连续函数空间上的线性变换

连续函数空间上的线性变换重庆XX大学金融数学08级2班XXX

指导老师X院长摘要：连续函数是数学分析研究的主要内容，初等函数都是连续函数，其他函数都可以由连续函数逼近。数学分析中研究的连续函数是单个单个的研究，团结就是力量，本文就想将连续函数组成一个团队，从整体上去研究连续函数，还可以研究函数的函数，即连续函数空间上的线性变换。通过研究连续函数空间上的线性泛函了解函数的函数的性质。通过研究连续函数空间上的积分、求导、乘法变换了解连续函数空间上的线性变换。最后研究了连续函数空间上的一些子空间，得出了一些性质。连续函数在生活中很常见，例如平常温度变化等等。本文所研究的函数都是实值的函数。最后本文通过研究连续函数空间上的线性变换可以用新的比数学分析和高等代数更高观点看问题一一运用泛函分析。关键字连续函数线性变换线性泛函实值AbstractContinuousfunctionisamathematicalanalysisofthemaincontentsofelementaryfunctionsarecontinuousfunctions,otherfunctionsarecontinuousfunctionapproximation.Continuousfunctionofresearchinthemathematicalanalysisisthestudyofasingleindividual,unityisstrength,thisarticlewantedtobeacontinuousfunctionasateam,upfromtheoverallcontinuousfunctioncanalsobeafunctionofthefunction,namely,thelineartransformationonthecontinuousfunctionspace.Understandthenatureofthefunctionalsbylinearfunctionalsonthestudyofcontinuousfunctionspace.Thecontinuousfunctionspaceintegralderivation,multiplicationtransformlineartransformationonthecontinuousfunctionspace.Thefinalstudyonthesubspaceofthecontinuousfunctionspace,obtainedsomeproperties.Continuousfunctioninlifeisverycommon,suchasnormaltemperature.Functionstudiedinthispaperarereal-valuedfunction.Finally,thecontinuousfunctionspace,lineartransformationscanbeusedthanthehigherpointofviewofmathematicalanalysisandhigheralgebra-theuseoffunctionalanalysis.keywordcontinuousfunctionrealvalueofthelineartransformationlinearfunctionals目录TOC\o"1-5"\h\z弓I言 3\o"CurrentDocument"第一章闭区间上的连续函数空间 31.1连续函数空间是一个线性空间 31.2连续函数空间是一个度量空间 51.3连续函数空间成为赋范空间 81.4连续函数空间中序列的收敛性 9\o"CurrentDocument"第二章连续函数空间上的线性泛函 102.1线性泛函 102.2计值线性泛函 112.3定积分成为有界的线性泛函 12\o"CurrentDocument"第三章连续函数空间上的线性变换 123.1一般的赋范空间上的线性变换 123.2连续函数空间上的积分 133.3连续函数空间上的导数 14\o"CurrentDocument"3.4连续函数空间上的乘法变换 14\o"CurrentDocument"第四章连续函数的一些子空间 154.1子空间定义 154.2多项式函数构成的子空间 154.3无限次可维函数全体 16致谢 16参考文献 17引言在从19世纪向20世纪转折的时期，分析数学中出现了抽象化的趋势，探求其中结论与方法的一般性和统一性是它的突出特点，泛函分析就是在这一进程中应运而生的。这一趋势的出现并不是偶然的，一方面它反映了数学中累积的素材已经足够丰富，而且不同学科(包括经典分析、变分学、积分方程等)的某些对象之间显示了思想上和方法上的相似之处，需要加以归纳、整理和总结。另一方面它反映了一种愿望：建立一套理论，能够对已有的或将要出现的同种类型的对象应用统一的方法去处理。现在我们将通过研究函数的函数即连续函数空间来对泛函分析有深层次了解。第一章闭区间上的连续函数空间连续函数空间是一个线性空间线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两元素a与B，在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称为a与B的和，记为y=a+B。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与V中任一元素a，在V中都有唯一的一个元素5与它们对应，称为k与a的数量乘积，记为5=ka。如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域P上的线性空间。加法满足下面四条规则：.以+0=0+以;.(以+0)+y=以+(0+y)；.在V中每一个元素0，对于V中任一元素a都有0+a=a(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；.对于V中每一个元素a，都有V种元素B，使得a+0=0(B称为a的负元素)数量乘法满足下面两条规则：1a=ak(la)=(kl)a数量乘法与加法满足下面两条规则：.(k+l)a=ka+la;.K(a+B)=ka+kB.在以上规则中，k,l等表示数域P中的任意数；a,B，Y等表示集合V中任意元素。例1元素数域数域P的mXn矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的数量乘法，构成数域P上的一个线性空间，用Pmxn表示。2.连续函数空间ca,b\={c(t)lx(t)1在a,b上连续}加法、乘法满足上面规则.G)y(t)eca,b]nax(t)+py(t)eC\a,b]是一个线性空间。是实数域人ca,b]是一个线性空间。是实数域人常值函数、初等函数都在ca,对中。ca,b］是一个无穷集合。线性相关，存在不全为零的常数a,b使得ax(t)+by(t)三0,te",b]定义1如果向量组气,％,...,a(s>2)中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组气,a2,...,a，称为线性相关的。定义1'向量组气,a产.,a?(s>1)称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k,k，…,k使1 2ska+ka+...+ka=011 22 ss线性无关定义2一向量组a1,a2,...,a，(s>1)不线性相关，即没有不全为零的数k,k，…，k使12ska+ka+...+ka=011 22 ss

就称为线性无关；或者说，一向量组气,a2，...,a称为线性无关，如果由ka+ka+...+ka=0

11 22 ss可以推出k=k=...=k=0o连续函数空间是一个度量空间1.度量空间定义若X是非空集合，d:XxX-R是满足下面条件的实值函数，对于任意x,ygX，有⑴非负性d(x,y)>0,d(x,y)=0当且仅当x=y；⑵对称性d(x,y)=d(y,x)；⑶三角不等式d(x,z)<d(x,y)+d(y,z).则称d为X上的度量，称(D，d)为度量空间或者距离空间。明显地，由⑶可知d(x,y)+d(y,x)>d(x,x)，故由⑵可知d(x,y)>0，因此d是一个非负函数。若X是一个度量空间，E是X一个非空子集，则(E,d)也是度量空间，则(E,d)为(X,d)的度量子空间。例1若R是实数集，定义d(x,y)=|x-y|，则容易看出(R,d)是度量空间例2对于任意一个非空集合X，只需定义d(x,y)」0，当=洲匕[1，当x丰y时.则(X,d)是一个度量空间，称d为X上的平凡度量或者离散度量.例3对于Rn，可以定义几种不同的度量，对于x=(x),y=(y.)，有d(d(x,y)=咒(x-yI1/2，，，l叫y“.=1lx.-y.l(x,y)=UI，lx.-y.l1=1d(x,y)=max*

容易验证Gn,d)Gn,《)和Gn,d2)都是度量空间，一般称・,d)为欧几里得空间。d(x，y)=*击i=1例4如果用s记所有实数列形成的集合，对于任意d(x，y)=*击i=1-y商+hT)-ii容易知道d满足度量定义中的⑴和⑵，由函数中[)=二在(0,+8)是单调增加的1+X可知，对于\a+b\<|a|+b，有^+b=叫+b <旦+lbl1+^+|b|1+a+b1+同+b1+a1+|b|TOC\o"1-5"\h\z令a=x-z,b=z-y，则可得到d(x,y)<d(x,z)+d(y,z)，所以(s,d)是一个度量ii ii空间。常见的实序列空间还有如下几个空间：例5l=L)lsup|X[<+3｝，对于任意的(x)(y)gl，定义8 i i ii3(+(-1))d(x,y)=sup|x(+(-1))但z=(i)al.定义d(x,y)=supIx.-y|例6c=t)定义d(x,y)=supIx.-y|0i5i 「i0即c0为所有收敛于0的数列所成的空间，如x=z=(+(-1)Ac0定义2设(X,d)是度量空间，｛x｝uX，若limd(x,x)=0，则称序列｛x｝n n53n0 n按度量d收敛于x，记为limx=x,或x—x(n—3)，此时称｛x｝为收敛点列，0 n0n0 nn—3称x0为｛x｝的极限.由数学分析可知，若数列x｝是收敛的，则其极限是唯一的.类似地，在度量空间也有下面的结论：定理1在度量空间(X,d)中，若*｝是收敛点列，则*｝的极限一定唯一证明用反证法.假设有x,yeX，使得limx=x,limx=y，但x丰y，则由n—3n—3n—3TOC\o"1-5"\h\zd(x,y)<d(x,x)+d(x,y)可知d(x,y)<0.又由于d(x,y)>0，因此d(x,y)=0，但n n这与假设x^y矛盾，所以由反证法可知上｝的极限唯一.另外，容易看出，在度量空间(X,d)中，若上｝是收敛点列，则*｝的任意子列也是收敛点列，并且极限是一样的。定理2若x—x,y—y，则d(x,y)—d(x,y)，即d(x,y)是x和y的二n0n0 nn 0 0元连续函数。由于d由于d(x,y)<d(x,x)+d(x,y)nn n0 0n<d(x,x)+d(x,y)+d(y,y)n0 00 0因此d(x,y)-d(x,y)<d(x,x)+d(ynn 0 0 n0 ,同样地，有，*)•d(x,y)-d(x,y)<d(x,x)+d(，*)•因而Id(x,y)-d(x,y)<d(x,x)+d(y,y)nn 0 0 n0 n0所以d(x,y)—d(x,y)连续函数空间成为度量空间1)d1(x,y)=max\x(t)-y(t),这个最大值一定可以取到，因为闭区间上的连a<t<b续函数能够取到最大值。C",b］是区间la,b］上定义的连续函数全体，对于x,yeCla,b】，规定d1(x,y)=max\x(t)—y(t)a<t<b则d1是ca,b］上的度量函数。实际上容易验证⑴d(x,y)>0.若d(x,y)=0，则x(t)=y(t)Vte侦b］故x=y⑵显然d(x,y)=d(y,x)⑶Vx,y,zeCla,b］=max|MzQa<t<b=max|MzQa<t<bmax认)一yQ+|y(t)-zQ}a<t<bmax\x(t)-y(t)+max|y(t)-z(t)a<t<b a<t<b=d(x,y)+d(y,z)2)d2(x,y)["(t)-y(t)PdtJP设Lpla，b1P>1)表示a,b］±p方可积的所有函数的全体，即LpLpa,b]=x(t)ljb|x(t^dta<+8.Vx(t)y(t)gLp，定义d2(x,y)=［“|x(t)-y(t)pdt)"50",b］是距离空间，常称为p方可积的空间。特别的，当p=2时，La,b］称为平方可积的空间。比较大小d(x,yd(x,y)<jbd(x,y>2V'Minkowski不等式w..Vi=1 J(k>1,a,b为实数或复数)ii1/p=d(x,y)b-a\p=cd(x,y)1/k<\/kkJ1/k(f /\ / \/k ，r / \/k ，t / \/k.Jb|fG)+g(x)kdxI<|Jb|f(x)kdxI+Jb|g(x)kdxVa J Va J Va J其中fG)g(¥堆",b］上可积分，k>1连续函数空间成为赋范空间定义设K是实数域R或复数域C，X是数域K上的线性空间，若||.||是X到日的映射，且满足下列条件：①|X||>0,且||x||=0当且仅当x=9；②||ax||=|a|x||,VxeX,aeK③||x+y||<||圳+|||y，对任意x,yeX.则称II』为X上的范数，而||圳称为x的范数，这时称（X,||.||）为赋范线性空间.明显地，若（X,||・||）为赋范线性空间，则对任意x,ygX，定义d。,y）=||x-y||时，（X,d）为度量空间，但对一般的度量空间（X,d），当X为线性空间时，若定义|X=d。,0），则x不一定就是X上的范数.例1设s实数列全体，则明显地，s为线性空间，对任意的x,ygs，定义iidi=1dG,y)=Ji=i札x-yiidi=1dQx,0)=* (""j)邛|dG,0),=1以+iw取x0=G,0,...,0),x取x0=G,0,...,0)1d(Xx,0)=—2i=—，

00 1+ 32lxId(x,0)=上xL=L，'0’ 0 224因此d（X0x0,0）o|X0|dI"，所以，d（x0,0）不是s上的范数.定理设X是线性空间，d是X上的度量，在X上规定|XII=d1,0），则X成为赋范线性空间的条件是对任意x,ygX；①d（x,y）=d（对任意x,ygX；②d(Xx,0)=|X|d(x,0)，对任意xgX和任意XgK.根据距离空间dG,0）可得:

①.||x||=max|xQa<t<b.X="b|x(t^"dt1P\aJ1.4连续函数空间中序列的收敛性1.距离空间中一般序列的收敛性定义。｛x｝uX,xeX,｛x收敛于xolimd(rx)=0n 0 n 0nsn,02.Ca,b］中序列按第一种距离的收敛性匕&)｝按第一种距离收敛于x(t)o(^())在a,b］上一致收敛于x(t)一致收敛：设函数列f｝与函数f定义在同一数集D上，若对任给正数6,n总存在某一正整数N，使得当n>N时，对一切xeD，都有lfn(x)-f(x)<6，则称函数列f｝在D上一致收敛于f，记作nf(x)nf(x)(n—^s),xeDn由定义看到，如果函数列f｝在。上一致收敛，那么对于所给的6，不管Dn是哪一点x，总存在公共的NG)(即N的选取仅与6有关，与x的取值无关)，只要n>N，都有Fn(x)-f(x)<8，由此看到函数列f｝在。上一致收敛，必在D上没一点都收敛。反之，在Dn上没一点都收敛的函数列f｝，在D上不一定一致收敛。nca,b］中按序列第二种距离的收敛性(点点收敛)七｝-x按第二种距离收敛o®(t)｝一致有界且几乎每个点te",b］都有limx(t)=x(t)nsn(点点收敛)x()｝如果按照第二种距离是一个柯西序列nlimx(t)=x(t)存在，但是x(t)不ns一定连续。第二章连续函数空间上的线性泛函2.1线性泛函定义设(X,||・||)为赋范线性空间，f为X到K的映射，K为复数集且对于任意x,ygX及以，PgK，有f(ax+Py)=af(x)+Pf(y)则称f为X的线性泛函.例在七上，若定义f(x)=x1，则f为七上的线性泛函.由于线性泛函具有可加性，因此，线性泛函的连续性比较容易刻画.定理设f是赋范线性空间«,||・||)上的线性泛函，且f在某一点x0gX上连续，则f在X上每一点都连续.证明对于任意xgX，若x—x，则由f在x0点的连续性，因此f(x-x+x)Tf(x)，所以f(x)Tf(x)，即f在x点连续.n这个定理说明，要验证线性泛函f的连续性，只需验证f在X上某一点的连续性即可.有界的线性泛函设f为赋范线性空间(X,||・||)上的线性泛函，则f是有界的当且仅当存在M>0，使If(x)l<MIIxII.证明若存在M>0，使得对任意xgX,|f(x)<M||x||，则对于X中的任意有界集F，有r>0,使得对任意xgF，有||x||<,，因此，|f(x)<M||x||<Mr对所有xgF成立，所以f(F)%K上的有界集，即f为有界线性泛函.反之，若f为有界线性泛函，则f把X的单位球面S(X)=41HI=1^映^K的有界集，因此存在M>0，使得对一切HI=1，有If(x)<M，第11页共17页故对任意xeX，有所以2.2计值线性泛函计值泛函：对teta,b］VxQeCta,b］让f(x(t))=x(t)验证f是ca,b］上的有界线性泛函：.f(ax(t))=ax(t)=af(x(t))0f(x(t)+y())=x(t)+y()=f(x)+f(y)3)|f3)|f(x)=|x()<max|x(t)<||x||.0a<t<b综上所述：f是Cla,b]上的有界线性泛函。|x(t)V||圳.例",b]=lo,2兀]t=0f(sint)=sin0=0；f(cost)=cos0=1；f(t2+1)=02+1=1；fCretanet)=arctane。=arctan1=—。42.3定积分成为有界的线性泛函VxeC\ab]，定义Tx=jbx(t)/ta由积分的线性知，T是C[a,b]到C[a,b]空间中的线性算子。若令f《)=jbx何)d (VxeC[a,b])a则是C[a,b]上的线性泛函。

a<maxa 'a a<t<b.TGx)=jb^x(a<maxa 'a a<t<baa.T(x+y)=\b\x(t)+y(y)dt=\bx^tM+\by(t)dt=Tx+Tya a a.TA=^bx(t)dt<\b\x(tg<max|x(t^bdt=(b-a)a所以T有界，故定积分是有界的线性泛函。第三章连续函数空间上的线性变换3.1一般的赋范空间上的线性变换定义定义设X，Y是线性空间，T：XTY是一映射.称T是线性算子(线性映射)，若Vx1,X2gX,a,PgQ，TGx+Px)=^Tx+PlX.当Y=O时，1)中的线性算子T称为X上的线性泛函.关于线性算子T：XTY，以下事实应该注意：1)T0=0.记NT)=匕gX:Tx=0}，容易验证N(T)是X的线性子空间，称N(T)是T的零空间.2)若VTx,Tx由Tx=Tx可推出x=X，则称T是一一的(单射).容易知道12 12 1 2T是一一的当且仅当N(T)={0}.若T是一一映射，则对于每个ygT(T),T-1y是X中唯一的元素.此时称映射T-i：R(T)TX(其中Tx=y时T-1y=X)是丁的逆映射.所以 映射又称为可逆的.记R(T)=T(X)，可以验证R(T)是丫的线性子空间，称R(T)是T的值空间.若R(T)=Y，称T是到上的(满射).既是满射又是单射的映射又称为双射.例1.设X=Qn,Y=①m.对于每个mxn阶矩阵A=(aj)，定义T:XTY,T(x，…,x)=(y，…,y)使得1n1mj=1,...,m,寸

y=乙aXj=1,...,m,i=1容易验证T时线性算子.若用矩阵表示，式即a11a11kym^这是在线性代数中研究的线性算子.lkym^这是在线性代数中研究的线性算子.lam1amn3.2连续函数空间上的积分设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到Y中的线性映射，则T是连续的充要条件是T是有界VxeC[ab]，定义Tx(t)=ilx(7认由积分的线性知，T是C[a,b]到C[a,b]空间中的线性算子。若令f(x)==jbx(T)dT (vxea,b』a则是C[a,b]上的线性泛函.验证Tx=jxG》t.当xQ连续，贝VRG^t也连续且可导，(jtx(T)iT)，=x(t)a a aT:C[a,b]rCf[a,b]不是满射.T是线性变换|T^||=maxa<t<b|T^||=maxa<t<b<maxaa<t<ba\x(s\ls<\bmax|x(s从<(b—a)|x||，T有界aaa<t<ba{x}uCla,b中，x—x.按|卜|收敛nTx—Tx3.3连续函数空间上的导数Tx(t)=x(t)=dxT的定义域不是全部C[a,b]dtCr[a,b]={x(t)e[a,b]Mxr(t)eC[a,bD当x(t)eC见,b]。Tx(t)也是线性变换，但不是有界的例x()=tneCf[a,b]=C血,1]||x(/)|<maxtn<1Tx=x=ntn—i|T^||=max|ntn—q=n0<t<1不存在常数C使得|四|<C||x||对任意常数C>0，都存在n>C.|可2>叫|3.4连续函数空间上乘法变换T：取定一个函数g(t)gC",b\.对Vx()gC",b〕，令Tx=g(tL()验证t是ca,b〕上的一个有界线性变换.||TX||=max|g(/认)<max|g(>max|x(t)a<t^b a<t<b=llg助XQ因为gG)是取定函数，所以||TX||<CXII，C=||g故t是ca,b〕上的一个有界线性变换第四章连续函数空间的一些子空间4.1子空间定义数域P上线性空间V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间(或简称子空间)，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间.即.若向量X,Y数域W，则X+Y也属于W；.任意k属于P，若X属于W，则kX属于W。子空间的两种运算TOC\o"1-5"\h\z如果V,V是线性空间V的子空间，那么它们的交VV也是V的子空间12 1 2如果V,V是线性空间V的子空间，那么它们的和V+V也是V的子空间12 12子空间的宜和定义：设V,V是线性空间V的子空间，如果和V+V中每个向量a的分解式12 1 2a=a+a，以GV,agV,1 2 112 2是唯一的，这个和就称为直和，记为V]㊉V2定理：和V+V2是直和的充分必要条件是等式a+a=0，a