2018版高中数学小问题集中营专题2.2数与式大小的比较

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精专题二数与式大小的比较一、问题的提出【2016高考新课标1文数】若，，则（A)logac〈logbc（B)logca〈logcb（C）ac<bc（D)ca>cb利用指数函数、对数函数、及幂函数的性质比较数与式的大小是高考中的热点,本题对此问题作深入探讨，帮助同学们掌握数与式大小的基本方法.二、问题的探源本题解法：由可知是减函数,又,所以．故选B。本题也可以用特殊值代入验证.【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较。一、思路点拨1.比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：(1）若能化为同指数,则用幂函数的单调性;（2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性;（3）若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．2.若题中所给的对数式的底数相同时，可以考虑利用对数函数的单调性来比较大小,在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响,即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数,当对数底数为变量时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。3。若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较,另外若题中既有对数式又有指数式,也常用中间量比较大小.4。比较复杂的数与式大小的比较有时可通过作差或作上比较大小二、技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来：判断对数的符号,关键看底数和真数,区间分为和（1）如果底数和真数均在中,或者均在中,那么对数的值为正数（2)如果底数和真数一个在中，一个在中,那么对数的值为负数例如：等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1)的大小关系,一作图,自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数（或对数）的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如:,比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同，从而只需比较底数的大小即可(2）利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围,各个击破”,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如，可知,进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式:(1）（2)（3)（4）换底公式：进而有两个推论：（令)三、问题的佐证【例1】已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2))）eq\s\up6(\f（2，3）），b＝2－eq\f（4,3）,c＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）)）eq\s\up6(\f(1，3)）,则下列关系式中正确的是（)A．c<a〈b B．b〈a〈cC．a〈c<b D．a<b〈c【解析】把b化简为b＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））eq\s\up6（\f（4,3）)，而函数y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)eq\s\up12（x）在R上为减函数，eq\f(4，3）〉eq\f（2,3）>eq\f（1，3）,所以eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))eq\s\up6(\f(4,3）)<eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）)）eq\s\up6(\f（2,3)）<eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)））eq\s\up6(\f（1，3）)，即b<a<c。【例2】已知a＝5logeq\s\do4(2)3.4,b＝5logeq\s\do4(4）3。6，c＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，5))）eq\s\up12(logeq\s\do4（3）0.3），则()A．a〉b>c B．b>a>cC．a〉c>b D．c>a〉b【解析】选C。c＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,5））)eq\s\up12(log30.3)＝5－logeq\s\do4（3）0.3＝5logeq\s\do4（3）eq\f（10，3).法一:在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x,y＝log3x，y＝log4x的图象，如图所示．由图象知：log23。4>log3eq\f（10，3)〉log43.6。由于y＝5x为增函数,∴5log23.4>5log3eq\f（10,3)>5log43。6，∴a〉c〉b。【例3】【2017天津高考】已知奇函数在上是增函数。若，则的大小关系为(A）（B）（C）(D）【答案】【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即，本题选择C选项。【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，,再比较比较大小。【例4】【2016高考浙江】已知a，b>0,且a≠1，b≠1，若，则（)A。 B。C. D。【易错点睛】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．四、问题的解决1。【2016高考新课标Ⅲ文数】已知,则（）(A） （B) (C) （D）【答案】A【解析】因为,,又函数在上是增函数，所以，即，故选A．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同,则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．2．已知,则的大小关系是(）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C．3.【2014辽宁文3】已知，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,，，故。【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质,比较函数值大小问题，往往结合函数的单调性，通过引入“—1，0，1"等作为“媒介”.本题属于基础题，注意牢记常见初等函数的性质并灵活运用。4.【2015高考山东】设则的大小关系是()(A)（B）（C)（D)【答案】【解析】由在区间是单调减函数可知,,又,故选.5.【2014安徽文5】设则（）A．B．C．D．【答案】B．【点睛】指对数比较大小也是高考中常见的考题，常见的方法有：①比较同底数对数的大小利用函数单调性；②底数不同的对数比较，利用函数图像及相互位置关系比较大小；③既有指数又有对数,或对数底数与真数都不同时，常采用放缩法或找中间值法，多选0和1等.6。【2014天津高考】设则（）A。B。C。D.【答案】C. 【解析】因为所以，选C.7.已知，，,,则（）A． B． C． D．【解析】由知为减函数，,选C。8。【2014辽宁高考】已知,，则（)A．B．C．D．【答案】C【解析】所以，故选C。9。【2014山东高考】已知实数满足，则下列关系式恒成立的是()A.B。C.D.【答案】10.【2015高考陕西】设，若,，，则下列关系式中正确的是(）A．B．C．D．【答案】【解析】；；因为，由是个递增函数,所以，故答案选【点睛】1.本题考查函数单调性，因为函数是个递增函数,所以只需判断和的大小关系即可；2。本题属于中档题，注意运算的准确性.11．已知的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记,则()A。B.C。D.【答案】．C【解析】因为函数的定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有,所以函数是上的减函数。又因为,,所以，，故选C.12.【2017天津高考理】已知奇函数在R上是增函数,。若，，，则a，b，c的大小关系为（A） （B） （C） （D）【答案】【点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小,特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小,还可以解不等式.13.【2015高考北京，文10】，，三个数中最大数的是．【答案】【解析】，,，所以最大.14.【2014上海,理9】若，则满足的取值范围是.【答案】【点睛】1．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查：（1）α的正负：α>0时，图像过原点和（1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点,在第一象限的图像下降．（2）曲线在第一象限的凹凸性：α>1