柱、锥、台的体积-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.6简单几何体的再认识第2课时导入新课问题1

前面我们学习了柱、锥、台的展开与面积计算，把简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？表面积变大了，体积不变．新知探究问题2

长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式．V长方体＝abc，V正方体＝a3，V圆柱＝πr2h，根据这些体积公式可知：设柱体的底面面积为S，高为h，则柱体的体积公式为V柱体＝Sh．问题3

圆锥的体积公式如何表示？根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式．V圆锥＝πr2h，V锥体＝

Sh（S为底面面积，h为高）．

新知探究问题4

柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系吗？其中S上、S下分别为台体的上、下底面面积，h为高，S为柱或锥体底面面积．S上＝S下S上＝0V柱体＝ShV锥体＝

初步应用例1

埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．塔高约146.6m，底面边长约230.4m．求这座金字塔的侧面积和体积．（精确到0.1）解析：如图，高AC的长为146.6m，底面的边长为230.4m，BC的长为115.2m．答：金字塔的侧面积约为85914.9m2，体积约为2594046.0m3．例2

已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm．求其体积．初步应用答：正四棱台的体积为112cm3．解析：初步应用

解析：设底面菱形的对角线AC，BD的长分别为xcm，ycm．由于该棱柱是直棱柱，所以两个对角面AC1，BD1为矩形，

所以底面菱形的面积：S＝

（cm2），

所以棱柱的体积：V＝Sh＝

（cm3）．

BB1CC1ADA1D1练习1

某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半径分别为1m和2m，高为1m，问：需要多少立方米土才能把花台填满？(结果用π表示)．课堂练习解析：答：需要土才能把花台填满．课堂练习练习2

一块正方形薄铁片的边长是a，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积．解析：扇形的弧长：圆锥筒的底面周长：解得圆锥筒的底面半径：所以圆锥筒的高：圆锥筒的体积：归纳小结（1）求台体体积的关键是什么？（2）求锥体体积常用的方法有哪些？问题3

本节课我们学习了简单几何体柱、锥、台的体积计算，请你通过下列问题，归纳所学知识．（1）求台体的体积，其关键在于求高；一般地，把高放在直角梯形中求解．常用方法为割补法和等积变换法．①割补法：求一个组合体的体积可以将这个组合体分割成几个柱体、锥体（或补成一个（2）方法有：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝

Sh进行计算；

柱体或锥体），求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．②等积变换法：三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．求体积时，可选择容易计算的方法来计算．作业布置作业：教科书第244页，A组第3题，第5题，第8题；B组第1题，第3题．1目标检测D正四棱柱的底面积为P，过相对侧棱截面的面积为Q，则它的体积是（）

B．

D．

故选：D．故V＝a2h＝a·ah＝

2目标检测C已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是（）

解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，

∴r＝3．∴V圆锥＝

．

故选：C．3目标检测

解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，

三式相乘可知(abc)2＝6，

4目标检测如图，所示的是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水面下放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？（π≈3.14）解析：因为玻璃杯是圆柱形的，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面相同，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．所以铅锤取出后，水面下降部分实际上是一个小圆柱，圆锥形铅锤的体积为

＝60π（cm3）．

4目标检测如图，所示的是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水面下放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？（π≈3.14）解析：设