广西壮族自治区防城港市企沙镇中学2023年高三数学理月考试题含解析

广西壮族自治区防城港市企沙镇中学2023年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a2012﹣1）3+2014a2012=0，（a3﹣1）3+2014a3=4028，则下列结论正确的是（）A．S2014=2014，a2012＜a3 B．S2014=2014，a2012＞a3C．S2014=2013，a2012＜a3 D．S2014=2013，a2012＞a3参考答案：A考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：构造函数f（x）=（x﹣1）3+2014x，由函数的单调性可判a2012＜a3，已知两式相加分解因式，由g（t）为增函数，且g（2）=4028，可得t=2，进而由等差数列的性质和求和公式可得．解答：解：构造函数f（x）=（x﹣1）3+2014x，则f′（x）=3（x﹣1）2+2014＞0，∴函数f（x）=（x﹣1）3+2014x单调递增，∵f（a3）=4028＞f（a2012）=0，∴a2012＜a3，排除B和D，已知两式相加可得（a2012﹣1）3+2014a2012+（a3﹣1）3+2014a3=4028分解因式可得（a3+a2012﹣2）[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]+2014（a3+a2012）=4028，令a3+a2012=t，则有g（t）=[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]（t﹣2）+2014t，∵[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]＞0，∴g（t）为增函数，又∵g（2）=4028，∴必有t=2，即a3+a2012=2，∴S2014===2014故选：A点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及函数的单调性的应用和构造函数的技巧，属中档题．3.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是A.收入最高值与收入最低值的比是3:1B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）参考答案：D读图可知A、B、C均正确，对于D，前6个月的平均收入＝45万元．4.下图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B5.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的一条渐近线的距离为（）A．1B．2C．D．

参考答案：C略6.把函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是(

)A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x﹣） C．y=sin（2x﹣） D．y=sin（2x+）参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数图象平移的法则，写出函数图象向左平移个单位，图象对应的函数解析式即可．【解答】解：函数y=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是y=sin（2（x+）﹣），即y=sin（2x+﹣）=sin（2x+）．故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象平移的问题，解题时应明确图象平移的方法是什么（即左+右﹣），是基础题．7.设函数是奇函数（）的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．参考答案：D8.设三棱柱的侧棱与底面垂直，，，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由已知，若棱柱的所有顶点都在球面上，则同高的长方体个顶点也在球面上，且外接球的直径为长方体的体对角线，由球体体积可得直径为，由于长方体底面为边长为的正方形，故侧面的对角线为，由余弦定理可知，直线与直线所成角的余弦值为.考点：三棱柱外接球、异面直线所成角．【方法点睛】构造长方体或正方体确定球心：⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.9.在复平面内,复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．参考答案：A略10.如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是边长为2的等边三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是边长为2的等边三角形，∴r=1，h=∴v==π故选D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为虚数单位，则=___．参考答案：112.在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=__________．参考答案：试题分析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径”证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：，由于内切球到各面的距离等于内切球的半径∴∴内切球半径13.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为

．参考答案：14.函数在上递减，则的取值范围是 ．参考答案：a≥1

15.在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，点的坐标为，则的最小值为____________．参考答案：16.点P是双曲线上一点，F是右焦点，且△OPF为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是

．参考答案：或【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分类讨论，确定a，c的关系，即可求出双曲线离心率的值．【解答】解：若|OF|=|PF|，则c=，∴ac=c2﹣a2，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=；若|OP|=|PF|=，则P（，）代入双曲线方程可得，即e4﹣3e2+1=0，∵e＞1，∴e=．故答案为：或．【点评】本题考查双曲线离心率的值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．17.函数f(x)为奇函数且f(3x+1)的周期为3，f(1)=－1，则f(2006)=

。参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数f(t)=log2(2-t)+的定义域为D．(Ⅰ)求D；(Ⅱ)若函数g(x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值．参考答案：【知识点】函数的定义域;二次函数的最值.B1,B5【答案解析】(I)(II)解析：解：(Ⅰ)由题知解得，即．……3分(Ⅱ)g(x)=x2+2mx-m2=，此二次函数对称轴为．……4分①若≥2，即m≤-2时，g(x)在上单调递减，不存在最小值；②若，即时，g(x)在上单调递减，上递增，此时，此时值不存在；③≤1即m≥-1时，g(x)在上单调递增，此时，解得m=1．

…………11分综上：．…………【思路点拨】由解析式成立的条件可以得到函数的定义域，再根据二次函数的性质求出m.19.已知函数(Ⅰ)当时，求函数的极小值；(Ⅱ)当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；(Ⅲ)设定义在上的函数在点处的切线方程为当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．当时，试问函数是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由．

参考答案：(I)当时，，当时，；当时；当时.所以当时，取到极小值。

……………3分(II)，所以切线的斜率整理得,显然是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故.……7分(III)当时，函数在其图象上一点处的切线方程为，设，则，………8分若，在上单调递减，所以当时，此时；所以在上不存在“转点”.…9分若时,在上单调递减,所以当时,，此时，所以在上不存在“转点”.……………11分若时，即在上是增函数，当时，，当时，，即点为“转点”，……13分故函数存在“转点”，且是“转点”的横坐标.………………14分略20.（12分）（2015?万州区模拟）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的极值．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值；（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a．【解答】：（Ⅰ）当时，，；由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可；由=；（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）当a＞0时，由，令g′（x）=0，得x1=1或；①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；（ⅲ）当a＜0时，由，因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．综上，数a的取值范围是a≤0．【点评】：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．21.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）设BC=3，求四棱锥B﹣DAA1C1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证AB1∥平面BC1D，只需证明AB1平行平面BC1D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB1成为这个三角形中的边，而中位线OD恰好在平面BC1D上，就可得到结论．（2）作BE⊥AC，垂足为E，推导出AA1⊥BE，BE⊥平面AA1C1C．由此能求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【解答】证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B是平行四边形，∴点O为B1C的中点，∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1，∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D（2）作BE⊥AC，垂足为E，∵侧棱AA1⊥底面ABC，BE?底面ABC∴AA1⊥BE∵AA1∩AC=A∴BE⊥平面AA1C1C．在Rt△ABC中，BE==，∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积V=×（A1C1+AD）?AA1?BE=3．22.已知曲线C上的动点P到两定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l的方程为y=kx﹣2，其中k＜﹣2，且直线l交曲线C于A，B两点，求?的最小值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】转化思想；换元法；直线与圆．【分析】（1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；（2）联立直线方程和圆的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合基本不等式，即可得到最小值．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得=，即为2=，化简可得x2+y2+2x﹣3=0，曲线C的方程为圆（x+1）2+y2=4；（2）将直线y=kx﹣2代入圆的方程，可得（1+k2）x2+（2﹣4k）x+1=