正态分布上课

复习100个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535

产品尺寸（mm)频率组距第1页/共30页第一页，共31页。复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535

产品尺寸（mm)频率组距第2页/共30页第二页，共31页。复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品尺寸(mm)总体密度曲线第3页/共30页第三页，共31页。复习产品尺寸(mm)总体密度曲线第4页/共30页第四页，共31页。高尔顿板第5页/共30页第五页，共31页。11第6页/共30页第六页，共31页。总体密度曲线0YX第7页/共30页第七页，共31页。导入产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：1、正态曲线的定义：函数式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称f(x)的图象称为正态曲线第8页/共30页第八页，共31页。cdab平均数XY

若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:第9页/共30页第九页，共31页。2.正态分布的定义:如果对于任何实数a<b,随机变量X满足:

则称为X的正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（μ，σ2）.其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N（μ，σ2）第10页/共30页第十页，共31页。

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；

在测量中，测量结果；

在生物学中，同一群体的某一特征；……；

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；

总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。第11页/共30页第十一页，共31页。

m的意义产品尺寸(mm)x1x2总体平均数反映总体随机变量的平均水平x3x4平均数x=μ第12页/共30页第十二页，共31页。产品尺寸(mm)总体平均数反映总体随机变量的平均水平总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度平均数

s的意义第13页/共30页第十三页，共31页。正态总体的函数表示式当μ=0，σ=1时标准正态总体的函数表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线第14页/共30页第十四页，共31页。μ（－∞，μ]（μ，+∞）（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）的值域为

（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线正态总体的函数表示式

=μ第15页/共30页第十五页，共31页。例1、下列函数是正态密度函数的是（）

A.B.C.

D.B第16页/共30页第十六页，共31页。

例2、标准正态总体的函数为（1）证明f(x)是偶函数；（2）求f(x)的最大值；（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。第17页/共30页第十七页，共31页。3、正态曲线的性质012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2具有两头低、中间高、左右对称的基本特征第18页/共30页第十八页，共31页。012-1-2xy-3μ=-1σ=0.5012-1-2xy-33μ=0σ=1012-1-2xy-334μ=1σ=2（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.

3、正态曲线的性质（4）曲线与x轴之间的面积为1（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)第19页/共30页第十九页，共31页。方差相等、均数不等的正态分布图示312σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1若固定,随值的变化而沿x轴平移,故称为位置参数；第20页/共30页第二十页，共31页。均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5=1=2μ=0

若固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称为形状参数。第21页/共30页第二十一页，共31页。σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.（5）当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.

3、正态曲线的性质第22页/共30页第二十二页，共31页。例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。D第23页/共30页第二十三页，共31页。正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)＝S(-,-X)第24页/共30页第二十四页，共31页。正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)第25页/共30页第二十五页，共31页。4、特殊区间的概率:m-am+ax=μ若X~N,则对于任何实数a>0,概率

为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减少而变大。这说明越小,落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。特别地有第26页/共30页第二十六页，共31页。

我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。第27页/共30页第二十七页，共31页。例4、在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即~N(90,100).（1）试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（）(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]C第28页/共30页第二十八页，共31页。2、已知X~N(0,1)，则X在区间内取值的概率等于（）A.0.9544B.0.0456C.0.9772D.0.02283、设离散型随机变量X~N(0,1),则=

,=

.4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).D0.50.9544第29页/共30页第二十九页，共31页。感谢您的观看！第30页/共30页第三十页，共31页。内容总