有限元法中相关问题的处理

1INTRODUCTION保证有限元计算的结果可靠，稳定提高求解的精度和效率第1页/共53页第一页，共54页。2INTRODUCTION需要考虑的主要因素：

计算量和计算规模的大小；明确需求和问题的特点；根据物理性质和几何特征选择合理的单元配置；

边界条件的施加；初始条件的加载。第2页/共53页第二页，共54页。3CPU时间的估计(rangesfrom2–3)Bandwidth,b,affects-最小化带宽值Aim:尽可能控制有限元建模的自由度的数目单元密度的搭配

第3页/共53页第三页，共54页。4GEOMETRYMODELLING对模型进行适当的简化3D?2D?1D?或者混合单元形式(尽可能采用低维数单元)第4页/共53页第四页，共54页。5MESHING在重点分析的局部布置较多的单元以增加精度；单元密度控制第5页/共53页第五页，共54页。6Elementdistortion单元会存在不规则的情况，但是不能逾越有限元法的基本原理.ThedistortionsaremeasuredagainstthebasicshapeoftheelementSquareQuadrilateralelementsIsoscelestriangleTriangleelementsCubeHexahedronelementsIsoscelestetrahedronTetrahedronelements第6页/共53页第六页，共54页。7Elementdistortion单元的横纵比Ruleofthumb:第7页/共53页第七页，共54页。8Elementdistortion角度的要求第8页/共53页第八页，共54页。9Elementdistortion曲率的要求第9页/共53页第九页，共54页。10Elementdistortion对于面积和体积的要求不能存在负面积，物理坐标和自然坐标之间的转换第10页/共53页第十页，共54页。11Elementdistortion对于面积和体积的要求第11页/共53页第十一页，共54页。12Elementdistortion中部节点位置可能导致应力场的奇异第12页/共53页第十二页，共54页。13MESHCOMPATIBILITY最小势能原理的要求单元边界的协调性第13页/共53页第十三页，共54页。14不同阶数的单元组合单元间隙，造成应力场的奇异第14页/共53页第十四页，共54页。15不同阶数的单元组合解决方式:UsesametypeofelementsthroughoutUsetransitionelementsUseMPCequations多点约束方程第15页/共53页第十五页，共54页。16Straddlingelements跨界单元模式避免跨界单元建模形式第16页/共53页第十六页，共54页。17USEOFSYMMETRY不同类型的对称:MirrorsymmetryAxialsymmetryCyclicsymmetryRepetitivesymmetryUseofsymmetryreducesnumberofDOFsandhencecomputationaltime.Alsoreducesnumericalerror.第17页/共53页第十七页，共54页。18Mirrorsymmetry特殊面的对称形式第18页/共53页第十八页，共54页。19Mirrorsymmetry考虑二维问题，如何施加约束:u1x=0u2x=0u3x=0Singlepointconstraints(SPC)单点约束第19页/共53页第十九页，共54页。20MirrorsymmetryDeflection=Free法向偏移无约束Rotation=0转角为0对称加载第20页/共53页第二十页，共54页。21MirrorsymmetryAnti-symmetricloading反对称加载Deflection=0偏移为0Rotation=Free转角自由第21页/共53页第二十一页，共54页。22MirrorsymmetryPlaneofsymmetryuvwxyzxyFreeFreeFixFixFixFreeyzFixFreeFreeFreeFixFixzxFreeFixFreeFixFreeFixSymmetric对称Notranslationaldisplacementnormaltosymmetryplane（垂直于对称面）Norotationalcomponentsw.r.t.axisparalleltosymmetryplane（平行于对称面）第22页/共53页第二十二页，共54页。23MirrorsymmetryAnti-symmetric反对称NotranslationaldisplacementparalleltosymmetryplaneNorotationalcomponentsw.r.t.axisnormaltosymmetryplanePlaneofsymmetryuvwxyzxyFixFixFreeFreeFreeFixyzFreeFixFixFixFreeFreezxFixFreeFixFreeFixFree第23页/共53页第二十三页，共54页。24MirrorsymmetryAnyloadcanbedecomposedtoasymmetricandananti-symmetricload

任何加载可以分解为对称和反对称的组合第24页/共53页第二十四页，共54页。25Mirrorsymmetry第25页/共53页第二十五页，共54页。26Mirrorsymmetry第26页/共53页第二十六页，共54页。27MirrorsymmetryDynamicproblems(e.g.twohalfmodelstogetfullsetofeigenmodesineigenvalueanalysis)动态问题（模态和特征值分析）第27页/共53页第二十七页，共54页。28Axialsymmetry采用1D,2D轴对称单元Cylindricalshellusing1Daxisymmetricelements3Dstructureusing2Daxisymmetricelements第28页/共53页第二十八页，共54页。29CyclicsymmetryuAn=uBn

uAt=uBt

Multipointconstraints(MPC)第29页/共53页第二十九页，共54页。30RepetitivesymmetryuAx=uBx

第30页/共53页第三十页，共54页。31MODELLINGOFOFFSETS

,offsetcanbesafelyignored,offsetneedstobemodelled

,ordinarybeam,plateandshellelementsshouldnotbeused.Use2Dor3Dsolidelements.

Guidelines:第31页/共53页第三十一页，共54页。32MODELLINGOFOFFSETSThreemethods:Verystiffelement大刚性单元Rigidelement刚体单元MPCequations多点约束方程第32页/共53页第三十二页，共54页。33CreationofMPCequationsforoffsets

多点约束方程Eliminateq1,q2,q3第33页/共53页第三十三页，共54页。34CreationofMPCequationsforoffsets第34页/共53页第三十四页，共54页。35CreationofMPCequationsforofffsetsd6=d1+

d5ord1+

d5

-

d6=0d7=d2

-

d4ord2

-

d4

-

d7=0d8=d3ord3

-

d8=0

d9=d5ord5

-

d9=0第35页/共53页第三十五页，共54页。36MODELLINGOFSUPPORTS第36页/共53页第三十六页，共54页。37MODELLINGOFSUPPORTS(Propsupportofbeam)第37页/共53页第三十七页，共54页。38MODELLINGOFJOINTSPerfectconnectionensuredhere第38页/共53页第三十八页，共54页。39MODELLINGOFJOINTSMismatchbetweenDOFsofbeamsand2Dsolid–beamisfreetorotate(rotationnottransmittedto2Dsolid)Perfectconnectionbyartificiallyextendingbeaminto2Dsolid(Additionalmass)第39页/共53页第三十九页，共54页。40MODELLINGOFJOINTSUsingMPCequations第40页/共53页第四十页，共54页。41MODELLINGOFJOINTSSimilarforplateconnectedto3Dsolid第41页/共53页第四十一页，共54页。42OTHERAPPLICATIONSOFMPCEQUATIONSModellingofsymmetricboundaryconditionsdn=

0uicos+visin=0orui+vitan=0fori=1,2,3第42页/共53页第四十二页，共54页。43Enforcementofmeshcompatibilitydx

=0.5(1-)d1+0.5(1+)d3

dy

=0.5(1-)d4+0.5(1+)d6

Substitutevalueofatnode30.5d1

-

d2+0.5d3=00.5d4

-

d5+0.5d6=0Uselowerordershapefunctiontointerpolate第43页/共53页第四十三页，共54页。44EnforcementofmeshcompatibilityUseshapefunctionoflongerelementtointerpolatedx=-0.5(1-)d1+(1+)(1-)d3+0.5(1+)d5

Substitutingthevaluesofforthetwoadditionalnodesd2=0.251.5d1+1.50.5d3-

0.250.5d5

d4=-0.250.5d1+0.51.5d3

+0.251.5d5

第44页/共53页第四十四页，共54页。45EnforcementofmeshcompatibilityInxdirection,0.375d1-

d2+0.75d3-0.125d5=0-0.125d1+0.75d3-

d4+0.375d5=0Inydirection,0.375d6-

d7+0.75d8-0.125d10=0-0.125d6+0.75d8-

d9+0.375d10=0第45页/共53页第四十五页，共54页。46Modellingofconstraintsbyrigidbodyattachmentd1=q1

d2=q1+q2

l1

d3=q1+q2

l2

d4=q1+q2

l3

(l2/l1-1)d1-(l2/l1)d2+d3=0(l3/l1-1)d1-(l3/l1)d2+d4=0Eliminateq1

andq2(DOFinxdirectionnotconsidered)第46页/共53页第四十六页，共54页。47IMPLEMENTATIONOFMPCEQUATIONS(MatrixformofMPCequations)(Globalsystemequation)Constantmatrices第47页/共53页第四十七页，共54页。48Lagrangemultipliermethod(Lagrangemultipliers)MultipliedtoMPCequationsAddedtofunctionalThestationaryconditionrequiresthederivativesofpwithrespecttotheDianditovanish.

Matrixequationissolved第48页/共53页第四十八页，共54页。49LagrangemultipliermethodConstraintequationsaresatisfiedexactlyTotalnumberofunknownsisincreasedExpandedstiffnessmatrixisnon-positivedefiniteduetothepresenceofzerodiagonaltermsEfficiencyofsolvingthesystemequationsislower第49页/共53页第四十九页，共54页。50Penaltymethod(Constrainequations)=1

2...misadiagonalmatrixof‘penaltynumbers’

Stationaryconditionofthemodifiedfunctionalrequiresthe