有限长单位脉冲响应滤波器设计

二、FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)

优点：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；

第1页/共32页第一页，共33页。（5）无反馈运算，运算误差小。（6）由于单位脉冲响应为有限长序列，因此可以采用FFT快速算法实现信号过滤，可以提高效率。缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。第2页/共32页第二页，共33页。三、FIR滤波器的设计方法设计方法：窗函数法频率采样法切比雪夫等波纹逼近法设计任务：选择有限长度的脉冲响应，得到系统函数，使幅频特性满足技术指标，同时是相频特性达到线性相位。第3页/共32页第三页，共33页。§4.1线性相位FIR数字滤波器的特性

一、线性相位的条件1、线性相位的定义线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为

第4页/共32页第四页，共33页。2、线性相位的条件FIR滤波器的DTFT为式中H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:

第5页/共32页第五页，共33页。将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系满足上式的条件（线性相位的条件）是

第6页/共32页第六页，共33页。（2）式是FIR滤波器具有（1）的线性相位的必要且充分条件，它要求单位冲击响应的h（n）序列以为偶对称中心，此时，时间延迟等于长度N-1的一半，即个抽样周期。N为偶数时，延时为整数，N为奇数时，延时等于整数加半个抽样周期。不管N为奇偶，此时都应满足对轴呈偶对称。

第7页/共32页第七页，共33页。另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附加的相位，即

利用类似的关系，可以得出新的解答为

第8页/共32页第八页，共33页。（4）式是FIR滤波器具有（3）的线性相位的必要且充分条件，它要求单位冲击响应的h（n）序列以为奇对称中心，此时，时间延迟等于长度N-1的一半，即个抽样周期。在的这种奇对称情况下，满足，因而。这种线性相位情况和前一种不同之处是，除了产生线性相位外，还有的固定相移。第9页/共32页第九页，共33页。

偶对称

奇对称图1线性相位特性第10页/共32页第十页，共33页。

分四种情况:1、h(n)偶对称、

N为偶数2、h(n)偶对称

N为奇数3、h(n)奇对称

N为偶数4、h(n)奇对称

N为奇数二、线性相位FIR滤波器的幅度特性第11页/共32页第十一页，共33页。

1．偶对称，N为奇数h(n)=h(N-1-n)二、线性相位FIR滤波器的幅度特性第12页/共32页第十二页，共33页。第13页/共32页第十三页，共33页。令，则令则由于偶对称，因此对这些频率也呈偶对称。可以用于各种滤波器的设计。第14页/共32页第十四页，共33页。

2．h(n)偶对称，N为偶数h(n)=h(N-1-n)令，则第15页/共32页第十五页，共33页。

或写为：由此看出：

①由于奇对称，所以对也为奇对称，对为偶对称。②且由于时，处必有一零点。③因此这种情况不能用于设计时的滤波器，如高通、带阻滤波器。第16页/共32页第十六页，共33页。3.h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)第17页/共32页第十七页，共33页。

令n=m+(N-1)/2，得：

第18页/共32页第十八页，共33页。

所以

①由于点呈奇对称，所以对这些点也奇对称。②由于时，相当于H（z）在处有两个零点。③不能用于的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。第19页/共32页第十九页，共33页。4.h(n)奇对称，N为偶数令第20页/共32页第二十页，共33页。①当ω=0,2π时， ，且对ω=0,2π呈奇对称，因此H(ω)在ω=0,2π处为零，即H(z)在z=1处有一个零点，且H(ω)对ω=0,2π也呈奇对称。

②当ω=π时， 或1，则 对ω=π呈偶对称，幅度函数H(ω)对于ω=π也呈偶对称。③如果数字滤波器在ω=0,2π处不为零，例如低通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。

第21页/共32页第二十一页，共33页。四种线性相位FIRDF特性，参考P91表4.1第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻。第22页/共32页第二十二页，共33页。第23页/共32页第二十三页，共33页。奇对称单位冲击响应h(n)=-h(N-1-n)第24页/共32页第二十四页，共33页。例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数H(ω)。解：Ｎ为奇数并且h(n)满足偶对称关系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(3)=-1a(2)=2h(4)=-1H(ω)=2

-cosω-cos2ω=2-(cosω+cos2ω)第25页/共32页第二十五页，共33页。4、小结：

四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H(ω)用│H(ω)│表示时，当H(ω)为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移π。第26页/共32页第二十六页，共33页。

三、线性相位FIR滤波器的零点特性1、零点结构分布

第27页/共32页第二十七页，共33页。

由该式可看出，若z=zi是H(z)的零点，则z=zi-1也一定是H(z)的零点。由于h(n)是实数,H(z)的零点还必须共轭或对，所以z=zi*

及z=1/zi*也必是零点。所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成对出现，这种共轭对共有四种可能的情况：①既不在单位圆上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，zizi*1/zi1/zi*

图4.2(a)②在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点，zi,z*i

图4.2（b）第28页/共32页第二十八页，共33页。第29页/共32页第二十九页，共33页。③不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以有一对互为倒数的零点,zi,1/zi图4.2(c)④又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能,zi=1或zi=-1图4.2(d),p922、不同种类FIR滤波器的零点分布我们从幅度响应的讨论中已经知道①对于第二种FIR滤波器（h(n)偶对称，N为偶数，即是的零点，既在单位圆，又在实轴，所以，必有单根；第30页/共32页第三十页，共33页。

②对于第三种FIR滤波器，h(n)奇对称，N为奇数，因所以z=1，z=-1都是H（z）的单根；③对于第四种滤波器，h(n)奇对称，N为偶数，

H（0）=0，所以z=1是H（z）的单根。线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束