有限元分析中的单元性质特征与误差处理

6.1单元节点编号与带宽存储计算机进行有限元分析时，需要存储所有单元和节点信息，随着所求解问题自由度的增大，计算规模的增大，整体刚度矩阵的规模非常巨大。由于整体刚度矩阵中显现出相邻单元之间的关联性，因此矩阵中的大部分数据都为零，反映非零数据的一个指标就是带宽。第1页/共50页第一页，共51页。第2页/共50页第二页，共51页。第3页/共50页第三页，共51页。由于刚度矩阵是对称的，可以看出，若节点的自由度数目为m，则每一个单元在整体刚度矩阵的半带宽为

di=（第i个单元中节点编号的最大差值+1）＊m

d=max（di）（i=1，2……n）其中n为整个结构系统的单元数。显然对于二维问题，m=2对于三维问题，m=3第4页/共50页第四页，共51页。第5页/共50页第五页，共51页。6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质以一维杆单元为例，杆单元的位移场为形函数矩阵1、左端发生单位位移，右端固定2、右端发生单位位移，左端固定3、发生刚体位移第6页/共50页第六页，共51页。6.2形状函数矩阵与刚度矩阵的性质仍然以一维杆单元为例，它的刚度方程为1、考虑单元左端发生单位位移，右端固定情况2、考虑单元右端发生单位位移，左端固定情况3、考察刚体位移第7页/共50页第七页，共51页。性质1：单元刚度矩阵的对角元素kii表示要使单元的第i个节点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。性质2：单元刚度矩阵的对角元素kij（i≠j）表示要使单元的第j个节点产生单位位移，而其它的节点位移为0时，需要在i点施加的节点力。性质3：单元刚度矩阵是对称的。这可以由功的互等定理得到。对于线弹性体，力所做的功跟加载次序无关，这可以利用上面的性质1和2得到。第8页/共50页第八页，共51页。第一种加载状态第二种加载状态第一种加载状态下的外力在第二种加载状态下移动相应位移做的功为第二种加载状态下的外力在第一种加载状态下移动相应位移做的功为根据功的互等定理，可以得到结论：刚度矩阵是对称的。第9页/共50页第九页，共51页。性质4：单元刚度矩阵是半正定的。性质5：单元刚度矩阵是奇异的。性质6：单元刚度矩阵的任意行或列代表一个平衡力系，当节点位移全部为线位移时，任意行或列的代数和应该为0。第10页/共50页第十页，共51页。同样，由单元刚度矩阵所组装的整体刚度矩阵也有以下性质：1）对称性2）奇异性3）半正定性4）稀疏性5）非零元素呈现带状分布第11页/共50页第十一页，共51页。6.3边界条件的处理与支反力的计算位移边界条件在大多数情况下有两种类型。1、零位移边界条件2、给定具体数值的位移边界条件根据上述两类边界条件，刚度方程的求解有以下几种方法：1、直接法2、置“1”法

3、乘大数法4、罚函数法第12页/共50页第十二页，共51页。直接法1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。2、处理过程直观。3、待求矩阵的规模变小（维数变小），适合于手工处理。4、矩阵的节点编号及排序改变，不利于计算机的规范化处理。第13页/共50页第十三页，共51页。置“1”法1、只能处理零约束情况。2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列，适合于计算机处理。3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。直接法第14页/共50页第十四页，共51页。乘大数法1、既可以处理零约束，又可以处理非零约束的情况。

2、待求矩阵的规模不变，不需重新排列。3、保持整体刚度矩阵的对称性，利于计算机的规范化处理。直接法第15页/共50页第十五页，共51页。罚函数法

罚函数法的最大好处是可以直接求出位移边界上的支反力。

支反力的计算：

除了罚函数法能够求出支反力以外，其它的方法都需要求解一定的方程得到。第16页/共50页第十六页，共51页。6.4单元刚度矩阵的缩聚采用高次位移函数的单元也常被称为高阶单元。对于高次单元来说，除了几何端点以外，其余的那些节点可能与其它的单元不发生关系，当中间的节点与其它单元无关时，我们称作是内部节点。而其余的节点是外部节点。既然内部节点与其他单元无关，那么在组成整体刚度之前，就可以把他们消去，也就是把内部节点的位移用外部节点的位移来表示。第17页/共50页第十七页，共51页。以一维三节点杆单元为例第18页/共50页第十八页，共51页。以一维三节点杆单元为例其中a代表的是外部节点，b代表的是内部节点。第19页/共50页第十九页，共51页。6.5位移函数构造与收敛性要求单元中的位移模式一般采用设有待定系数的有限多项式作为近似函数，优先多项式的选取原则应该考虑以下几个方面：1、待定系数是由节点位移条件确定的，因此它的个数应该与节点位移DOF个数相等。2、在选取多项式时，必须选择常数项和完备的一次项。单元位移模式中的常数项和一次项可以反映单元的刚体位移合唱应变的特性。这是因为当划分的单元数趋于无穷时，即单元缩小趋于一点，此时单元应变趋于常数。3、选择多项式应该由低到高，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。第20页/共50页第二十页，共51页。因此，在构造一个单元的位移函数时，应该参考由多项式函数构成的Pascal三角形和上述原则进行函数项次的选取与构造。第21页/共50页第二十一页，共51页。收敛性问题

在有限元分析中，当节点数目或单元插值函数的项数趋于无穷大时，即单元尺寸趋于零时，最后的解答如果能够无线的逼近准确解，那么这样的位移函数或形函数是逼近于真实的，这就称为收敛。

为使有限元分析的解答收敛，位移函数必须满足一些收敛准则，这些准则都经过过严密的理论验证。主要包括以下三个方面。第22页/共50页第二十二页，共51页。收敛性准则

定义：当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋于真实解。

准则1：完备性准则（针对单元内部）。如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则有限元解答收敛性的条件之一是选取单元内的位移场函数至少是m阶完全多项式。

准则2：协调性准则（针对单元之间）。如果在势能泛函中位移函数所出现的最高阶导数是m阶，那么位移函数在单元交界面上必须具有直至m-1阶的连续导数，即Cm-1连续性。第23页/共50页第二十三页，共51页。以一般的梁问题为例从上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为2，因此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的二次多项式。由准则2可知，位移函数为C1连续，即在单元之间的位移函数至少要求一阶导数连续。第24页/共50页第二十四页，共51页。以一般的平面问题为例从上式可以看出，所出现的物理量是关于位移的最高阶导数为1，因此假定形状函数的时候，形函数至少应该包含完整的一次多项式。由准则2可知，位移函数为C0连续，即在单元之间的位移函数要求零阶导数连续。亦即函数的本身连续，而其一阶导数可以不连续。第25页/共50页第二十五页，共51页。协调元与非协调元

当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（一般都比较容易满足），当单元的位移函数满足协调性条件时，称单元是协调的（在单元与单元之间的公共边界上对于高阶连续性要求较难满足）。

当单元的位移函数即完备又协调时，则有限元分析的解答是收敛的，即当单元尺寸趋于零时，有限元分析的解答趋于真实解。我们称这种单元为协调单元。第26页/共50页第二十六页，共51页。一般情况下，当泛函中的导数高于一阶时，则要求许可函数在单元交界面上具有C1或更高的连续性，这时构造单元的插值函数往往比较困难。如果在单元之间的交界面上位移或导数不连续，将在交界面上引起无限大的变形，这时必须产生附加应变能，而我们建立泛函时，并没有考虑这种情况。因此，基于最小势能原理得到的有限元分析解答就不可能收敛于正确解。

在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要这种单元能够通过拼片试验，有限元分析的解答仍然可以收敛于正确的解答。这样的单元称为非协调性单元。第27页/共50页第二十七页，共51页。第28页/共50页第二十八页，共51页。6.6C0和C1型单元C0型单元在泛函中位移函数的最高阶导数为1，在交界面上具有0阶的连续导数，即节点上仅仅要求位移连续。杆单元、平面问题单元、空间问题单元等第29页/共50页第二十九页，共51页。6.6C0和C1型单元C1型单元在泛函中位移函数的最高阶导数为2，在交界面上具有1阶的连续导数，即节点上除要求位移连续外，还要求1阶导数连续。梁单元、板单元、壳单元等第30页/共50页第三十页，共51页。6.7单元的拼片试验由于非协调单元之间的位移不能保证位移协调，可以通过拼片试验来考证是否能描述常应变和刚体位移，若能通过拼片试验，则解得收敛性就能得到保证。如图所示的单元状况，其中至少一个节点被单元所完全包围，若节点i完全被单元所包围，节点i的平衡方程为第31页/共50页第三十一页，共51页。对于非协调单元，需要考察它的收敛性，即考察它是否具有常应变的能力，因此，我们设计这样一个试验（拼片试验）：当对单元片中的各个节点赋予对应于常应变状态的位移和载荷值时，核对对i点平衡方程的正确性，如果能够满足，也就是单元满足常应变要求，因此当单元尺寸不断减小时，有限元解能够收敛于真正解。第32页/共50页第三十二页，共51页。以平面问题为例由片面问题的平衡方程可知，当单元内的应变或应力都为常数时，则对应的体积力为零。对应于图中的i点，它的边界力也为零，因此。所以此时，通过拼片试验的前提是，当赋予各节点以上位移模式的位移时，i点的平衡方程变为即必须在节点i施加附加约束，该约束力所作的功等于单元交界面上位移不协调引起的附加应变能。第33页/共50页第三十三页，共51页。仍以平面问题为例由片面问题的平衡方程可知，当单元内的应变或应力都为常数时，则对应的体积力为零。对应于图中的i点，它的边界力也为零，因此。所以i节点以外节点有以上位移模式的位移时，对于i点的平衡方程如果求解上式得到的位移值和常应变状态下的位移相一致，则认为通过拼片试验。否则认为不能通过拼片试验。第34页/共50页第三十四页，共51页。6.8有限元数值解的精度与性质求解精度估计

以平面问题为例，单元的位移场可以展开成以下形式如果单元尺寸为h，则上式中的Δx和Δy都是h量级，若单元的位移函数采用p阶完全多项式，即它能逼近上述泰勒级数的前p阶多项式，那么位移解u的误差将是O（hp+1）量级。

第35页/共50页第三十五页，共51页。

3节点3角形单元(p次多项式)：量级位移应变应变能误差收敛速度误差误差h/1量级:O（h2）O（h2）O（h）O（h2）h/2量级:O（h2/4）。。。。。。。。。h/3量级:O（h2/9）。。。。。。。。。h/4量级:O（h2/16）。。。。。。。。。第36页/共50页第三十六页，共51页。这里讨论的都是仅仅局限于网格的离散误差，即当一个连续的求解域被离散成有限个子域，由单元的试函数来逼近整体的域的场函数所引起的误差。另外，实际误差还应该包括计算机的数值运算误差。精确解与不同网格计算结果之间的关系第37页/共50页第三十七页，共51页。有限元分析的下限性质有限元是把结构无限多的自由度简化为有限多的自由度，结构的刚度被夸大了，即使是用无限多个自由度来描述，也必然使得原系统刚度增加，变得更加刚硬，即刚度矩阵的总体数值变大，由刚度方程知，计算出的位移结果偏小。

由于位移函数的收敛性准则包含完备性和协调性两方面的要求，而完备性要求比较容易满足，而协调性则较难满足，因此这往往是研究的重点。第38页/共50页第三十八页，共51页。位移解的下限性质是基于协调单元单调收敛的前提得到的，在有些情况下，使用非协调单元也可以得到工程上的满意解答，有时甚至更好，这是由于位移不协调引所造成的误差与其它误差相抵消的缘故。第39页/共50页第三十九页，共51页。6.9单元应力计算结果的误差和平均应力结果的误差性质对于弹性问题，其三大变量对于一个具体问题，成了求δ2П关于的极值问题。它是一个误差泛函。第40页/共50页第四十页，共51页。可见，对于求近似解极值的问题从力学上看，是求位移变分引起的总势能为极小值的问题。从数学上看，是求应变差和应力差在弹性矩阵加权意义下的最小二乘问题。因此，应变和应力的近似解的性质，是在加权残值最小二乘意义上对真实应变和真实应力的逼近。第41页/共50页第四十一页，共51页。高斯点上的应力性质高斯积分点上的应力和应变的近似解将具有比其它位置高得多的精度，这可以从图中看出。第42页/共50页第四十二页，共51页。公共节点上的应力平均①绕节点直接平均法②绕节点加权平均法，可以按体积或面积加权平均③二单元平均法第43页/共50页第四十三页，共51页。6.10控制误差和提高精度的h方法和p方法h方法：不改变各单元基函数，只通过逐步加密单元使计算结果向正确解逼近。它往往采用比较简单的单元。一般可以将误差控制在5~10%范围内。其收敛性比p方法差，但是由于不用高阶多项式位移模式，数值稳定性和可靠性都好。第44页/共50页第四十四页，共51页。p方法：保持网格固定剖分不变，增加单元上基底函数的阶次，从而改善计算精度。实际证明：p方法收敛性好，由于使用高次多项式，会出现数值不稳定现象，另外，计算机容量和速度的限制，多项式的阶次不能太高，尤其在