(江苏专版)2019版高考数学文一轮复习学案：第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ含答案

第二章函数的概念与基本初等函数I

突破点(一)函数的定义域

2.函数的有关概念

(D函数的定义域、值域：在函数y=f(x),xG/l中，x叫做自变量，x的取值范围4叫

做函数的定义域；与x的值相对应的V值叫做函数值，函数值的集合⑷叫做函数的

值域.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判

断两函数相等的依据.

常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y=/的定义域是{x\丘0}.

(5)y=a"(a>0且aWl),y=sinx,y—cosx的定义域均为R.

(6)尸log“x(a>0且aWl)的定义域为(0,+°°).

(7)y=tanx的定义域为xWA”+1~,AeZ

[例1](1)(2018•苏北四市联考)y=logz(4一■)的定义域是

(2)(2018•连云港检测)函数尸(sinx+tanx+^的定义域是一.

对于抽象函数定义域的求解

(1)若已知函数/1(X)的定义域为[a,b],则复合函数Ag(x))的定义域由不等式

aWg(x)Wb求出；

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在xC[a,6]上的值

域.

fX

[例2](1)若函数y=F(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=-「的定义域为

(2)(2018•苏州中学月考)函数/的定义域为则函数尸f(|x—1])的定

义域是.

[例3](2018•苏州模拟)若函数/Xx)=可04+期+1的定义域为一切实数,则实数0

的取值范围是.

练习：1.设函数」=14—f的定义域为4函数y=ln(l—x)的定义域为6,则1门6=

2.函数f(x)l°g1x-的定义域是.

3.函数f(x)=2-'3>0且aWl)的定义域为______.

a—1

fx~\~

4.若函数y=f［x)的定义域是［1,2018］，则函数g(x)=---「的定义域是.

5.［考点三］若函数F(x)=Na3+aZ?x+Z?的定义域为{x|1WXW2},则a+b的值为

突破点(二)函数的表示方法

1.函数的表示方法

函数的表示方法有三种，分别为列表法、解析法和图象法.同一个函数可以用不同的方

法表示.

［典例］(1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两

条直道平滑连结(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图

象的一部分，则该函数的解析式为.

(2)定义在R上的函数/'(x)满足f(x+l)=2F(x).若当

OWxWl时，f(x)=x(l-x),则当一IWxWO时，f(x)=.

(3)(2018•南通模拟)已知f(x)的定义域为{xlxWO},满足3f(x)+5《|='|+l,则函

数/,(x)的解析式为一...

练习二、1.已知函数f(x)的定义域为(0,+8),且f(x)=2/，)、〃一1，则f(x)=

2.(2018•南通中学月考)函数/Xx)满足2f(x)+f(2—x)=2x,贝Uf(x)=

3.(2018•如皋中学月考)己知Asinx+cosx)=cos2x——,则F(x)的解析式为

4.已知/'(x)是二次函数，且F(0)=0,f(x+l)=f(x)+x+l,求/'(x)的解析式.

突破点(三)分段函数

1.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的解析表达式，这样的

函数通常叫做分段函数.

2.分段函数的相关结论

(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.

l+log2—X,X<1,

［例1］⑴设函数/1(>)=»则/■(-2)+/1(侬2出=________.

2,x11f

(2)(2018•启东中学检测)设函数f(x)满足F(x+2)=2f(x)+x,且当0Wx<2时，F(x)

=［x］，5］表示不超过”的最大整数，则f(5.5)=____..

得,,x24,

(3)(2018•南通高三月考)已知函数Ax)=SW则f(l+log25)的

x+,%<4,

值为.

log2X,x>0,

［例2］(1)(2018•徐州模拟)已知函数f(x)=27若A4)=2f®,则实

x,后0,

数a的值为.

V1,xV1,

(2)设函数F(x)={1则使得f(x)<2成立的x的取值范围是.

,后1,

x,—0°,a,

(3)(2018•阜宁中学高三月考)设函数F(x)=L「,若*2)=4,则

a的取值范围为.

课后练习

［1—2\xWO,

L［考点一］已知函数f(x)=2则f(f(-l))=________.

［x,x>0,

…一.f\/3sin冗x,启0,1,

2.［考点一］已知f(力=〈则n鼻的值为________.

［fx-+1,x>0,W

［logsx,x>0,

3.［考点一］已知f(x)=、，>且f(0)=2,f(—1)=3,则f(f(-3))=

［a+b,xWO,

x+2ax,x22,

4.已知函数f(x)=1.,若AAl))>3a2,则a的取值范围是

2+1,x<2,

-log2—x,x<2,

5已知函数«)=2J,众2,若F(2—a)=1,则f\a)=.

~x+1,xWO,

6.已知f{x)=<使F(x)2—1成立的x的取值范围是

—x—2,x>0,

练习三、1.下列图象可以表示以材={xI0WxWl}为定义域，以4{y|OWj<l}为值域

的函数的序号是.

2.函数F(x)=［x+3+log2(6—x)的定义域是.

(x+320,

解析：要使函数有意义，应满足八

60,

解得一3Wx<6.即函数Ax)的定义域为［-3,6).

答案：［-3,6)

3.已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=x+2,则f(x)=.

解析：f(x)是一次函数，设/'(x)=4x+6,f(f(x))=x+2,可得4(4x+6)+6=x+2,

即A2x+kb-\-b=x+2,

所以尸=1,"6+6=2.解得4=1,6=1.即/'(x)=x+l.

答案：x+1

4.若函数f(x)=N2/+2ax—a—1的定义域为R,则a的取值范围为.

解析：因为函数/Xx)的定义域为R,所以2f+2ax—a—120对xGR恒成立，即2/十

2ax-a22°,f+2ax-a20恒成立，因此有4=(2aT+4aW0,解得一IWaWO.

答案：［-1,0］

\2>x-b,x<l,/

5.设函数f(x)=2,>1若4c=4'贝Ub=.

解析：/㈤=3义d一方=5一4若万一6<1,即b>~,则3X(g一以一6=万一46=4,解

7R351

得6=1，不符合题意，舍去；若$一即《；，则25—6=4,解得6节.

1

弟

答2-

［练常考题点一一检验高考能力］

一、填空题

i.函数三的定义域为

X-

10+9x一步20,

解析：要使函数人X)有意义，则x须满足,一1>0,即

、x-，

x+X—

«X>1,解得IVxWlO,且#2,所以函数Mx)的定义域为(1,2)U

.^2,

⑵10].

答案：(1,2)U(2,10]

-cosnx,x>0,

2.己知己切=

fx++1,xWO,

2n1

解析：+2=-cos-+2=5+2

o/

.故C)=3.

答案：3

3.已知函数F(x)=x|x|,若f(xo)=4,则施=.

解析：当x20时,F(x)=x,f(Ab)=4,

即露=4,解得xo=2.

当xVO时，f(x)=-x,F(xo)=4,即一/=4,无解.

所以Ao=2.

答案：2

4.(2018•盐城检测)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)

x<a,

为/V)=<(a,。为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装

第日件产品用时15分钟，那么a=_______,

解析：因为组装第a件产品用时15分钟,

所以f=15,①

所以必有4Va,且7^=5=30.②

联立①②解得c=60,5=16.

答案：1660

—2x+1x、］

5.(2018•南京模拟)设函数Ax)=i'则F(F(4))=________：

,log2—X,X<1,

若FQ)v—l,则a的取值范围为.

解析:f(4)=—2X42+1=—31,f(f(4))=f(—31)=log2(l+31)=5.当时，由

—2才+1V—1得才>1,解得a>l；当a<\时，由log2(l—a)<—1,得log2(l—a)Vlogz/，

—a〈g,.gvaVL即a的取值范围为(；，l)u(1,+~).

答案：5Q,lju(l,+°°)

6.已知具有性质：—的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数:

(x,0<%<1,

0,x=l,

@y=x--；®y=x+-；

1

—，x>L

x

其中满足“倒负”变换的函数是

解析：对于①，/U)=T/(+：—x=—/■(*),满足“倒负”变换；对于②，/(+

1

0<­<1,

x

:+U)不满足“倒负”变换；对于③，/(?=〈0,2

1

-X,一>1,

X

x>1,

X故/(T)=—f(x)，

满足“倒负”变换.综上可知，满足“倒负”变

0,x=l,

、一x,OVxVl,

换的函数是①③.

答案：①③

21+&xV1,

若F(l—a)=F(l+a),则a=

{—x—2a,在1,

解析：当a>0时，1—aVl,l+a>l,

3

由f(l—a)=F(l+a)得2—2a+a=—1—a—2a,解得a=-5,不合题意;

当aVO时、l+a<l,

由f(l—a)=F(1+a)得一1+a—2a=2+2a+a,

Q3

解得a=一z，所以a的值为一7

答案：一^

8.若函数F(x)=[♦+26*+3的定义域为[—1,3],则函数g(x)=ln(3+2dx—加)的

定义域为.

解析：因为函数f(x)的定义域为所以3丁+2"+3,0的解集为所

"VO,

—1+3=——,fa=—1,

以<a'解得所以g(x)=ln(3—2x—f).

16=1,

3

-1X3=-,

Ia

由3—2x—V>o得一3VxVl,叩函数g(x)=ln(3+2wx—求)的定义域为(一3,1).

答案：(-3,1)

9.(2018•连云港中学模拟)已知函数f(x)满足对任意的xGR都有g+l+g—*

+♦♦♦+6

2成立，则/

解析:

又用=01卜7Gl|=32=1,...知+/(|)+…+(3=2X3+1=7.

答案：7

"1,x>0,

10.定义函数F(x)=<0,x=0,则不等式(x+l"(x)>2的解集是

1,*<0,

解析：①当x>0时，f(x)=l,不等式的解集为｛x|x>l｝；②当x=0时，f(x)=0,不

等式无解：③当x<0时，/Xx)=—1,不等式的解集为｛x|x<—3｝.所以不等式(x+1)•f(x)

>2的解集为｛x|x<-3或x>l｝.

答案：｛x|x<-3或x>l｝

二、解答题

11.已知函数f(x)对任意实数x均有/■(x)=-2f(x+l),且/'(x)在区间[0,1]上有解析

式f(x)—X.

⑴求D-D,Al.5)；

(2)写出/"(x)在区间[-2,2]上的解析式.

解：(1)由题意知A-i)=-2A-i+D=-2A0)=0,

Al.5)—fd+O.5)——1/(o.5)=-Jx；=­J.

(2)当[0,1]时，Ax)=x；

当(1,2]时，le(0,1],f(x)

当xQ[—1,0)时，x+1£[0,1),f{x)=-2f(x+l)=-2(X+1)2；

当[—2,—1)时,x+l£[—1,0),f{x)=12F(x+l)=—2X[—2(x+l+l)1=4(x

+2)2.

yx+xR[-2,—,

~x+\xG1—1,,

所以Ax)=〈y,^e[0,1],

12r

-3x—，,2].

IN

12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段

距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽

2

车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：了=患

+/»x+〃E，〃是常数）.如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千

米/时）的关系图.

（1）求出y关于x的函数解析式；

（2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度.

C421必+

I200+40"=8.4

解:⑴由题意及函数图象，得

60：

.200+60〃/+〃=18.6

1xx

解得m=1〃=0,所以10八(入土。)•

JLUU乙UUJL\J\J

殳X

(2)令诉+诉W25.2,得一72WxW70.

•・・x20,・・・0Wx<70.

故行驶的最大速度是70千米/时.

本节主要包括2个知识点：

第二节函数的单调性与最值1.函数的单调性；

2.函数的最值.

突破点(一)函数的单调性

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间IQA,如果对于区间内任意

两个值小，&

定义当为〈上2时，都有/'(右)Vf(X2),那当MV矛2时，都有F(xi)>/、(a),

么就说y=f(x)在区间/上是单调那么就说y=F(x)在区间/上是

增函数单调减函数

/|严月⑸q

图象描述

-(n~~«2X

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

2.单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间/上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间

/上具有单调性，区间/叫做函数y=f(x)的单调区间.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

号点一判断函数的单调性

1.复合函数单调性的规则

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数：若两个简单函数的单调性

相反，则它们的复合函数为减函数.即“同增异减”.

2.函数单调性的性质

(1)若/Xx),g(x)均为区间4上的增(减)函数，则/Xx)+g(x)也是区间/上的增(减)函

数，更进一步，有增十增一增，增一减一增，减+减一减，减一增一减；

(2)若4>0,则Af(x)与/Xx)单调性相同，若衣<0,则在f(x)与f(x)单调性相反；

(3)在公共定义域内，函数y=f3＜久力W0)与y=—f(x),旷=——单调性相反；

(4)在公共定义域内，函数y=f(x)(/Xx)》。)与了=疗丁单调性相同；

(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单

调性相反.

［例1］(1)下列四个函数中，在(0,+8)上为增函数的序号是.

①/'(x)=3—x；②/'(x)=f—3x；

③F(x)=—^77；④f(x)=—|x|.

XI1

(2)已知函数f(x)=,_2L3,则该函数的单调递增区间为.

［解析］(1)当x＞0时，f(x)=3—x为减函数；

当xG(0,富时，/'(x)=/—3x为减函数，

当xG修+8)时,/V)=*—3x为增函数；

当xd(0,+8)时，/'(x)=一$■为增函数；

当Xd(0,+8)时，/1(X)=—|x|为减函数.

(2)设t=x-2x-3,由t20,

即/—2%—3^0,解得—1或x23.

所以函数的定义域为(一8,—1］U［3,+8).

因为函数£=/-2*—3的图象的对称轴为x=l,所以函数£在(-8,—1］上单调递减,

在［3,+8)上单调递增.

所以函数/Xx)的单调递增区间为［3,+8).

［答案］⑴③(2)［3,4-0°)

［易错提醒］

(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则.

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写,

不能用并集符号“U”连结，也不能用“或”连结.

(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的

两个特殊变量%,及对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变

量是区间内的任意两个自变量.

一~~函数单调性的应用-一

应用(一)比较函数值或自变量的大小

［例2］(1)已知函数/U)的图象关于直线x=l对称，当必＞汨＞1时，"(⑷一〃为)］(也

—Xi)<0恒成立，设a=(一1j,b=f⑦,c=f(e),则a,b,c的大小关系为.

(2)(2017•天津高考改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(一

log25.1),/>=g(2"‘)，c=g(3),则a,b,c的大小关系为.

［解析］(1)由f(x)的图象关于直线x=l对称，可得9=d|).由兹>为>1时，［/UJ

-F(X1)］(在一汨)V0恒成立，知F(x)在(1,+8)上单调递减.

5

Vl<2<-<e,

；"(2)>用>He)，b>a>c.

(2)由f(x)为奇函数，知g(x)=xf(x)为偶函数.

因为/Xx)在R上单调递增，『(0)=0,

所以当x>0时，/(%)>0,

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，且g(x)>0.

又a=g(—logz5.1)=g(logz5.1),6=g(2巧,c=g⑶,

3=log28>log25.I>log24=2>2"",

所以c>a>b.

［答案］⑴6>a>c⑵c>a>6

应用(二)解函数不等式

［例3］f(x)是定义在(0,+8)上的单调增函数，满足/'(灯)=f(x)+f(y),f(3)=l,

当/'(*)+f(x-8)W2时，x的取值范围是.

［解析］2=l+l=f(3)+f(3)=f(9),由F(x)+f(x-8)W2,可得扛x(x—8)］Wf(9),

(x>0,

因为/Xx)是定义在(0,+8)上的增函数，所以有(x-8>0,解得8<xW9.

［xX-，

［答案］(8,9］

［方法技巧］

含“f”号不等式的解法

府才维-讨函数的性质［7-----------------------1函数的单调性土“”口转口小

原小等式|-----|fgx>fhx----.去f与，转化为

“g(x)>方(x)”型具体的不等式解耳式固丽不等式的解集

［提醒］上述g(x)与方(x)的值域应在外层函数f(x)的定义域内.

应用(三)求参数的取值范围

［例4］(1)如果函数f(x)=axZ+2x-3在区间(-8,4)上是单调递增的，则实数a的

取值范围是.

—x+4x,

(2)设函数/Xx)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增，

logiX,*>4.

则实数a的取值范围是.

［解析］(1)当a=0时，f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的，故在(一8,4)上

单调递增；

当aWO时，二次函数f(x)的对称轴为x=-L

a

因为F(x)在(-8,4)上单调递增，

所以aVO,且一,24,解得一：WaV0.

34

综上所述得一［waWO.

⑵

作出函数/Xx)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增，需满足a24

或a+lW2,BPaWl或d24.

[答案](1)-；，o(2)(—8,1]U[4,+8)

［易错提醒］

(1)若函数在区间［a,句上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.

(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.［考点一］(2018•宜春模拟)函数f(x)=log3(3—4x+f)的单调递减区间为.

解析：由3—4x+/>0得矛<1或M>3.易知函数y=3—4x+*的单调递减区间为(-8,

2),函数y=log3>在其定义域上单调递增，由复合函数的单调性知，函数F(x)的单调递减

区间为(-8,1).

答案：(一8,1)

2.［考点二•应用一已知函数y=f(x)是R上的偶函数，当Xi,生£(0,+°°),乂/生

时，都有(为一就•"(汨)一£(加］V0.设a=ln"b=(Inn)2,c=ln^/-n,则F(a),f(6),

Ac)的大小关系为.

解析:由题意可知/'(x)在(0,+8)上是减函数，且F(a)=F(|a|),F(b)=F(|b|),f(c)

=f(\c|),又|a|=lnn>1,|b\=(Inn)2>\a\,|c|=jn五，且0V；lnn<\a\,故

I6|>I^|>|c|>0,/.AIc|)>/(|)>AI)»即F(c)>fS)>f(物.

答案：f(c)>f(a)>f(b)

3」考点二•应用二已知函数/'(x)为R上的减函数，则满足(千)<F(1)的实数x

的取值范围是

▼⑴，得『卜

解析：由f（x）为R上的减函数且《1|x|<1,

即

〔xWO,xWO.

l<x<0或0<x<l.

答案：（-1,0）U（0,1）

勺TT-1

4.［考点二•应用三设函数在区间（-2,+8）上是增函数，那么。的

x-r2,a

取值范围是

oy-LO-o2——??Oo2—1

解析：f（G=<-_七广，因为函数Ax）在区间（一2,+8）上是增函

x+2ax+2a

2a2—1>0,2a—1>0,

数.所以=a2L

—2W—2心1

答案：[1,+°°)

5.［考点一］用定义法讨论函数/■（x）=x+?a>0）的单调性.

解：函数的定义域为{x|xW0}•任取击，及£{x|x70},且汨〈如则，（小）一/'（矛2）=用

.aa用一照X[X2-a

H------X2--------=----------------------------------------

X\X2X\•X2

令Xi=M=Xo.l-予=0可得到Xo=±A/Z,这样就把/Xx）的定义域分为（-8,,

［一正，0）,（0,小］,15,+8）四个区间，下面讨论它的单调性.

若0Vxi<xWy［^,则汨一生<0,OVxix2Va,

所以xix2—a<0.所以f（xi）—F（X2）=X\+—-X2—^-

X\X2

XiX2-a

X1~X2>0,

X\•X2

即F（小）>F（X2）,所以/'（x）在（0,F］上单调递减.

同理可得，f(x)在［、「，+8)上单调递增，在(一8,一正］上单调递增，在［―0,

0)上单调递减.

故函数f(x)在(-8,一爪］和［F，+8)上单调递增，在［一正，0)和(0,小］上单

调递减.

突破点(二)函数的最值

基础联通抓主干知识的“源”与“流”

1.函数的最值

(1)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在刘64使得对于任意x^A,都有岂些岂应，

那么称/"(xo)为y—f(x)的最大值，记为以、=F(xo).

(2)设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在刘W4使得对于任意x&A,都有f(x)2f(刘),

那么称f(xo)为y=f(x)的最小值，记为刖“=f(xo).

2.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在

端点处取到.

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

g点求函数的最值(值域)

1.利用函数的单调性求解函数最值的步骤

(1)判断或证明函数的单调性；

(2)计算端点处的函数值；

(3)确定最大值和最小值.

2,分段函数的最值

由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是

先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数

的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.

［典例］(1)函数y=x+/x—1的最小值为

(2)函数y=至一詈的值域为________.

X—X十1

—3JV,a,

-2x,x>a.

①若a=0,则/'(x)的最大值为；

②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是.

［解析］⑴法一：令x-1,且t20,则x=d+i,

.♦.原函数变为y=d+l+3t^O.

（1\313

配方得尸（叶5）+不又,.Y20,"力+j=l.

故函数尸x+dx-1的最小值为1.

法二：因为函数？=x和尸在定义域内均为增函数，故函数y=x+dx-1在其定

义域［1,+8)内为增函数，所以当x=l时y取最小值，即％in=l.

小2f—2x+3x-x++1,1,1

(2)y—2I,­=2I=2+~।i=2+77T

x—x+1x—x+1Tx—%+l(1\3

(1Y,3^33-

^~2)+4

故函数的值域为(2,y.

⑶当■寸，由/(x)=3f—3=0,得入=±1.

如图是函数尸系一3x与尸一2x在没有限制条件时的图象.

①若己=0,则/'(X)max=f(—1)=2.

②当—I时，有最大值；

当aV—1时，p=-2x在x>a时无最大值，且一2a>(父一3才)山,

所以a<-l.

［答案］(1)1(2)(2,y⑶①2②(-8,-1)

［方法技巧］求函数最值的五种常用方法

方法步骤

单调性法先确定函数的单调性，再由单调性求最值

图象法先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值

先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求

基本不等式法

出最值

导数法先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值

换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

oniQx+1-4-9

1.已知a>0,设函数/■(>=ni,i(xG[—a,a])的最大值为M最小值为M

ZUioi1

那么M+N—.

,、2018f+20162一*r

解析：由题意得f(x)=­2()18,+1—=2018~2018,+1-；了=2018+1在［-a，

2

a］上是单调递增的，.."(x)=2018—,,，-在［-a,a］上是单调递增的，...JU/Xa),N

ZU1U十1

22

—a),.•.J/+A-f(a)+f(-a)=4036Q.i।,°niafi=4034.

ZUniio+1ZUlo十1

答案：4034

2.(2018•宜兴月考)定义新运算金：当a26时，a®b=a；当a<6时，a&b=!j,则

函数/'(X)=(1㊉x)*—2㊉x,xG［—2,2］的最大值等于.

解析：由已知得当一2Wx<l时，f(x)=x—2,当1<后2时，/(*)=£—2,,.•/'(*)=

x—2,〃/)=父一2在定义域内都为增函数，且1—2=1'—2=-1.的最大值为f(2)

=2=2=6.

答案：6

3.函数f(x)=(；)-log2(x+2)在区间［-1,1］上的最大值为.

解析：,和_K=—log2(x+2)都是［-1,1］上的减函数，，f(x)=G)-log2(x+

2)在区间［-1,1］上是减函数，.•.函数F(x)在区间［-1,1］上的最大值为A-D=3.

答案：3

_341.__________

4.(2018•常州模拟)已知函数f{x}的值域为g，g,则函数g(x)=f{x)+、l—2fx

的值域为.

解析：；.*［1-2fxW］.令t=［l—2fx,贝！|f(x)=J(l—

O«7O乙乙

钓(上长习,令y=g(x)，则了=上(1—「)+如即y=—异一1尸+1(卜々切.,.当寸，

717「77一

y有最小值4；当胃5时，y有最大值看...g(x)的值域为5，«•

9/o|_yo_

［17~|

答案：£，o

5.(2017•浙江高考改编)若函数f(x)=/+ax+6在区间［0,1］上的最大值是M,最小

值是期则关于0的结果中，叙述正确的序号是.

①与a有关，且与6有关；②与a有关，但与8无关；

③与a无关，且与6无关；④与a无关，但与6有关.

解析：F(x)=(丫+胃2一：+心

当0W一时，/'(x)min=z»=/bW=—，+6,/,(^)max=^max{f(o),Al)}=max{/>,1

+a+6},

,a\

{?l+a+?与a有关，与b无关；

当一畀。时，f(x)在［0,1］上单调递增，

w一%=F(1)—f(0)=l+a与a有关，与6无关；

当一畀1时，f(x)在［0,1］上单调递减，

:.M一m=f(0)—/(1)——1—a与a有关，与b无关.

综上所述，，a卬与a有关，但与6无关.

答案：②

［课时达标检测］重点保分课时-----练小题夯双基，二练题点过高考

［练基础小题一一强化运算能力］

1.下列函数中，在区间(0,+8)上为增函数的序号是

①y=ln(x+2)；②尸一5+1；

®y=x-\--.

x

解析：函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+8),所以在(0,+8)上一定是增函数；y

=—〃+1与y=@)在(0,+8)上是减函数；在(0,1)上为减函数，在(1,+8)

上为增函数.

答案：①

4

2.(2017•浙江高考)已知a£R,函数F(x)=+&在区间［1,4］上的最大值是

5,则a的取值范围是________.

4

解析：・・.x+;£［4,5］,

①当时，/(x)«x=|5-a|+a=5—a+a