」外切I

内切.I

II

二例题讲解

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示(点0,0'是圆心)，分隔两个肥;

:皂泡的肥皂膜尸0成一条直线，加、A尹分别为两圆的切线，求N力卯的大小.

分析：因为两个圆大小相同，所以半径0三。P^OO',又伏，肥分别为两圆的切

线，所以PT上OP,PNA.O'P,即/。T^/。'PN=9Q°,所以/77W等于360°减去NOPT

+ZO'PN+^OPO'即可.

解：*?OP=00'=PO',

:Z。0是一个等边三角形.

：.Z.OPO'=60°.

又•；TP与'W分别为两圆的切线，

?.ZTPO=ANPff=90".

360°-2X900-60°=120°.

三、想一想

四、议一议

设两圆的半径分别为力和工

(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与A和r具有怎样的关系？

反之当d与"和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？

(2)当两圆内切时(Qr),圆心距d与兄和r具有怎样的关系？反之，当d与兄和r

满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？j

［师］如图，请大家互相交流.

［生］在图⑴中，两圆相外切，切点是4因为切点/在连心线QQ上，所以

+“力=什八即d=R+r；反之，当占月+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，。、4、

。在一条直线上，所以。。与。《只有一个交点4即。。与。&外切.

在图⑵中，。。与。”相内切，切点是5.因为切点s在连心线aa上，所以aa=

0\B-0止,即d=Qr；反之，当d="—r时，圆心距等于两半径之差，即4。=。6—。氏

说明a、“、8在一条直线上，6既在。a上，又在。口上，所以。。与。”内切.

［师］由此可知，当两圆相外切时，有"=什八反过来，当仁A+r时，两圆相外切,

即两圆相外切=d=R+r.

当两圆相内切时，有"="一r,反过来，当"="一「时，两圆相内切，即两圆相内切

U>d—R—r.

五.课堂练习：随堂练习

六.课时小结

本节课学习了如下内容：

1.探索圆和圆的五种位置关系;

2.讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的

位置关系；

3.探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与斤和r之间的关系.

V.课后作业

24.4弧长及扇形的面积

教学目标

（一）教学知识点

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.

（二）能力训练要求

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.

2.了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.

（三）情感与价值观要求

1.经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感

受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联

系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习枳极性，同时提高大家的运用能力.

教学重点

1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程.

2.了解弧长及扇形面积计算公式.

3.会用公式解决问题.

教学难点1.探索弧长及扇形面积计算公式.

2.用公式解决实际问题.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆

的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关

系呢？本节课我们将进行探索.

II.新课讲解

一、复习

1.圆的周长如何计算？

2.圆的面积如何计算？

3.圆的圆心角是多少度？

［生］若圆的半径为r,则周长/=2wr,面积S=圆的圆心角是360°.

二、探索弧长的计算公式

［师］在半径为尤的圆中，的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：

,nitR

-180,

下面我们看弧长公式的运用.

三、例题讲解

制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展

直长度，即的长(结果精确到0.Irani).

分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式/=丝鸟可求得A8的长,

180

其中〃为圆心角，彳为半径.

解：/?=40mm,/7=110.

AB的长=乃Q1一X40开比76.8mm.

180180

因此，管道的展直长度约为76.8mm.

四、想一想

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着:

W

一只狗.

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过〃。角，那么它的最大活动区域有多大？!

_____________________________________________________________________“、,……,［

［师］请大家互相交流.

［生］⑴如图⑴，这只狗的最大活动区域是圆的面积,即9万；

(1)(2)

(2)如图(2),狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面

11TT

积，1°的圆心角对应圆面积的——,即——X9〃=——，rf的圆心角对应的圆面积为〃

36036040

7T〃兀

X—―--.

4040

［师］请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式.

冗/?2

［生］如果圆的半径为R,则圆的面积为"用，1°的圆心角对应的扇形面积为—,n°

360

的圆心角对应的扇形面积为"•竺一=”竺-.因此扇形面积的计算公式为SM=—〃

360360360

外,其中/?为扇形的半径，〃为圆心角.

五、弧长与扇形面积的关系