有限冲击响应FIR数字滤波器的设计

7.1FIR数字滤波器的线性相位特性第1页/共50页第一页，共51页。FIR滤波器的定义：M阶(长度N=M+1)

的FIR数字滤波器第2页/共50页第二页，共51页。FIR滤波器的特点：1)h[k]在有限范围内非零，系统总是稳定的。2)容易设计成线性相位3)可利用FFT实现第3页/共50页第三页，共51页。严格线性相位定义:若f(W)=-aW,则称系统H(z)是严格线性相位的。

第4页/共50页第四页，共51页。广义线性相位定义:A

(W)称为幅度频函数第5页/共50页第五页，共51页。M=4偶对称M=3偶对称M=4奇对称M=3奇对称

定理：为线性相位的充要条件为h[k]=h[M-k]第6页/共50页第六页，共51页。1)1型:(h[k]=h[M-k],M为偶数)

例：M=4,h[k]={h[0],h[1],h[2],h[1],h[0]}第7页/共50页第七页，共51页。A

(W)关于0和p

点偶对称例：h[k]={1,2,1},M=2p2p40A(W)第8页/共50页第八页，共51页。2)II型:(h[k]=h[M-k]),

M为奇数M=3h[k]={h[0],h[1],h[1],h[0]}cos(0.5W)的周期=4pcos(1.5W)的周期=(4/3)pA

(W)的周期=4p第9页/共50页第九页，共51页。A

(p

)=0不能用于高通、带阻滤波器的设计H

(W)关于W=p点奇对称第10页/共50页第十页，共51页。例：h[k]=(d[k]+d[k-1])/2012ppA

(W)第11页/共50页第十一页，共51页。3)III型:h[k]=-h[M-k],

M为偶数M=4h[k]={h[0],h[1],0,-h[1],-h[0]}A

(W)关于0和p点奇数对称A

(0)=A

(p)=0不能用于高通和低通滤波器的设计第12页/共50页第十二页，共51页。例：h[k]=(d[k]-d[k-2])/20A

(W)12pp第13页/共50页第十三页，共51页。4)IV型:h[k]=-h[M-k],

M为奇数M=3h[k]={h[0],h[1],-h[1],-h[0]}A

(0)=0不能用于低通滤波器的设计第14页/共50页第十四页，共51页。例：h[k]=(d[k]-d[k-1])/20A

(W)12pp第15页/共50页第十五页，共51页。线性相位FIR滤波器频率响应一般形式可写为 表5-1四种线性相位FIR滤波器的性质类型IIIIIIIV阶数M偶奇偶奇h[k]的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A(W)关于W=0的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A(W)关于W=p的对称性偶对称奇对称奇对称偶对称A(W)的周期2p4p2p4pb000.5p0.5pA(0)任意任意00A(p)任意00任意可适用的滤波器类型LP,HP,BP,BS等LP,BP微分器,Hilbert变换器微分器,Hilbert变换器，HP第16页/共50页第十六页，共51页。线性相位系统H(z)的零点分布特性:z=0不可能有系统的零点zk是系统的零点，则zk-1也是系统的零点。h[k]是实的,第17页/共50页第十七页，共51页。1)Re(z)Im(z)第18页/共50页第十八页，共51页。2)Re(z)Im(z)第19页/共50页第十九页，共51页。Re(z)Im(z)3)第20页/共50页第二十页，共51页。Re(z)Im(z)4)任意线性相位系统是上述四种子系统的组合h[k]奇对称时，H(z)在z=1处一定有奇数阶零点。第21页/共50页第二十一页，共51页。

四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点：(1)I型FIR滤波器(M为偶)：在zk=1和zk=-1无零点或者有偶数个零点。(2)II型FIR滤波器(M为奇)：在zk=-1有奇数个零点，在zk=1无零点或者有偶数个零点。(3)III型FIR滤波器(M为偶)：在zk=1和zk=-1有奇数个零点。(4)IV型FIR滤波器(M为奇)：在zk=1有奇数个零点，在zk=-1无零点或者有偶数个零点。第22页/共50页第二十二页，共51页。最小积分平方误差设计FIR滤波器吉伯斯(Gibbs)现象常用窗函数7.2窗函数法设计FIR滤波器第23页/共50页第二十三页，共51页。问题：已知Hd(ejW)，设计使其频率响应逼近Hd(ejW)。hd[k]一般情况下是无穷序列，需对其进行截断。设M=2K,w[k]=RN+1[k]h

[k]=

hd

[k-K]RN+1[k]方案1：设Hd(ejW)是实偶函数，则hd[k]是实偶对称的。h

[M-k]=hd[M-k-M/2]RN+1

[k]=hd[-(k-N

/2)]RN+1

[k]=h[k]=

hd

[k-M]RN+1[k]最小积分平方误差设计FIR滤波器第24页/共50页第二十四页，共51页。例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为Wc的理想低通。解：设第25页/共50页第二十五页，共51页。

方案2：设Hd(ejW)为

Hd(ejW)=Ad(W)exp(j(-0.5MW+b))I型和II:b=0;III型和IV:b=p/2。h

[k]=

hd

[k]RN+1[k]例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为Wc的理想低通。解：设第26页/共50页第二十六页，共51页。

例：理想数字微分器的频率响应为

HDIF(ejW)=jW,|W|p试用窗口法设计一线性相位FIR滤波器，使其幅度响应逼近理想数字微分器。解：设理想微分器的频率响应为

HDIF(ejW)=Wej(0.5p-0.5MW),|W|p第27页/共50页第二十七页，共51页。A(W)p-p0Wp-pA(W)W0M=10M=9第28页/共50页第二十八页，共51页。积分平方误差定义为由Parseval等式，e2可表示为可选择

h[k]=hd[k]，0k

M 使积分平方误差最小。第29页/共50页第二十九页，共51页。吉伯斯(Gibbs)现象000.510.2p0.4p0.6p0.8ppWA(W)M=14M=600.2p000.510.4p0.6p0.8ppA(W)W第30页/共50页第三十页，共51页。矩形窗对H(e

jW)的影响矩形窗的幅度函数为第31页/共50页第三十一页，共51页。WNp2Np2-Np4Np4-Npp-主瓣旁瓣)(WW矩形窗的幅度函数第32页/共50页第三十二页，共51页。将理想滤波器的频率响应表示为则可得FIR滤波器的频率响应为所以FIR滤波器的幅度函数为第33页/共50页第三十三页，共51页。)(WAWcWcW-pp-qpp-cWcW-(W)W)(qdA第34页/共50页第三十四页，共51页。)(WAWcWcW-pp-qcWcW-pp-)(qdA)(q-WW第35页/共50页第三十五页，共51页。q)(qdA)(q-WWcW-cWpp-)(WAWcWcW-pp-由矩形窗截断产生的波峰大约是9%，所以阻带最小衰减为

20log10(9%)-21dB。第36页/共50页第三十六页，共51页。用矩形窗设计的Wc=p/2FIR滤波器的幅度响应00.250.50.751-40-30-21-100M=14M=30Gaindb第37页/共50页第三十七页，共51页。7.2.2常用窗函数矩形窗Ap0.82dB,As21dB10.50.091.09WWcNπ8.1第38页/共50页第三十八页，共51页。Hanning(汉宁)窗Ap0.056dB,As44dB第39页/共50页第三十九页，共51页。由Hanning窗设计的Wc=p/2FIR滤波器的频响特性(M=38)00.250.50.751-80-60-44-200Square

HanningGaindB第40页/共50页第四十页，共51页。00.250.50.751-80-60-52-200Square

HammingHamming（哈明）窗(w=hamming(M+1))Gaindb第41页/共50页第四十一页，共51页。Blackman窗(w=blackman(M+1))00.250.50.751-100-75-60-40-200Square

BlackmanGaindb第42页/共50页第四十二页，共51页。Kaiser窗(w=kaiser(M+1,beta))b

是一可调参数。I0(b):themodifiedzeroth-orderBesselfunction.I0(b)可用幂级数表示为一般求20项就能达到所需精度。第43页/共50页第四十三页，共51页。

用Kaiser窗设计FIR滤波器的步骤：1.估计滤波器的阶数MA=-20log10(min{dp，ds})2.估计b第44页/共50页第四十四页，共51页。1.估计滤波器的阶数M2.估计b

b=0.1102(As-b)3.设定理想低通的截频4.h[k]=hd[k]*w[k]例:用Kaiser窗设计一满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。

Wp=0.2p,Ws=0.4p，Ap=0.3dB,As=50dB第45页/共50页第四十五页，共51页。GainresponseoflowpassFIRfilter00.10.20.30.40.5-80-50-300NormalizedfrequencyGain,dBM=30Ap=0.0105dBAs=50.7524dB第46页/共50页第四十六页，共51页。例：用Hamming窗设计一个逼近截频