有限差分法学习资料

有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程。

为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解。

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建立控制方程及定解条件

建立节点物理量的代数方程

解的分析

求解代数方程组

设立迭代初值

确定节点（区域离散化）收敛？是否改进初场第2页/共15页第二页，共16页。1.建立控制方程及定解条件

根据实际问题建立偏微分方程，同时给出边界条件。

理论上可以通过任意的网格划分把求解区域划分成许多求解区域，以网格线的交点作为需要确定的物理量的空间位置。实际应用中根据边界的形状采用最简单、最有规律，和边界拟合程度最佳的方法来分割。2.区域离散化矩形分割三角形分割极网格分割第3页/共15页第三页，共16页。3.建立节点物理量的离散方程

节点类型

内节点边界节点泰勒级数展开法

热平衡法泰勒级数展开法

热平衡法热平衡法多运用于非均分网格划分下离散方程的建立，其物理概念清晰，推导过程简洁第4页/共15页第四页，共16页。泰勒级数展开法我们以二维稳态无内热源、矩形均分下的温度场为例，先用泰勒级数展开法对内节点(i,j)建立离散方程。(b)(a)第5页/共15页第五页，共16页。泰勒级数展开法由（a）（b）两个式子即可推出一阶导数和二阶导数的差分（一般取中心差分，更为精确）一阶导数的中心差分：二阶导数的中心差分：代入由于该矩形网格为均分网格，因此∆x=∆y，则有：第6页/共15页第六页，共16页。热平衡法对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热＝流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量(C)第7页/共15页第七页，共16页。热平衡法以二维稳态无内热源、矩形均分下的温度场为例，利用用热平衡法对内节点(i,j)建立离散方程。代入热平衡方程(C)，由于∆x=∆y第8页/共15页第八页，共16页。建立节点离散方程注意的问题上述例子以二维稳态无内热源矩形等分下的温度场为基础，展示了两种方法的使用，而实际情况较为复杂。尤其在对非稳态的温度场的节点建立离散方程时，不仅涉及到空间区域的离散化，还有时间区域的离散化。

非稳态导热节点离散化显式格式隐式格式优点：计算工作量小缺点：对步长有一定限制优点：步长无限制缺点：计算工作量大第9页/共15页第九页，共16页。

4.迭代计算

常用的迭代方法：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、松弛迭代法、梯度法、交替方向迭代等.以高斯赛德尔迭代为例，其迭代步骤如下：（1）将已建立的离散方程组改写成合适的迭代形式。

（2）设立迭代初值，利用迭代公式逐一计算每个节点的改进值。（每次迭代均用t的最新值代入）（3）以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时达到迭代收敛，迭代终止计算第10页/共15页第十页，共16页。计算实例

一铜制薄板，长宽均为1m，厚度为1cm，底部边缘温度始终保持在1000K，其余三个边缘的无热量传输，薄板的两个表面通过对流和辐射换热与环境进行热量交换，分别在稳态和非稳态情况下对薄板的温度分布进行分析。（环境温度为300K)求解：(1)建立控制方程和边界条件：由于薄板的厚度相对其整体尺寸很小，可认为在厚度方向上温度不发生变化，因此问题可简化为二维问题。根据能量守恒可列出控制方程：其中ρ为薄板材料的密度，Cp为比热，δz为薄板的厚度，k为导热系数，Qc为对流换热量，Qr为辐射换热量代入上式边界条件：x=0m,x=1m,y=1m；q=0w/m2

y=1m；T=300K

第11页/共15页第十一页，共16页。（2）利用matlab中的pdetool工具箱，首先绘出空间区域，并以0.1m为步长对其进行网格划分。（3）输入已知的参数并设定边界条件对边界条件进行设定输入已知参数第12页/共15页第十二页，共16页。（4）进行运算并对结果进行分析（a）稳态时薄板温度沿Y方向的变化曲线（b）非稳态下薄板顶部温度随时间的变化曲线第13页/共15页第十三页，共16页。（a)稳态下薄板内的温度分布(b)非稳态下5000秒后薄板内的温度分布结果分析：非稳态下5000秒后薄板内的温度分布与稳态下薄板内的温度分布基本接近，这是由于非稳态热传导最初要经过非正规状态阶段，最后进入正规状态阶段并逐渐达到动态平衡。第14页/共15页第十四页，共16页。感谢您的观看！第15页/共15页第十五页，共16页。内容总结有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程。有限差分方法是一种微分方法,广泛用于计算机求解偏微分方程。根据差分方程组解出各离散点处的