2018年数学二轮复习规范答题示例4三角函数的图象与性质理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE3学必求其心得，业必贵于专精规范答题示例4三角函数的图象与性质典例4(12分）已知m＝（cosωx，eq\r(3）cos（ωx＋π))，n＝(sinωx，cosωx）,其中ω>0，f（x)＝m·n，且f(x)相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π，2).(1）若feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(α，2)））＝－eq\f(\r（3)，4)，α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）)),求cosα的值；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移eq\f(π,6）个单位长度，得到函数y＝g(x）的图象，求函数y＝g（x）的单调递增区间．审题路线图（1）eq\x(fx＝m·n）eq\o(→，\s\up7（数量积运算）,\s\do5（辅助角公式))eq\x（得fx)eq\o（→，\s\up7（对称性),\s\do5（周期性)）eq\x(求出ω）eq\o(→，\s\up17（），\s\do6(和差公式）)eq\x（cosα)(2）eq\x(y＝fx）eq\o(→，\s\up7（图象变换))eq\x(y＝gx)eq\o（→,\s\up7（整体思想））eq\x(gx的递增区间）规范解答·分步得分构建答题模板解f（x)＝m·n＝cosωxsinωx＋eq\r（3）cos（ωx＋π)cosωx＝cosωxsinωx－eq\r（3)cosωxcosωx＝eq\f（sin2ωx，2)－eq\f(\r（3）cos2ωx＋1，2）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2ωx－\f(π,3)）)－eq\f(\r（3）,2）.3分∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为eq\f（π,2）,∴T＝π，∴ω＝1，∴f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)）)－eq\f(\r(3），2)。4分(1）feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（α，2）)）＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f（π，3）））－eq\f(\r（3)，2）＝－eq\f（\r（3),4），∴sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f（π，3））)＝eq\f(\r(3)，4），∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2)）),sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f(π，3）)）＝eq\f（\r(3）,4)>0,∴α－eq\f(π,3）∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（π,6)）），∴coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3））)＝eq\f(\r（13）,4)。6分∴cosα＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f（π,3）＋\f（π,3)))＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f(π,3)）)coseq\f(π，3）－sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－\f(π，3）)）sineq\f(π，3)＝eq\f(\r(13)，4）×eq\f（1,2)－eq\f(\r（3）,4)×eq\f(\r（3），2）＝eq\f(\r(13)－3，8）.8分(2)f（x)经过变换可得g（x）＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（π,6））)－eq\f(\r(3）,2)，10分令－eq\f（π，2)＋2kπ≤x－eq\f(π,6)≤eq\f（π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f（π,3)＋2kπ≤x≤eq\f(2π,3）＋2kπ，k∈Z，∴g(x）的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（π,3）＋2kπ，\f(2π,3)＋2kπ））（k∈Z).12分第一步化简:利用辅助角公式将f(x)化成y＝Asin（ωx＋φ)的形式．第二步求值：根据三角函数的和差公式求三角函数值．第三步整体代换：将“ωx＋φ”看作一个整体,确定f(x）的性质．第四步反思：查看角的范围的影响,评价任意结果的合理性，检查步骤的规范性.评分细则（1)化简f（x）的过程中,诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；(2)计算cosα时，算对coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(α－\f(π，3））)给1分；由coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f（π，3）))计算sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π，3)））时没有考虑范围扣1分；(3）第（2）问直接写出x的不等式没有过程扣1分;最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k∈Z不扣分;没有2kπ的不给分．跟踪演练4（2017·山东）设函数f（x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（ωx－\f(π，6）))＋sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ωx－\f（π，2））)，其中0＜ω＜3.已知f

eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,6)))＝0。（1）求ω;（2）将函数y＝f(x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变），再将得到的图象向左平移eq\f（π,4）个单位长度，得到函数y＝g(x）的图象,求g(x）在eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4）,\f(3π,4))）上的最小值．解(1）因为f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6）））＋sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(ωx－\f（π,2））），所以f(x)＝eq\f（\r(3),2)sinωx－eq\f（1,2)cosωx－cosωx＝eq\f（\r(3）,2）sinωx－eq\f（3,2)cosωx＝eq\r(3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）sinωx－\f(\r(3）,2）cosωx)）＝eq\r(3)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3）)）。由题设知f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,6）））＝0，所以eq\f(ωπ，6)－eq\f(π，3）＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋2,k∈Z。又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1）得f（x)＝eq\r（3）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,3）)），所以g(x）＝eq\r（3)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，4)－\f（π，3）))＝eq\r（3）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（π，12)））。因为x∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(π，4）,\f（3π,4）)），所以x－eq\f(π，12)∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\c