由曲线求它的方程由方程研究曲线人教A选修

1．知识与技能了解解析几何主要讨论的两个基本问题．掌握求曲线方程的一般方法和步骤．能够利用曲线的方程研究曲线的性质．2．过程与方法求曲线方程时，要注意数形结合思想的运用；在化简过程中，应注意转化一定要等价．3．情感态度与价值观通过本节的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对立关系，感受坐标法的作用．第1页/共55页第一页，共56页。第2页/共55页第二页，共56页。重点：确定曲线的方程和借助方程研究性质．难点：寻求动点所满足的关系．第3页/共55页第三页，共56页。第4页/共55页第四页，共56页。1．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究曲线的性质．求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程，建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单．第5页/共55页第五页，共56页。根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式．仔细审题，分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等关系结合基本公式列出等式，并进行化简．第6页/共55页第六页，共56页。2．曲线的对称性．在曲线方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，它关于x轴的对称点P′(x，－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称．同理，如果以－x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称，如果同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称．第7页/共55页第七页，共56页。容易证明，如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性．例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称，事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，－y)必在曲线上，因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(－x，y)必在曲线上，因为P(x，y)，P2(－x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．第8页/共55页第八页，共56页。3．由方程研究曲线的性质与图象，主要从曲线的范围、对称性、截距几个方面可确定曲线的大致形状，画方程的曲线时，要保持方程变形的等价性．第9页/共55页第九页，共56页。第10页/共55页第十页，共56页。1．解析几何主要讨论下面的两个基本问题：(1)由曲线求它的方程；(2)利用方程研究曲线的性质．2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)设动点M的坐标为(x，y)；(3)把几何条件转化为坐标表示；(4)证明．第11页/共55页第十一页，共56页。3．利用方程研究曲线的性质：(1)曲线的组成；(2)曲线与坐标轴的交点；(3)曲线的对称性质；(4)曲线的变化情况；(5)画出方程的曲线．第12页/共55页第十二页，共56页。第13页/共55页第十三页，共56页。[例1]已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．[分析]

用直接法可求动点M的轨迹方程，并通过讨论λ的取值范围来确定轨迹方程表示的曲线．第14页/共55页第十四页，共56页。[解析]

如图所示，设MN切圆于N，于是动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，常数λ>0，∵圆的半径|ON|＝1，∴|MN|2＝|MO|2－|ON|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)则第15页/共55页第十五页，共56页。第16页/共55页第十六页，共56页。[说明]在求轨迹方程时，要注意：①全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论，发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合．②合理的进行数学语言间的转换，数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和示意图，将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式，将不便于进行数学处理的语言化为便于处理的数学语言．③注意挖掘问题中的隐含条件．④注意解题过程中的信息反馈，作出恰当的处理．第17页/共55页第十七页，共56页。[答案]

A第18页/共55页第十八页，共56页。第19页/共55页第十九页，共56页。[例2]在△ABC中，B(－1,0)，C(1,0)，若BC边上的高为2，求垂心H的轨迹方程．[分析]

由三角形垂心的定义得出：AC⊥BH，如图所示，则可由kAC·kBH＝－1，得到关于x，y的方程．第20页/共55页第二十页，共56页。第21页/共55页第二十一页，共56页。第22页/共55页第二十二页，共56页。[说明]直接法求轨迹方程是求轨迹方程的最常用方法，当题设条件中动点坐标x，y之间的等量关系容易找时，一般用此法．第23页/共55页第二十三页，共56页。已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．[分析]

因为曲线在x轴上方，所以曲线上点的纵坐标y>0，动点M(x，y)到定点A(0,2)的距离|MA|－y＝2，由此可求得曲线的方程．第24页/共55页第二十四页，共56页。第25页/共55页第二十五页，共56页。[例3]讨论方程x2y＋y－2x＝0的曲线的性质，并描绘其曲线．[分析]

将方程转化为函数，利用函数的性质作图．第26页/共55页第二十六页，共56页。第27页/共55页第二十七页，共56页。第28页/共55页第二十八页，共56页。(4)单调性：在x∈(－∞，－1]和x∈[1，＋∞)时，y递减，在x∈[－1,1]时，y递增．(5)作图：通过列表描点作出函数在x≥0时的图象，再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象，如图所示．第29页/共55页第二十九页，共56页。[说明]描点作图充分展示了曲线与方程的关系，当然描点法比较麻烦，这类问题往往应用化归的思想，将方程问题转化为函数问题，利用函数的性质迅速作图．第30页/共55页第三十页，共56页。第31页/共55页第三十一页，共56页。第32页/共55页第三十二页，共56页。第33页/共55页第三十三页，共56页。第34页/共55页第三十四页，共56页。[例4]

某市环保部门对城市里的一条污水河进行改造，即用隔离物将其封闭，隔离物横截面为对称的抛物线段(如图所示)，封闭处污水河宽AB为10米，隔离物最高点O到污水河面的距离为2米，当外围水域涨水时，污水河面随之升高．第35页/共55页第三十五页，共56页。第36页/共55页第三十六页，共56页。[分析]解答本题的关键是根据题意建立适当的坐标系，将实际问题转化为数学问题，求出曲线的方程．第37页/共55页第三十七页，共56页。第38页/共55页第三十八页，共56页。第39页/共55页第三十九页，共56页。[例5]过定点A(a，b)任作两条互相垂直的直线，分别交x，y轴于M、N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．第40页/共55页第四十页，共56页。[辨析]

求曲线的轨迹方程，关键之一就是建立与动点M(x，y)有关的关系——方程．因观察认识的角度不同，所得关系也不同，解题时可以多角度思考．本例可直接翻译题设条件，也可将条件变形转化为更直接、更简单的几何关系．这一点对许多轨迹问题的解决皆有启示作用．第41页/共55页第四十一页，共56页。第42页/共55页第四十二页，共56页。第43页/共55页第四十三页，共56页。第44页/共55页第四十四页，共56页。第45页/共55页第四十五页，共56页。一、选择题1．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为(

)A．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0B．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＋1＝0C．4x＋3y＋10＝0和4x＋3y＝0D．4x＋3y＋10＝0和4x＋3y＋1＝0[答案]

A[解析]

利用点到直线的距离公式易求．第46页/共55页第四十六页，共56页。2．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是(

)A．x2＋y2＝4(x≠±2)

B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)[答案]

A[解析]

由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.第47页/共55页第四十七页，共56页。3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是(

)A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0[答案]

C第48页/共55页第四十八页，共56页。第49页/共55页第四十九页，共56页。[答案]

x2＋(y－1)2＝1(y≠0)以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)[解析]

由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a，b共线，方向相反，l1与a垂直，l2与b平行，则l1与l2相互垂直，交点P的轨迹是以(0,1)为圆心，OA为直径的圆周除去原点O的部分．第50页/共55页第五十页，共56页。5．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是____________．[答案]

2x＋3y＋1＝0[解析]

P(2,3)在a1x＋b1y＋1＝0上，代入得2a1＋3b1＋1＝0，同理2a2＋3b2＋1＝0.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＋1＝0.第51页/共55页第五十一页，共56页。三、解答题6．求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y＝0的对称曲线的方程．第52页/共55页第五十二页，共56页。∴(x1－1)2＋(y1－1