2023届高考数学二轮复习试题专题07 求数列的通项公式 （解析版）

专题07求数列的通项公式一、一、核心先导二、考点再现二、考点再现【考点1】已知前你n项和，求通项公式的步骤(1)、当n＝1时，a1＝S1；(2)、当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．【考点2】已知数列的前几项，求通项公式如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节.分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.【考点3】已知数列的递推关系，求通项公式当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现eq\f(an,an－1)＝f(n)时，用累乘法求解．三、三、解法解密若数列满足，则数列都是公差为a的等差数列，若数列满足，则数列都是公比为b的等比数列.四、四、考点解密题型一:公式法例1、（2022·全国·武功县普集高级中学模拟预测（理））记为各项均为正数的等比数列的前n项和，，，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据题意求出数列的首项和公比，即可根据通项公式求得答案.【详解】由为各项均为正数的等比数列，且，,设数列公比为,可得，且，则，解得，故,故选：D.【变式训练1-1】、（2022·广西·模拟预测（理））在等比数列中，若，则___________.【答案】24【分析】根据的值，利用等比数列的性质计算求得，进而求得.【详解】设公比为，有，可得.故答案为：24例2、（2022·浙江台州·模拟预测）已知公差为2的等差数列中，，，成等比数列.(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意，用表示，求解即可；（2）结合等差、等比求和公式，分组求和即可.【详解】（1）因为，，成等比数列，所以，又因为等差数列的公差为2，所以，解得，所以；（2）由题意，由于，故为以为首项，公比为4的等比数列，所以.【变式训练2-1】、（2022·上海松江·二模）在等差数列中，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式；（2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出．【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由，得，解得，所以；（2）解：由（1）可知，则，所以．题型二:累加法与累乘法(一)、用累加法求数列的通项公式例3、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列满足，则其通项公式________．【答案】【解析】【分析】利用累加法即可求出数列的通项公式.【详解】因为，所以，所以，，，…，，把以上个式子相加，得，即，所以.故答案为：.【变式训练3-1】、在数列中,,,则该数列的通项公式=．【分析】题目已知条件是,且）形式,用叠加原理求解.【解析】因为,所以运用累加法即可得到：,所以,故应填．【点评】当,且）满足一定条件时,可用…来求通项,这种方法通常叫累加法.本题用到裂项相消求和,相消时应注意消去的项规律,及消去哪些项,保留哪些项,于是前项的和变成首尾若干少数项之和.还有不少同学会出现的错误,认为或是常数,实际上或是个变量,变化随之改变.【变式训练3-2】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式可得，进而可得，再利用累加法可求，即得；（2）由题可得，然后利用分组求和法即得.(1)设公差为d，由题设可得，解得，所以；当时，，∴，当时，（满足上述的），所以．(2)∵．当时，．当时，．综上所述：．(二)、用累乘法求数列的通项公式例4、（2022·安徽黄山·一模）已知数列满足，，则___________.【答案】【解析】【分析】利用累乘法可求得数列的通项公式，利用错位相减法可求得，即可求得所求代数式的值.【详解】因为数列满足，，则，所以，当时，，也满足，所以，对任意的，.令，则，可得，上述两个等式作差得，所以，，因此，.故答案为：.例5、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列中，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用累乘法求得.（2）由分离常数，结合函数的性质求得的取值范围.(1)依题意，故，从而，，故，，当时，上式也符合，所以.(2)由（1）知，，若对任意的，数列是单调递减数列，则对任意的恒成立，即，又，因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当或时，取得最小值6，即取得最大值，故实数的取值范围为.【变式训练5-1】、数列中，前项和为，(1)求数列的通项公式；学=科网(2)令，证明：.【解析】(1)，，两式相减得：，整理得：，（叠乘法）因为，所以，，…，，相乘得，且当=1、2时，满足此式，所以.(2)，因为，所以；.【变式训练5-2】、（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知数列中，，是数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式：(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用与关系可推导得到，利用累乘法即可求得；（2）由，结合可得，并由此得到；采用裂项相消法可整理得到，由可证得结论.（1）由得：且；当且时，，整理可得：，，则，，，，，各式相乘得：，又，.当时成立，故.（2）由得：，，，又，.

题型三:已知前n项和，求通项公式例6、（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）已知数列中，前n项的和为，且(1)求数列的通项公式；(2)如果恒成立，求最小值.【答案】(1)(2)3【分析】（1）由得，两式相减将转化为可得到数列是等比数列；（2）使用错位相减求和法求出，解不等式即可.【详解】（1）①，②，①-②得，即所以数列是以为公比的等比数列，又，即，所以（2），则所以，两式相减，得得所以，解不等式得【变式训练6-1】、（2022·四川资阳·一模（理））已知数列的前项和为，满足，且．(1)求的通项公式；(2)数列满足，求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可得数列等差数列，再通过条件可得首项，进而可得通项公式；（2）利用错位相减法可求和.【详解】（1）由得，当时，，故，则，即，是以为公比的等比数列，由得，即故（2）则时，，两式相减得，故，又，则，符合，则则题型四:构造法例7、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列满足，.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式及前项的和.【答案】(1)证明见解析；(2)，.【解析】【分析】（1）证明出，即可证得结论成立；（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.(1)证明：因为数列满足，，则，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，故数列为等比数列.(2)解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，因此，.【变式训练7-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列满足(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；（2）根据错位相减法求和即可.(1)解：数列满足，∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，，即；∴(2)解：，，，，五、五、分层训练A组基础巩固1．（2022·广西北海·一模（理））在等差数列中，，，则（

）A．19 B．18 C．17 D．20【答案】C【分析】利用已知条件列方程组求出，从而可求出.【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得，解得，所以，故选：C.2．（2022·全国·模拟预测（文））在数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.【详解】因为，则，当时，，显然满足上式，即有，所以．故选：A3．（2022·广西·模拟预测（文））在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设等比数列的公比为，则，根据题意可得出、的等量关系，即可求得数列的公比.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意可得，即，则，故.故选：B.4．（2010·山西临汾·模拟预测（文））已知等差数列的公差是，若，，成等比数列，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等比中项，结合等差数列通项公式列方程求解即可.【详解】解：因为等差数列的公差为2，且，，成等比数列，所以，即，解得，故选：A5．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，则（

）A．28 B．30 C．32 D．35【答案】D【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项的值,进而代入即可求解.【详解】设公差为且，由，得，故，故选：D6．（2022·广东·肇庆市外国语学校模拟预测）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．故选：D．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（文））设数列满足且，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D8．（2020·云南·昆明一中模拟预测（理））已知等比数列的前项和为，则实数的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】先求出，由解得即可；【详解】等比数列的前项和为，当时，可得，可得，当时，，则所以因为为等比数列，所以，即解得，经检验符合题意.故选：C．9．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））等差数列中，，，则（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据条件求出即可.【详解】因为，，所以可解得，所以，故选：C10．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知数列满足：①先单调递减后单调递增：②当时取得最小值．写出一个满足条件的数列的通项公式_________．【答案】【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设，则，，当，数列单调递减，当，数列单调递增，即，可得当时数列取得最小值，故答案为：11．（2022·河南开封·模拟预测（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．【答案】１或.【分析】分和两种情况讨论.【详解】解：当时，满足，，此时；当时，由，，可得：，解得，此时.综上所述：公比的值为：１或.

故答案为：１或.12．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知等差数列的公差，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和为．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件，得出关系式，即可解出；（2）根据等差数列的前n项和求出即可.【详解】（1）∵，，成等比数列，∴．又，∴，解得．∴．（2）∵，∴．13．（2022·河南·模拟预测（理））若数列满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）运用累加法即可求出的通项公式；（2）运用裂项相消法即可证明.【详解】（1）因为，，所以，故；（2）证明：当n＝1时，；当时，，则，故；综上，.

B组能力提升14．（2023·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列为等差数列，数列为等比数列且公比.数列和数列的前和分别为和，且满足，则等差数列的通项公式为_____________.【答案】【分析】分别令，得到，设的公差为，化简得到，解方程组可得答案.【详解】由已知得，令得，，根据等比数列求和公式，得到，故，设的公差为，则，化简得，故答案为：15．（2022·广西·模拟预测（文））已知等比数列满足，则___________.【答案】16【分析】根据等比数列下标差的性质求解即可.【详解】.故答案为：1616．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知数列为等比数列，，，则______.【答案】6【分析】设等比数列的首项为，公比为，由题意可得到，能求出和，即可求出答案【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，由题意可得即，易得，所以两式相除，解得，将代入可得，所以，故答案为：617．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列满足，，则其前项和为___________.【答案】【分析】利用分组求和法求得正确答案.【详解】，故答案为：18．（2022·安徽·全椒县第八中学模拟预测（理））雪花曲线是由瑞典人科赫（Koch）于1904年提出的一种分形曲线，其形态似雪花，故称雪花曲线，又称科赫雪花．雪花曲线是由等边三角形开始，把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边．接着对所得新图形的每条边继续上述过程，即在每条边三分后的中段，向外画新的“尖形”．不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线．下图分别是0、1、2、3级的雪花曲线，若第0级的等边三角形边长等于1，则第4级的雪花曲线周长等于______．【答案】【分析】根据题意，分析“雪花”图形的边数和边长的规律，由此可得周长之间的关系，根据等比数列的定义可知是公比为，首项的等比数列，，即可求出.【详解】解：根据题意，下一个图形的边长是上一个图形边长的，边长数是上一个图形的4倍，则周长之间的关系为，所以是公比为的等比数列，而首项，所以，当时，“雪花”状多边形的周长为.故答案为：.19．（2020·全国·模拟预测（文））记数列的前项和为，若，（为正整数），则数列的通项公式为________．【答案】【分析】当时，，所以两式相减得，所以化简有，又因为，可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，，所以当时，，当时，，所以两式相减得：，则，所以，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.所以当时，.所以数列的通项公式为：故答案为：.20．（2022·浙江宁波·一模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则__________．【答案】【分析】由累加法即可求得，再利用裂项相消法即可求解.【详解】由题可知：，即有，所以，当n=1成立所以，所以.故答案为：21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，数列满足，.(1)求数列、的通项公式.(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；（2）先利用（1）结果求出，再利用等差数列求和公式进行求和即可．【详解】（1）∵，∴，∴，当时，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；（2）由题意得，时，,当时，，∴.

C组真题实战练22．（2019·全国·高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．23．（2021·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.故选：A.24．（2012·全国·高考真题（理））已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为A． B． C． D．【答案】A【详解】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴⇒⇒an＝n.∴＝＝，S100＝＋＋…＋＝1－＝.25．（2014·全国·高考真题（理））等比数列中，，则数列的前8项和等于A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2…×a8）==4lg10=4．故选C．考点：等比数列的前n项和．26．（2014·天津·高考真题（文））设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）A．2 B．-2 C． D．【答案】D【分析】把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得．，【详解】因为成等比数列，所以，即故选D.【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．27．（2010·湖北·高考真题（文））已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．考点：等差数列与等比数列的性质．28．（2015·浙江·高考真题（理））已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则A． B．C． D．【答案】B【详解】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念29．（2019·全国·高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因，所以，即，所以．【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．30．（2019·全国·高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】100【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【详解】得【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．31．（2008·四川·高考真题（文））设数列中，，则通项___________．【答案】【详解】∵∴，，，，，，将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；32．（2014·广东·高考真题（文））等比数列的各项均为正数，且，则_____.【答案】.【详解】试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，，．考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．33．（2015·安徽·高考真题（理））已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.【答案】【详解】由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.34．（2014·江苏·高考真题）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是_______.【答案】4【详解】试题分析：设等比数列的公比为．∵，∴，化为，解得．∴．故答案为4．考点：等比数列的通项公式.35．（2015·全国·高考真题（理））为数列{}的前项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn（），∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．36．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.37．（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满