创新设计（全国通用）2023届高考数学二轮复习专题六概率与统计第2讲随机变量及其分布练习理

专题六概率与统计第2讲随机变量及其分布练习理一、选择题1.(2023·新课标全国Ⅱ)某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8 B.0.75解析连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.答案A2.(2023·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，那么该同学通过测试的概率为()A.0.648 B.0.432C.0.36 D.0.312解析3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率P＝P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.应选A.答案A3.(2023·合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，E(X)＝3，那么D(X)等于()A.eq\f(8,5) B.eq\f(6,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(2,5)解析根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p＝eq\f(3,3＋m)，满足二项分布，那么有E(X)＝np＝5×eq\f(3,3＋m)＝3，解得m＝2，那么D(X)＝np(1－p)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5).答案B4.(2023·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否那么就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析假设袋中有两个球，那么红球、黑球各一个，假设红球放在甲盒，那么黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；假设袋中有四个球，那么红球、黑球各两个，假设取出两个红球，那么红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，那么余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；应选B.答案B5.箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，那么获奖.那么有4人参与摸奖(每人一次)，那么恰好有3人获奖的概率是()A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)解析假设摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情况；假设摸出的两球是2，6，也能获奖.故获奖的情形共6种，获奖的概率为＝eq\f(2,5).现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(3)·eq\f(3,5)＝eq\f(96,625).答案B二、填空题6.(2023·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，那么在2次试验中成功次数X的均值是________.解析由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∵2次独立试验成功次数X满足二项分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,4)))，那么E(X)＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)7.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6个面分别标有1，2，3，4，5，6)，现定义数列an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，点数不是3的倍数，,1，点数是3的倍数，))Sn是其前n项和，那么S5＝3的概率是________.解析该试验可看作一个独立重复试验，结果为－1发生的概率为eq\f(2,3)，结果为1发生的概率为eq\f(1,3)，S5＝3即5次试验中－1发生一次，1发生四次.故其概率为Ceq\o\al(1,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(10,243).答案eq\f(10,243)8.(2023·金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次，设ξ表示命中的次数，假设E(ξ)＝eq\f(7,6)，那么a＝__________.解析ξ可取值0，1，2，3.P(ξ＝0)＝0.5×(1－a)×(1－a)＝0.5(1－a)2；P(ξ＝1)＝0.5×(1－a)×(1－a)＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5(1－a2)；P(ξ＝2)＝0.5×a2＋2×0.5×a×(1－a)＝0.5a(2－a)；P(ξ＝3)＝0.5×a×a＝0.5a2.∴E(ξ)＝P(ξ＝0)×0＋P(ξ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝eq\f(7,6).即0.5(1－a2)＋a(2－a)＋1.5a2＝eq\f(7,6)，解得a＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)三、解答题9.(2023·全国Ⅱ卷)某险种的根本保费为a(单位：元)，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于根本保费的概率；(2)假设一续保人本年度的保费高于根本保费，求其保费比根本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与根本保费的比值.解(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于根本保费〞，那么事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比根本保费高出60%〞，那么事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(P〔B〕,P〔A〕)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率为eq\f(3,11).(3)记续保人本年度的保费为X，那么X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与根本保费的比值为1.23.10.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求T的分布列与数学期望E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解(1)由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟).(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟〞，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟〞.法一P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.法二P(A)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.11.(2023·北京丰台区二模)张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家到公司上班的路上有L1，L2两条路线(如下图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为eq\f(1,2)；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为eq\f(3,4)，eq\f(3,5).(1)假设走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)假设走L2路线，求遇到红灯的次数X的数学期望；(3)按照“遇到红灯的平均次数最少〞的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.解(1)设“走L1路线最多遇到1次红灯“为事件A，那么P(A)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2).所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为eq\f(1,2).(2)依题意，X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)，P(X＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)