复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类

33教学内容知识模块1复数的概念.复数的概念：形如a+bi(a,beR)的数叫做复数，全体复数组成的集合叫做复数集，记作C.其中，i叫虚数单位，i2=-1..复数的分类：复数通常用字母z表示，及工=a+bi(a,beR)，其中a,b分别叫做复数的实部与虚部.'b=0实数复数z=a+bi(a,beR)<b中0虚数a=0,b中0纯虚数.复数相等：两个复数a+bi与c+di(a,b,c,deR)的实部与实部虚部与虚部分别相等，就说这两个复数相等.［a=ca+bi=c+dio《［b=d精典例题透析［例1］i为虚数单位，i607=.-i［巩固1］若x=sin150cos15°,则(-i)4x=.-i［巩固2］若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位)，B={1,-1}，则APlB=.{1,-1}［例2］方程x2-2x+5=0的复数根为.1土2i［巩固］若3-2i是实系数方程2x2+bx+c=0的根，则b+c=.14［例引若复数z=(m2-5m+6)+(m-3)i是实数，则实数m=.3［巩固］已知复数(m2-5m+6)+(m2一3m)i是纯虚数，则实数m=.2［例4］已知a,beR,i为虚数单位，若a—i=2+bi,则a+b=.1［巩固］z「(m2+m+1)+(m2+m-4)i，meR.Z2=3-2i.则m=1是Z广Z2的条件.(填充要,充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要)充分不必要知识模块2复数的四则运算法.加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.减法：(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i.乘法：(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i4.除法:a+bi(a+bi)(c—di)ac+bdbc—4.除法:==+1c+di(c+di)(c—di)c2+d2c2+d25.共轭复数：我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作Z，及Z=a—bi当复数Z=a+bi的虚部b=0时，z=Z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身.精典例题透析［例1］(6+2i)—(3i—1)=.7—i.1［巩固］若复数Z1=a+i，Z2=1-i,且Z1-Z2为纯虚数,则实数a的值为.

.1［例2］设复数z满足Tz=(3+2i)(1-i),则z=.1+5ia一“，a—2i［巩固1］复数i+2i是纯虚数，则实数a的值为——.4［巩固2］如果r=1+mi(meR)，那么m=.11—i［例3］已知z=-4+3i,则2—z=.6+3i［巩固1］已知复数z1=1+2i，z之二2-3i，则zJz2的共轭复数是.3+iTOC\o"1-5"\h\zm+ni.［巩固2］已知i是虚数单位，m，neR，且m+2i=2—ni，贝|.的共轭复数为.im—ni1—i1+i

+(1+1—i1+i

+(1+i)2(1—i)2［例4］计算：(1)(［例4］计算：i3解：⑴化葡可得上修・士—1—fIT(2)1—fIT(2)7+(1-02(1-0口士二-1.1-?1+f?一2i-21-2211+2i(3)3—4i［巩固］计算：(1)(3+2i)+(—2—i)—(1+i)；(2)i2013•(1+i)(2—i)；

(1)原苴二(3-2-1)+(2-1-1)1=0{4分)(.2)原式=14」人二(L+iJ(2-1)=1(l+i)(2-i)=(-l+i)(2-i}=-1+3i-(占分\⑴原二普「一冷知识模块3复数的模.复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.％轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数..复数的模：z=a+bi=a2+b2.z=a+bi,z=c+di,贝Uz-z=(a-c)2+(b-d)2212两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.精典例题透析102+i102［例1］已知复数z=1.，则z=1-1.-5［巩固1］复数z=1,(a<0),其中i为虚数单位，z=5,则a的值为..-568［巩固2］若z=2，求z+3-4i取最大值时的z=.5-51［例2］复数z=(1-i)a2-3a+2+i(aeR)(1)若z=z，求z；(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围.

解z=(1-i)a^-3a+2+i=a^-3a+2+(1-)i，(1)由下二日知，1一小二口，故EL=±1.当a=1时，z=0?当a二-1时，z=6.(2)由已知得，复数的实部和虚部皆大于口，叮？一3b一2>Q即《Jf?>0或单之1即41—1所以一1<3<1.［巩固］已知z为复数，工+2i为实数，且(1-2i)z为纯虚数，其中i为虚数单位.(1)求复数z；(2)若复数z满足w-z=1,求攻的最小值.解：(1)设工=a+bi(a，b^R)，期工+2i=a+<b+2)s因为工十21为实数，所以有b+2=Ci①…2分(l-2i)z(l-2i)(a-bbi)=a+2b+(b-2a)i，因为(l~2i)w为纯虚数，斫以a+2b二口，ti-2a小口，②…4分由①②解得a=4，匕=一2.…吕分故z=4-2i.…7分(2)因为工=4-21，赃=4+2i，…8分co=K+yi,(£，yER),因为|。一±|二1，即(k-4)(y-2)1'"10^VI㈤|二乒二万‘故|的|最小值即为原由到圆仃-4产十(片2)*二1上的点距离的最小值,因为原点到点西，2：的距焉为卜2-22=2后，又因为图的半程工=1，原点在图外，斫以IM的最小值即为2旧-「…区分.知识模块4经典题型若?若?为纯虚数，则复数zi的虚部为［例］(1)已知a£R,复数z1=2+ai,z2=1—2i,条件.(填充分不(2)若z1=(m2+m+1)+(m2+m—4)i(m£R),z2=3—2i,则“m=1”是“z1=z条件.(填充分不必要,必要不充分,充要或既不充分也不必要)答案(1)1(2)充分不必要条件解析(1)由由1=2+ai=(2+*1+2i)=2:2a+4+ai是纯虚数，得a=1,此时z1=i,其虚部为1.z21－2i555z2fm2+m+1=3,(2)由|解得m=—2或m=1,m2十m—4=—2,所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.［巩固］(1)设i是虚数单位.若复数a—3Wi(a£R)是纯虚数，则a的值为(2)已知i是虚数单位，a,b£R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的条件.(填充分不必要，

必要不充分，充要或既不充分也不必要)答案(1)3(2)既不充分也不必要条件解析(1)a—3—i=a—(3+i)=(a—3)—i,由a£R,且a-31—i为纯虚数知a=3.(2)当a=b=1时，(a+bi)2=(1+i)2=2i；当(当(a+bi)2=2i时，得,a2—b2=0,ab=1,解得a=解得a=b=1或a=b=—1,所以"a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.题型二：复数的运算［例］计算:⑴3［例］计算:⑴3(\i)2=

i—1/、1+i,2+

⑵(1-i)6+3-3i2i-答案(1)3—3i(2)-1+i解析3(1解析3(1+i)23X2i6i6i(i+1),⑴i-1=i-1=i-1=—2；=-3i(i+1)=3-3i.hq(1+i)2,(2+3i)(3+2i),6+2i+3i—(2)原式=［2)"(3)2+(2)2=i6+56=—1+i.［巩固］(1)已知复数z［巩固］(1)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z等于(2)复数(112：答案(1)3—4i(2)—1解析(1)方法一由(3+4i)z=25,252525(3—4i)==34i3+4i(3+4i)(3—4i)3方法二设z方法二设z=a+bi(a,b£R),则(3+4i)(a+bi)=25,即3a-4b+(4a+3b)i=25,所以「3a—4b=25,解得4a+3b=0,a=3,a=3,故z=3—4i.b=—4,(1+i、1+i2+2ii(2)(1—ij2=1+i2—2i=—i=L题型三：复数的几何意义［例］如图所示，平行四边形045。，顶点aA,C分别表示0,3+2i,—2+4i,试求:AO、BC所表示的复数;对角线CA所表示的复数;AO、BC所表示的复数;对角线CA所表示的复数;B点对应的复数.33解(1)AO=—OA,；.AO所表示的复数为一3一2i.•・,BC=AO,・,・BC所表示的复数为一3一2i.(2)(2A=O)A—(OC,・•・(2A所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)OB=OA+AB=OA+OC,•・OB所表示的复数为(3+2i)+(—2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i.［巩固］(1)在复平面内复数Z=i(1—2i)对应的点位于第象限.答案一解析：复数Z=i(1—2i)=2+i,・•复数Z的实部2>0,虚部1>0,•・复数Z在复平面内对应的点位于第一象限.(2)已知z是复数，z+2i、2—丁匀为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解设z=%+yi(x、y£R),/.z+2i=%+(y+2)i,由题意得y=—2.zx—2i1・•==5(x—2i)(2+i)2—i2—i5=5(2x+2)+5(x—4)i,由题意得x=4...z=4—2i.(z+ai)2=(12+4a—a2)+8(a—2)i,根据条件，可知12根据条件，可知12+4a—a2>08(a—2)>0,解得2<a<6,・•・实数a的取值范围是(2,6).夯实基础训练.若复数z=(x2—1)+(x—1)i为纯虚数，则实数x的值为.答案—1fx2—1=0,解析由复数z为纯虚数，得｛d解得x=-1,故选A.x—1W0,.在复平面内，向量AB对应的复数是2+i,向量CB对应的复数是一1—3i,则向量CA对应的复数是答案一3一4i解析因为CA=CB+BA=—1—3i+(—2—i)=—3—4i..若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数11.的点是点.1+i

答案解析由题图知复数z=3+i,3+i(3+i)(1—i)4—2i<•1+i_1+i-(1+i)(1—12答案解析由题图知复数z=3+i,3+i(3+i)(1—i)4—2i<•1+i_1+i-(1+i)(1—12z・•・表示复数示的点为H.(2013.山东)复数z=&一产(i为虚数单位)，则Izl等于答案5,一3—4i解析z=-i-=—4—3i,所以Izl=\：(—4)2+(—3)2=5.z是z的共轭复数，若z+z=2,(z—z)i=2(i为虚数单位)，则z等于答案1一i解析方法一设z=a+bi,a,b为实数，则z=a—bi.•z+z=2a=2,••a=1.又(z—z)i=2bi2=—2b=2,/.b=—1.故z=1—i....一一.一一^一一2方法二•(z—z)i=2,..z—z=:=—2i.又z+z=2,.(z—z)+(z+z)=—2i+2,.•.2z=—2i+2,...z=1—i.(2013•天津乃是虚数单位，复数(3+i)(1—2i)=答案5—5i解析(3+i)(1—2i)=3—5i—2i2=5—5i.-3+bi7.若-y—=a+历(a，b为实数i为虚数单位)，则a+b=答案3解析3+bi(3+bi)(1+i)1r=2[=宁+与i.3+b2=b，解得a=0,b=3.a+b=3..2答案m<3解析z=(3m—2)+(m—1)i,其对应点(3m—2则实数m的取值范围是则实数m的取值范围是m—1)在第三象限内,故3m—2<0且m—1<0,..m<3..已知复数z1满足(z1—2)(1+i)=1—i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2,且zrz2是实数，求z2.解(z1—2)(1+i)=1—i今z1=2—i.设z2=a+2i,a£R,则z1-z2=(2—i)(a+2i)=(2a+2)+(4—a)i.•「z「z2£R,・•・a=4.Az2=4+2i.3.210.复数z1=a^+(1。—a2)i,z2=1^a+(2a-5)i,右z1+z2是实数，求实数a的值.解z1+z2=a+?+(a2—10)i+1——a+(2a—5)i=(a+5+i——a)+[°2—10+a—5i=(a+5)；—1)+(a2+2a—15)i.•「z1+z2是实数，Aa2+2a—15=0,解得a=—5或a=3.又(a+5)(a—1)W0,AaW—5且aW1,故a=3.能力提升训练.已知集合M={1,m,3+(m