正余弦定理的应用举例

1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？复习巩固第1页/共30页第一页，共31页。2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？正弦定理：一边两角或两边与对角；余弦定理：两边与一角或三边.复习巩固第2页/共30页第二页，共31页。题型分类深度剖析题型一测量距离问题第3页/共30页第三页，共31页。创设情境第4页/共30页第四页，共31页。“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。第5页/共30页第五页，共31页。问题1.A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量这两点之间的距离。

测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝60o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m).分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.第6页/共30页第六页，共31页。解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离为75.1米。第7页/共30页第七页，共31页。例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。第8页/共30页第八页，共31页。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在∆ADC和∆

BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离第9页/共30页第九页，共31页。ABCD30°45°30°60°分析：在△ABD中求AB在△ABC中求AB练习第10页/共30页第十页，共31页。选定两个可到达点C、D；

→测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大小；→利用正弦定理求AC和BC；

→利用余弦定理求AB.测量两个不可到达点之间的距离方案：形成规律第11页/共30页第十一页，共31页。在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线,如例1中的AC，例2中的CD.基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高.形成结论第12页/共30页第十二页，共31页。解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解第13页/共30页第十三页，共31页。第14页/共30页第十四页，共31页。第15页/共30页第十五页，共31页。实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．题型二测量高度问题第16页/共30页第十六页，共31页。2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．第17页/共30页第十七页，共31页。例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。第18页/共30页第十八页，共31页。解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法第19页/共30页第十九页，共31页。例4、在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝75°，在塔底C处测得A处的俯角β＝45°。已知铁塔BC部分的高为30m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正弦定理，第20页/共30页第二十页，共31页。第21页/共30页第二十一页，共31页。例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角30°，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。第22页/共30页第二十二页，共31页。例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角30°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=30°,∠C=75°-30°=45°.根据正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan30°≈2041(m)答：山的高度约为2041米。第23页/共30页第二十三页，共31页。第24页/共30页第二十四页，共31页。第25页/共30页第二十五页，共31页。方程的思想第26页/共30页第二十六页，共31页。第27页/共30页第二十七页，共31页。返回第28页/共30页第二十八页，共31页。课外延伸:波利亚解题法乔治·波利亚(GeorgePolya,1887—1985)是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师．波利亚在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础．波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题表》。怎样解题表的主要内容是：第一步：你必须弄清问题。

1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2.画张图，将已知标上。3.引入适当的符号。4.把条件的各个部分分开。第二步：找出已知与未知的联系。

1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？3.回到定义去。4.你能否解决问题的一部分？5.你是否利用了所有的条件？第三步：写出你的想法。

1.勇敢地写出你的方法。2.你能否说出你所写的每一步的理由？第四步：回顾。

1.你能否一眼就看出结论？2.你能否用别的方法导出这个结论？3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？第29页/共30页第二十九页，共31页。谢谢您的观看！第30页/共30页第三十页，共31页。内容总结