有限脉冲响应数字滤波器

FIRDF有以下特点：

1、∵h(n)是有限长的∴它永远是稳定的

2、如果对h(n)提出一些约束条件，很容易使H（Z）具有线性相位。

第1页/共68页第一页，共69页。一、线性相位条件

FIRDF的系统函数为：

令代入，得：

将表示成

其中称为幅度特性，为可正可负的实函数

为相位特性

第2页/共68页第二页，共69页。如果相位θ(ω)满足：

θ(ω)=-τω,τ为常数

则称具有线性相位

或：如果θ(ω)满足下式：

θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位，τ为常数。

也称具有线性相位特性

严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位，但由于满足群时延是一个常数，即

所以也称θ(ω)=θ0-τω为近似线性相位

第3页/共68页第三页，共69页。下面讨论h(n)、τ、θ0要满足什么条件，可使具有线性相位：

两式相除得：

第4页/共68页第四页，共69页。所以，如果h(n)是以为中心作偶对称（即h(n)=h(N-1-n)）,那么就必须是以为中心作奇对称。这等效地要求：θ0=0,τ=.

反之，如果h(n)是以为中心作奇对称（即h(n)=-h(N-1-n)）,则要求是以为中心的偶对称。这等效地要求：,第5页/共68页第五页，共69页。所以，满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)。满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)

第6页/共68页第六页，共69页。相对于N为奇数和偶数，线性相位FIRDF的h(n)具有四种形式，它们对应了不同类型的滤波器。

1、

偶对称h(n)=h(N-1-n)N为奇数

2、

偶对称h(n)=h(N-1-n)N为偶数

3、

奇对称h(n)=-h(N-1-n)N为奇数

4、

奇对称h(n)=-h(N-1-n)N为偶数

第7页/共68页第七页，共69页。二、线性相位FIRDF幅度特性Hg(ω)的特点

1、h(n)=h(N-n-1),N=奇数

设N=2M+1,则h(n)的对称中心为M=,除h(M)外其余各项满足：h(M-n)=h(M+n),1≤n≤M

∴

第8页/共68页第八页，共69页。

由于式中项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的。

相位特性：

显然，它是ω的线性函数。可以实现所有滤波特性第9页/共68页第九页，共69页。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数

设N=2M,则h(n)的对称中心为,h(n)的对称关系可写为：h(M-n)=h(M-1+n),1≤n≤M

第10页/共68页第十页，共69页。

可知：Hg(ω)对ω=π点呈奇对称,且在ω=π处有一零点。对于高通和带阻不适合

第11页/共68页第十一页，共69页。3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数

设N=2M+1，则h(n)的对称中心为M=,h(M)=0，除h(M)外其余各项满足：

h(M-n)=-h(M+n),1≤n≤M

可证明：

Hg(ω)对ω=0和ω=π均呈奇对称。只能实现带通滤波器第12页/共68页第十二页，共69页。4)h(n)=-h(N-n-1),N=偶数

N=2M，对称中心为M-1/2。h(M-1+n)=-h(M-n)

关于ω=0、ω=2π奇对称，ω=π偶对称，不能实现低通、带阻第13页/共68页第十三页，共69页。四种波形的幅度特性和相位特性如表所示：

第14页/共68页第十四页，共69页。

第15页/共68页第十五页，共69页。三、系统函数H（Z）的零极点分布

令m=N-n-1,则有

可看出，H（Z-1）的零点也是H（Z）的零点，反之亦然。一般情况下,如果是H（Z）的零点,则:也是H（Z）的零点.第16页/共68页第十六页，共69页。设H（Z）的一个零点为：

、取不同的值,处于不同的位置

1、,处于单位圆内

2、,在实轴上

3、,在单位圆上

4、，在单位圆和实轴的交点上。

第17页/共68页第十七页，共69页。在第一种情况下，H（Z-1）的零点也是H（Z）的零点，它与是以单位圆为镜象对称的。因为h(n)一般都是实数，所以H（Z）的复数零点为共轭成对的。即也是H（Z）的零点。所以如果H（Z）有一个零点，那么、、都是H（Z）的零点，它们构成一个四阶系统，其系统函数H（Z）为：

第18页/共68页第十八页，共69页。在第二种情况下：

,它无共轭零点存在，但有镜象零点

所以它们可构成一个二阶系统：

在第三种情况下：,它无镜象零点，但有共轭零点，,它们可构成一个二阶系统：

第19页/共68页第十九页，共69页。在第四种情况下：

既无镜象零点，又无共轭零点

是一个简单的一阶系统

这样，一个具有线性相位的FIRDF，其系统函数可表达为上述各式的级联。即：

第20页/共68页第二十页，共69页。8.2

利用窗函数法设计FIRDF

一、窗函数法设计FIRDF

设所希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω),

则其DTFT变换对为:：

是与其对应的单位脉冲响应。

由可求出:

第21页/共68页第二十一页，共69页。

一般Hd(ejω)是矩形频率特性,所以hd(n)是非因果的，且hd(n)从，物理上无法实现。但由此可得到一个逼近Hd(ejω)的方法。即：将hd(n)截短为有限项,设为N项，则：窗函数序列的形状及长度的选择很关键为窗函数第22页/共68页第二十二页，共69页。

以一个理想低通为例来说明，设：其波形如图所示：中心点在的偶对称无限长非因果序列信号特点：第23页/共68页第二十三页，共69页。

为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，将hd(n)截短为N长，即：为窗函数如取矩形窗：hd(n)必须是对称的，取对称中心如图8.2.1所示：第24页/共68页第二十四页，共69页。

图8.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗

第25页/共68页第二十五页，共69页。由h(n)求得H（Z）：

对应的频响特性为：

上述设计方法由于所设计的线性相位FIRDF的h(n)是由Hd(ejω)的傅立叶级数的系数hd(n)，截短后得到的，所以称为傅立叶级数法。同时又可将hd(n)截短的过程视为hd(n)乘以矩形窗口序列，又称为矩形窗口法。第26页/共68页第二十六页，共69页。

加窗截断的影响：取矩形窗函数：则：其中：第27页/共68页第二十七页，共69页。

的波形如图所示信号特点：有主瓣和旁瓣，主瓣宽度为

正是这些主瓣和旁瓣的影响产生了吉伯斯现象。该现象引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。第28页/共68页第二十八页，共69页。也表示为：则：卷积过程如图8.2.2所示第29页/共68页第二十九页，共69页。

2、，一半重叠，1、，H（0）值可近似看作的全部积分面积图8.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响3、，最大旁瓣在外，卷积结果出现最大肩峰值4、卷积结果达到最负值，出现负的肩峰第30页/共68页第三十页，共69页。小结：加窗处理后对原理想低通Hd(ejω)的影响：(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度近似为4π/N

（WR(ω)主瓣宽度）

(2)通带内增加了波动，最大的峰值在处。阻带内产生了余振，最大的负峰在处。

以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后在频域的反映。称为吉伯斯现象。

.

第31页/共68页第三十一页，共69页。增加截取长度N，则矩形窗幅度谱：1、增加N，主瓣宽度变窄可得出：2、当x增大（N增大）时，主瓣幅度增大但同时旁瓣幅度也增加，保持主瓣和旁瓣幅度相对值不变总结：

N增大，的幅度波动并没有改善，如矩形窗时最大肩峰值比H（0）高8.95%，最大负峰比0值小8.95%

为了减小吉伯斯现象，可用一些旁瓣较小的窗口来代替矩形窗口第32页/共68页第三十二页，共69页。几种常用的窗函数

设h(n)=hd(n)w(n)w(n)表示窗函数。

1.矩形窗(RectangleWindow)

WR(n)=RN(n)

其频率响应为

其主瓣宽度为4π/N，

第一副瓣比主瓣低13dB第33页/共68页第三十三页，共69页。2.三角形窗(BartlettWindow)

其频率响应为

其主瓣宽度为8π/N，

第一副瓣比主瓣低26dB第34页/共68页第三十四页，共69页。3.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗

当N>>1时，N-1≈N，

其主瓣宽度为8π/N,能量更集中在主瓣中。如图8.2.3所示

第35页/共68页第三十五页，共69页。

图8.2.3汉宁窗的幅度特性

第36页/共68页第三十六页，共69页。第37页/共68页第三十七页，共69页。

4.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗

其频域函数WHm

(ejω)为

其幅度函数WHm(ω)为

当N>>1时，可近似表示为

这种改进的升余弦窗能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占99.96%第38页/共68页第三十八页，共69页。第39页/共68页第三十九页，共69页。

图7.2.4常用的窗函数

第40页/共68页第四十页，共69页。

表7.2.2六种窗函数的基本参数

第41页/共68页第四十一页，共69页。用窗函数法设计FIRDF的步骤：1、根据技术要求确定待求滤波器的单位脉冲响应如果复杂，可对从采样M个点，采样值为，则：根据频率采样定理：当M足够大时是的有效逼近第42页/共68页第四十二页，共69页。2、根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口宽度N，设要求的过渡带宽为，则3、计算滤波器的单位脉冲响应4、验证技术指标是否满足要求如矩形窗，A=4第43页/共68页第四十三页，共69页。

例：设计一个N=13的线性相位FIRDF，使其幅频特性接近理想低通滤波器，理想低通滤波器的截频fc=100Hz，取样频率fs=1000Hz

解：理想低通DF：第44页/共68页第四十四页，共69页。第45页/共68页第四十五页，共69页。第46页/共68页第四十六页，共69页。8.3用频率采样法设计FIR滤波器一、基本设计思想

设：所要设计的FIRDF的频率响应为，它是频域的周期函数，周期为，对它在间进行等间隔采样N点，得：对求IDFT，可得：n=0,1,2,…,N-1求其Z变换,得系统函数：第47页/共68页第四十七页，共69页。

同样，由频域内插公式利用这N个频域采样值Hd(k)也可求得FIR滤波器的系统函数H(z)

基本思想：使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。内插公式第48页/共68页第四十八页，共69页。二、线性相位约束条件

为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值要满足一定的约束条件。n=0,1,2,…,N-1已知：对其取共轭，得：第49页/共68页第四十九页，共69页。因为为实函数，则有可求得：将表示为：的取值应使具有线性相位可求得：式中：第50页/共68页第五十页，共69页。当满足上述条件时，具有线性相位注意：当N为偶数时，由于，故：所以，用频率采样法设计高通和带阻滤波器时，N不能取偶数。第51页/共68页第五十一页，共69页。三、逼近误差分析

由上述方法求得现分析与的逼近程度已知频域采样内插公式:式中,Φ(ω)是内插函数

由Φ(ω)的幅度谱可看出,在各频率采样点ω=2πk/N，k=0,1,2,…,N-1上,Φ(ω-2πk/N)=1第52页/共68页第五十二页，共69页。内插公式表明：在各采样点上，,逼近误差为零，频率响应严格地与理想频响的采样值Hd(k)相等；在采样点之间，频率响应由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性越平滑，则内插值越接近理想值，逼近误差越小，如图a所示；反之，如果采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值的误差就越大，因而在理想频率特性的不连续点附近，就会产生肩峰和起伏。使阻带衰减减小。如图b所示.N增大，则采样点变密，逼近误差减小。

第53页/共68页第五十三页，共69页。图a图b第54页/共68页第五十四页，共69页。改进措施:

在频率响应间断点附近区间内插入一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡，即人为地加一过渡带。如下图所示。这样就减小了频带边缘的突变，减小了通带和阻带的波动，因而增大了阻带最小衰减。第55页/共68页第五十五页，共69页。（a）一点过渡带;(b)二点过渡带;(c)三点过渡带第56页/共68页第五十六页，共69页。例:用频率采样法设计一个带通数字滤波器,其通带频率是500Hz~700Hz,采样频率为fs=3300Hz,使用阶次N=33解:对应的数字通带频率:第57页/共68页第五十七页，共69页。得:H(ejω)的幅频特性及衰减特性分别如图所示:显然其通带及阻带内都有较大的波纹.第58页/共68页第五十八页，共69页。增加两个过渡点,令的幅值为0.5,

重新求出H(ejω)的幅频特性及衰减特性如图中红线所示:显然,特性得到了较大的改善第59页/共68页第五十九页，共69页。8.4FIR滤波器和IIR滤波器的比较

从性能上说，IIR滤波器可以用较少的阶数获得很高的选择特性，这样一来，所用存储单元少，运算次数少，较为经济而且效率高。但是这个高效率的代价是以相位的非线性得来的。

FIR滤波器可以得到严格的线性相位。但是，如果需要获得一定的选择性，则阶数比较高,成本也高，信号延时较大。如果按相同的选择性和相同的相位线性要求的话，那么，IIR滤波器就必须加全通网络来进行相位校正，因此同样要大大增加滤波器的节数和复杂性。所以如果相位要求严格一点，那么采用FIR滤波器不仅在性能上而且在经济上都将优于IIR。第60页/共68页第六十页，共69页。从结构上看，IIR必须采用递归型结构，极点位置必须在单位圆内;否则,系统将不稳定。此外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的四舍五入处理，有时会引起微弱的寄生振荡。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小。此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，运算速度可以快得多。第61页/共68页第六十一页，共69页。

从设计来看，IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭函数的设计公式可供准确的计算。又有许多数据和表格可查，设计计算的工作量比较小，对计算工具的要求不高。FIR滤波器设计则一般没有封闭函数的设计公式。窗口法虽然仅仅对窗口函数可以给出计算公式，但计算通阻带衰减等仍无显式表达式。一般，FIR滤波器设计只有计算程序可循，因此对计算工具要求较高。第62页/共68页第六十二页，共69页。

此外，IIR滤波器主要是用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低、高、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活的多，尤其是频率采样设计法更容易适应各种幅度特性和相位特性的要求，可以设计出理想的正交变换、理想微分、线性调频等各种重要网络。