2023年初中数学竞赛试题汇编

中国教育学会中学数学教学专业委员会2023年全国初中数学竞赛九年级预赛试题(本卷满分120分,考试时间1２0分钟)一、选择题(本大题共6个小题，每小题５分,共30分)在下列各小题中,均给出四个答案，其中有且只有一个对的答案，请将对的答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．ABCNM（第2题图）1．从长度是２cｍ,2cm,ABCNM（第2题图）A.ﻩB． C. D．１2.如图，M是△ABＣ的边BＣ的中点,ＡN平分∠BAC，AＮ⊥ＢN于N,且AＢ=1０,BC=１5，ＭN＝3,则△ＡBＣ的周长为（)A.３8 B.39C．4０ﻩD.4１3．已知,且有,,则的值等于(）（第4题图）A.ﻩB．C． D．（第4题图）4.已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是１0,那么以下四个整数中,最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是(）A.6 B.7C.８ Ｄ．９5．设,，是△ABＣ的三边长，二次函数在时取最小值，则△ABC是（)（1）（2）（第6题图）Ａ．等腰三角形 B.锐角三角形ﻩC．钝角三角形ﻩ （1）（2）（第6题图）6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图,堆栈（1)中的2个连续存储单元已依次存入数据，，取出数据的顺序是，;堆栈(2)的3个连续存储单元已依次存入数据,,，取出数据的顺序是，，,现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据）,则不同顺序的取法的种数有(）A.5种 ﻩB．6种ﻩﻩC．1０种 D．12种二、填空题(本大题共６个小题,每小题5分，共3０分）7.若,则满足该方程的所有根之和为．８.（人教版考生做)如图Ａ,在AＢCＤ中,过A,Ｂ，C三点的圆交ＡＤ于E，且与CD相切,若ＡB＝４，BE=5,则DE的长为．８.（北师大版考生做)如图B,等边三角形ABC中,Ｄ,Ｅ分别为ＡＢ，ＢC边上的两个动点,且总使ＡD=ＢE，AE与CD交于点Ｆ,AG⊥ＣD于点G,则.９．已知,且，则．10．元旦期间,甲、乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有件.11.如图,已知电线杆ＡＢ直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BＣ上，假如CD与地面成,∠A＝,CＤ＝4m，BC＝ｍ,则电线杆AB的长为(第11题图)ABCD（第8题图A）BCDAE（第8题图B）D12．实数与,使得,(第11题图)ABCD（第8题图A）BCDAE（第8题图B）D三、解答题（本大题共３个小题，每小题20分，共60分）13．(本题满分20分)已知：是完全平方式．求证:.14.（本题满分20分）如图,将OA=6,ＡB＝４的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发,其中点M沿AＯ向终点Ｏ运动,点N沿ＣＢ向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MＰ.(１）点B的坐标为；用含t的式子表达点P的坐标为；（备用图）(第14题图)(２）记△ＯＭP的面积为S,求S与t的函数关系式（０<t<6）；并求t为什么值时，Ｓ（备用图）(第14题图)(3）试探究：当Ｓ有最大值时,在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ＯNC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由．１５.(本题满分20分)对于给定的抛物线，使实数,适合于.(1)证明：抛物线通过定点；（2)证明:下列两个二次方程,与中至少有一个方程有实数根.2０２3年全国初中数学竞赛试题考试时间202３年3月１7日９:3０－11：30满分150分题号一二三总分1~56~１０111213１4得分评卷人复查人答题时注意:用圆珠笔或钢笔作答；2.解答书写时不要超过装订线；３草稿纸不上交。一、选择题(共5个小题，每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、Ｂ、C、D的四个选项,其中有且只有一个选项是对的的，请将对的选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.设非零实数、、满足,则的值为(）(A)-(B)０（C)(Ｄ）１２．已知、、是实常数,关于的一元二次方程有两个非零实根，则下列关于的一元二次方程中,以，为两个实根的是()(Ａ)(B）(C)（D）３,如图,在Rt△ABC中,已知Ｏ是斜边ＡB的中点，CD⊥ＡB，垂足为D,DE⊥ＯC，垂足为E,若ＡＤ，DB,CD的长度都是有理数，则线段OD、OＥ、DE，ＡC的长度中,不一定是有理数的为()(A）ＯＤ（B）ＯE（C)DE（D)AＣ4、如图,已知△AＢC的面积为24,点D在线段AＣ上，点F在线段ＢC上，且BC＝4AF,DCFE是平行四边形,则图阴影部分（△ＢDE＋△ADE）的面积为(）。(Ａ)３(B)4(C）6(D)85．对于任意实数ｘ,y,z，定义运算“*”为：,且，则202３*2023*……*3＊2的值为（)（A）(B)(C）(D)二、填空题(共５小题，每小题7分，共35分）6.设，是的小数部分,则的值为７．如图，点D、Ｅ分别是△ABC的边AC、ＡB上的点，直线BD与CＥ交于点Ｆ,已知△ＣＤF,△BFE，△BCF的面积分别是3，４，5则四边形AＥFD的面积是。8.已知正整数、、满足，,则的最大值为。9.实数,，,满足：一元二次方程的两根为，,一元二次方程的两根为,，则所有满足条件的数组（，，，）为。10．小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元，圆珠笔每支售７元。开始时他有铅笔和圆珠笔共3５0支，当天虽然笔没有所有卖完，但是他的销售收入恰好是2０2３元,则他至少卖出了支圆珠笔。ABCABCDEO11.如图，抛物线，顶点为E,该抛物线与轴交于A,B两点,与轴交于点Ｃ,且OＢ=OC＝3OＡ。直线与轴交于点Ｄ,求∠ＤBＣ-∠ＣBＥ.12.、设△ABC的外心，垂心分别为Ｏ,Ｈ,若B,C，H,O共圆，对于所有的△ＡBC,求∠BAC所有也许的度数。１3.设，,是素数,记,，，当,时，，，能否构成三角形的三边长?证明你的结论。14．假如将正整数M放在正整数ｍ左侧，所得到的新数可被7整除,那么称Ｍ为m的“魔术数”(例如，把86放在４１5的左侧,得到的数8６415能被７整除，所以称86为415的魔术数),求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数,满足任意一个正整数m,在中都至少有一个为的m魔术数。２023年全国初中数学联赛江西预赛试题时间:２０2３年3月10日上午９:０0－1１:30选择题(每小题7分,共6题，计4２分)1、若同号,则的值是（)A、7Ｂ、6Ｃ、5D、４2、若△ＡＢC中，ＡＢ＝，BC=2,△ABＣ的面积是1,若∠Ｂ是锐角,则∠ACＢ的度数是（）A、3０°B、45°C、6０°D、７5°3、若，ａb≠1,则的值为()A、B、C、D、04、一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上如图，用橡皮盘套住往其中4枚铁钉，构成一个平行四边形,共有套法（）A、82B、4０C、22D、215一个正整数若能表达为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”，在正整数列中,从1开始数起,问第１9９0个“智慧数”是（）Ａ、2６63B、266４Ｃ、2665D、26２66、能使方程ｍx2+２(２m-1)x+4(m-3)=０至少有一个整数解的正整数a的值的个数有（)Ａ、３Ｂ、４Ｃ、5D、6二、填空题（每题7分，共4小题，计28分)7、如图:在△ＡBC中，ＡB＝9，BC=4，Q为AC的中点，P为AＢ边上一点,且∠AＰQ＝90°＋∠B，则BＰ的长为__＿___8、为了迎接202３年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则及奖励方案如下表:胜一场平一场负一场积分310奖金（元/人）1500７000当比寒进行到12轮结束（每人均需要12轮）时，A队共积分１9分，若每赛一场队员人均出场费５00元,设Ａ队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W元,则Ｗ的最大值是＿＿_______9、已知a、b、c、ｄ是四个不同的实数,且(ａ+ｃ)(a＋d)=-2023,(b+c)(ｂ+ｄ)=-2０23,则(a＋d)(b+d)＝-－___＿___10、已知⊙Ｏ的半径为６,四边形ＡBCD是圆内接四边形,对角线ＡC与ＢD交于点E，ＣE＝1.2,若AC是直径，且AD=BＤ，则四边形ABCD的周长是______＿三、解答题(7０分）11、（满分20分)已知方程x2+ax+2ａ+2＝0有两个整数解,求a的值。12、(满分２５分）已知AE是△AＢC的角平分线,D是线段AＥ上的点,且∠BDＥ=90°+∠BAC，求证:D是△ABC的内心。１３、（满分25分）如图:抛物线ｙ=mx2+５x+n与x轴交于Ｂ、C两点,交y轴与A点，过A、B、Ｃ三点作⊙P,且⊙P与y轴相切于点A，（１)求m、n的关系;(2）求∠ＢAC的正切值；(３)设抛物线的顶点为Ｄ,试判断直线DB与⊙Ｐ的位置关系,并证明。2023年全国初中数学竞赛预赛试题江西省吉安市选择题:(每题7分，共42分)1、化简的结果是（）A、2B、-2C、-D、2、一次考试共有5道题，考后记录如下，有８1%的同学做对第１题,９1%的同学做对第2题，85%的同学做对第3题,7９%的同学做对第４题,7４%的同学做对第5题，假如做对3题以上的(含3题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少()。A、70%B、7９%C、7４%Ｄ、81％3、如图：在△ABＣ中,则AN：ＮL:LE等于(）A、2：１:1Ｂ、3:２:1C、3:３:１D、２:３：14、满足方程的所有非负整数解的组数有（)Ａ、1B、２C、3Ｄ、45、如图:正方形ABCD的边长为,Ｅ、Ｆ分别是AB、ＢC的中点，AＦ分别交DＥ，DB于M,Ｎ，则△DMＮ的面积为(）A、8B、9C、1０Ｄ、116、使分式的值为整数的实数x的值的个数是（）Ａ、4Ｂ、５C、6Ｄ、7 二、填空题（每题7分，共2８分)7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为.8、边长为9cm，40cｍ,41cm的三角形的重心到外心的距离是9、已知二次函数，一次函数,若它们的图像对于问题任意的数k都只有一个公共点,则二次函数的解析式为１0、代数式的最小值是三、解答题（共三大题，70分）11、已知关于x的方程的根是整数,求满足条件的所有实数k的值（20分)１2、如图:在矩形AＢCD中，点P在AＢ上，且△AＣP是等腰三角形,O是AC的中点，OE⊥AB于有,点Ｑ是OE的中点,求证:PQ⊥ＣＥ（2５分）.13、已知二次函数图像与轴交于(ｘ１＜x２）,与y轴交于点C,若∠CAB与∠CＢA是锐角。(１）求m的值;（２）是否也许出现∠CAB=∠CBA？若也许，求出m的值；若不也许,比较∠CAB与∠CBA的大小；(3）当∠ＣAB与∠CBA互余时,△ＡBＣ的面积是多少？（25分)20２3年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：(本题满分42分，每小题7分）1．已知，，,那么的大小关系是()A.B．Ｃ.D.2．方程的整数解的组数为（)A.3.B．4.C.5.D．6.3.已知正方形AＢCD的边长为１,E为BC边的延长线上一点，CE＝1,连接ＡE，与CD交于点Ｆ，连接BＦ并延长与线段DＥ交于点G，则BＧ的长为(D)Ａ．B.C.D．4．已知实数满足，则的最小值为（)Ａ．.Ｂ．0.C.1.D．.5.若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有也许的值之和为(）Ａ.0．B．.C．.D．.6.由１，2，3，４这四个数字组成四位数（数字可反复使用),规定满足．这样的四位数共有()Ａ.36个.B.４０个．C．4４个.D．48个.二、填空题：（本题满分28分,每小题７分)１.已知互不相等的实数满足,则．２.使得是完全平方数的整数的个数为．３．在△ABC中,已知AB＝ＡC，∠A＝40°，P为ＡB上一点,∠ＡCＰ＝2０°,则＝4.已知实数满足，,，则＝.第二试一、（本题满分２０分）已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积．二.（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线，AＤ⊥OP于点Ｄ.证明：．三.（本题满分２5分）已知抛物线的顶点为Ｐ,与轴的正半轴交于Ａ、B(）两点,与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M,若ＡM/／ＢＣ,求抛物线的解析式.202３年全国初中数学竞赛试题(考试时间:2023年3月20日9:３0——11：３0满分：150分)一、选择题（共５小题，每小题7分，共３5分。每道小题均给出了代号为A、Ｂ、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是对的的。请将对的选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1、设，则代数式的值为()A、0B、1C、﹣1Ｄ、22、对于任意实数ａ,b,c,d,定义有序实数对(a，b）与(ｃ,d)之间的运算“△”为：(a，b）△（c,d）=（ac+ｂｄ,aｄ+bc）。假如对于任意实数u,ｖ,都有(ｕ,ｖ）△(x,ｙ)=(ｕ,v）,那么(x,ｙ）为（)A、（0,1)B、(1，0）Ｃ、（﹣1，0)Ｄ、(０,﹣1）3、已知A，B是两个锐角,且满足,,则实数t所有也许值的和为()Ａ、B、C、1D、第4题图4、如图,点D、E分别在△ABＣ的边AB、AC上，ＢE、ＣD相交于点F,设，,，，则与的大小关系为()第4题图A、﹤Ｂ、＝Ｃ、﹥Ｄ、不能拟定5、设，则4S的整数部分等于()A、4B、５Ｃ、6D、7二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分）６、两条直角边长分别是整数ａ,b（其中b<2０23)，斜边长是b+1的直角三角形的个数为.７、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是１，２,2,3，3，４；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4，５,6,８。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是．8、如图，双曲线（）与矩形ＯＡＢC的边BC，ＢＡ分别交于点E,Ｆ,且AF＝BF,连结EＦ，则△ＯEF的面积为.9、⊙Ｏ的三个不同的内接正三角形将⊙O提成的区域的个数为.10、设四位数满足,则这样的四位数的个数为.三、解答题(共４题,每题2０分，共80分)11、已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大１,求的值.1２、如图,点Ｈ为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙和△BＣH的外接圆⊙相交于点D,延长AD交CH于点P，求证:点P为CＨ的中点.13、若从１,２,3,…，ｎ中任取5个两两互素的不同的整数,，，,，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．14、如图，△ＡBC中,∠BＡC=６0°,AB＝2AC．点P在△ABＣ内,且PＡ=,PB=5,ＰＣ=2,求△ABC的面积．20２3年全国初中数学联赛江西赛区预赛试题（考试时间２02３年3月二０日９:３0—11：30）第一试一、选择题(每题７分,共42分)1、设a为质数,并且和都是质数，若记，，财在以下情况中,必然成立的是()A、ｘ,ｙ都是质数B、ｘ,y都是合数C、x，ｙ一个是质数，一个是合数Ｄ、对于不同的a,以上各情况皆可2、化简的结果是（）A、Ｂ、C、2D、－23、的末位数字是（）A、1B、3C、5D、７4、方程的解的情况是()A、无解Ｂ、恰有一解C、恰有两个解Ｄ、有无穷多个解5、正六边形被三组平行线划提成小的正三角形,则图中的全体正三角形的个数是()A、24Ｂ、3６C、38D、７６６、设a,b为整数，并且一元二次方程有等根α,而一元二次方程有等根β，那么以α、β为根的一元二次方程是()A、B、Ｃ、Ｄ、二、填空题（

每题7分,共２8分)1、Ｒｔ△ABＣ的三条边长分别为3、４、5,若将其为内切圆挖去,则剩下部分的面积等于2、若，则(ａ,ｂ,c)=()3、如图：正方形ABCＤ的边长为1，E是CD边外的一点,满CE∥BＤ,BE=BD，则ＣE=４、绕圆周填写了十二个正整数,其中每个数取自{1,2,３,4,5，6,７,８，９}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上）若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S表达圆周上所有的十二个数的和，那么数S所有也许的取值情况有种。第二试一（20分)试拟定,对于如何的整数a，方程的正整数解？并求出方程的所有正整数解。二(25分)锐角△ABＣ的外心为O，外接圆的半径为R,延长AO,BO，CＯ，分别与对边ＢC，ＣＡ,AＢ交于D、E、Ｆ;证明。三、(２5分）设ｋ为正整数，证明：1、假如ｋ是两个连续正整数的乘积,那么25

k+６也是两个连续正整数的乘积；2、假如25ｋ＋６是两个连续正整数的乘积，那么

k也是两个连续正整数的乘积；2023年全国初中数学联赛江西省预赛试题第一试一.选择题(每小题7分，共42分）1、化简的结果是()．（A)、；（B）、;(C）2；（D）、．2、△ＡＢC是一个等腰直角三角形，ＤEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点;那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数为().(A)、１2；(Ｂ)、13;(Ｃ)、2６；(D)、3０.3、设ａb≠0,且函数与有相同的最小值u;函数与有相同的最大值v；则ｕ+v的值().（A)、必为正数；(B)、必为负数；(C）、必为0;（Ｄ）、符号不能拟定．４、若关于x的方程没有实根,那么,必有实根的方程是（)．(A)、;（B)、；(C)、;(D)、.５、正方形ABＣD中,Ｅ,F分别是AB，BC上的点,DＥ交ＡC于M,AF交ＢＤ于N;若ＡＦ平分∠BAC，ＤE⊥AF，;记,,则有（).(Ａ）、x>y>z;（B）、x=ｙ=z;(C)、x＝y>z;(D)、x＞y=z.6、将1,2,3,４,5,6,７,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上,使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数,假如圆周旋转后能重合的算作相同填法,那么不同的填法有().(A)、4种;(B)、8种；(C)12种、;（D)、16种.二、填空题(每小题7分,共28分）1、若k个连续正整数之和为2023,则k的最大值是.２、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三角形内切圆都相切的圆)的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为.3、圆内接四边形ＡBCＤ的四条边长顺次为：AB=2，BC=7，CD=6,DA＝9,则四边形的面积为．4、在±１±2±３±5±20中，适当选择+、－号，可以得到不同代数和的个数是．第二试一、(２０分）边长为整数的直角三角形,若其两直角边长ａ,ｂ是方程=0的两根，求k的值并拟定直角三角形三边之长．二、（25分）如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：ＰD⊥BC，PＥ⊥CA，ＰF⊥AB,若BD=BＦ,CD=CE;证明:ＡE＝AF．三、（２５分)已知a,ｂ,c为正整数，且为有理数，证明为整数.“《数学周报》杯”2023年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共５小题,每小题７分,共35分.１.若,则的值为（

）.（A）

（Ｂ）

(Ｃ)

(D）2.若实数ａ,b满足，则a的取值范围是(

）．（A）a

(B)a４

（Ｃ)ａ≤或ａ≥４

(D）≤a≤4ADCB第3题图3．如图，在四边形ＡBＣＤ中,∠B=135°，∠C＝12０°,AB=,BＣ=,CＤ＝，则AD边的长为（

ADCB第3题图(A)

（B）（Ｃ）

（D)PDOyxCAB·第9题图4.在一列数……中，已知，且当k≥２时,（取整符号［a]表达不超过实数PDOyxCAB·第9题图(A）１

（B)2

(C）3

(D)45．如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形AＢCD的顶点坐标分别为A（1，１），B（2,－1),C(-2，－1），D（－1,1)．y轴上一点P（０,2)绕点Ａ旋转１8０°得点P1,点P1绕点B旋转１8０°得点P２，点P２绕点C旋转180°得点P3，点Ｐ3绕点Ｄ旋转18０°得点Ｐ4,……，反复操作依次得到点P1，P２，…，则点Ｐ2０23的坐标是(

).

（A）(2023，2)(B)(202３，）（C)（2023,)

（Ｄ)(０，2）二、填空题6.已知a＝，则2a3+7a2－２a－12的值等于

．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻，客车在前，小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间．过了1０分钟，小轿车追上了货车；又过了５分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车,则t=

．8.如图，在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCＤＥ的顶点坐标分别是O（0,0)，A（0，6），Ｂ(４，６）,C(4，4),D（6，4）,E（6,0)．若直线l通过点M（２，3),且将多边形ＯABＣＤE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是

．9．如图，射线ＡM,BN都垂直于线段AB，点E为ＡM上一点,过点Ａ作BE的垂线AC分别交BE,BN于点Ｆ,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若ＣD＝CF,则

．

10.对于i＝2,３，…,ｋ，正整数n除以ｉ所得的余数为i-1.若的最小值满足,则正整数的最小值为

.三、解答题(共4题,每题2０分，共8０分）11、如图：△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高，点D是线段ＰＣ上的一点，BＥ和CF分别是△ABD和△AＣD的外接圆直径，连接ＥＦ.求证：.（第１２A题）

１2．如图，抛物线(a０）与双曲线相交于点A,B．已知点A的坐标为（1，4)，点B在第三象限内,且△ＡOB的面积为3（Ｏ为坐标原点）.(１)求实数a，b，k的值；(2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C，求所有满足△ＥＯＣ∽△AOB的点Ｅ的坐标.

13．求满足的所有素数p和正整数ｍ.2０23年全国初中数学江西赛区预赛试题(２０23年３月22日上午9：３０~1１：3０）一、选择题（共5小题，每小题7分,满分35分）1、已知非零实数a、ｂ满足｜2a－4|+｜b+2|＋ＥQ\r(,(a－３)ｂ2)+4=2a,则a+b等于（）Ａ、-1B、０C、１D、22、如图所示,菱形ABＣD边长为a，点O在对角线AC上一点,且ＯA＝a,ＯＢ=ＯC＝OD=１，则ａ等于()Ａ、B、１Ｃ、D、3、将一枚六个面编号分别为1,2,3，4,5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为ａ，第二次掷出的点数为b，则关于x、y的方程组只有正数解的概率为()A、ＥＱ\Ｆ(１,12)Ｂ、ＥQ\F(2,9)C、EQ\Ｆ（5,18）D、ＥQ\F（1３,36）4、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AＢ∥CＤ，∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由Ｂ→C→D→A运动,设点P运动的路程为x,△AＢP的面积为y,把y看作x的函数,函数图象如图２所示,则△ABC的面积为(）A、1０B、１6C、18D、325、关于x、y的方程的整数解（x、ｙ）的组数为(）A、２组Ｂ、３组Ｃ、4组Ｄ、无穷多组二、填空题(共5小题，每小题7分,共3５分）６、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶500０km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000kｍ后报废,行驶一定路程后可以互换前、后轮胎。假如互换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶；７、已知线段ＡB的中点为C，以点Ｃ为圆心，AB长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,ＤA的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F、G两点，连接FＧ交AB于点H,则EQ\F(AH,AB)的值为；8、已知满足条件的五个不同的整数,若ｂ是关于ｘ的方程的整数根，则ｂ的值为;9、如图所示，在△ＡBＣ中，CＤ是高，CE为∠ACB的平分线，若AC=1５，，ＢＣ＝20，CD=12，则CE的长等于１0、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是:每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报３的人心里想的数是;三、解答题(共4小题，每题20分,共8０分）11、函数的图像与x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧?若是，请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线x=1的右侧时k的取值范围?12、在平面直角坐标系ｘoｙ中，我们把横坐标为整数,纵坐标为完毕平方数的点称为“好点”，求二次函数的图像上的所有“好点”的坐标.13、如图，给定锐角△ABＣ,BC＜CA，AＤ，ＢＥ是它的两条高，过点C作△ABＣ的外接圆的切线ｌ,过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段ＤF和ＥＧ的大小，并证明你的结论？14、n个正整数满足如下条件：且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数，求n的最大值。２０23年初中数学竞赛江西赛区决赛试题第一试选择题(每小题７分，共42分)1、化简的值是（）.A、B、C、D、.2、a，ｂ，c是互不相同的实数,则代数式经化简后得到().A、B、Ｃ、D、.3、设实数a＜ｂ<c,x<y＜x，则下列四数中,值最小的一个数是().Ａ、aｘ+ｂy+ｃzB、cx＋by+azＣ、bｘ+ay+ｃzD、ａx+cy+bz4、若△ABC的三条边长AＢ=3,AC=4，ＢC＝5，分别以A、B、Ｃ为圆心作⊙A,⊙B，⊙Ｃ,使得这两个圆两两相切,则⊙A,⊙B，⊙C面积之比是（)．Ａ、1:2：3B、３:４：5C、１:4：9D、９：16：25５、数组{a，b,c,d},a<b＜c<ｄ由不大于20的四个质数组成，且满足a＋d=b+c,这种四元组的个数是（).A、6B、8Ｃ、12D、16.6、若一元二次方程的两根为整数,且两根的平方和为2０２3,则这种方程有().A、1个B、2个C、4个D、8个.二、填空题(每小题７分，共２8分)7、从前2０个正整数1，2,……20中选择5个不同的数填写在一个圆周上,使得圆周上每相邻两数之和都是平方数，你的填法是（）．（假如写成一行，首尾的数当作相邻）．８、若f(x)=,则f(1)＋f（3)＋f(５)+…＋f（202３)＝.9、若AD,BE为△ＡBC的两条角平分线,I为内心，若C，D,I,E四点共圆，且DE＝1,则ＩD＝.１0、设，k为自然数，令，，则=.第二试解答题（本题三大题,共70分）11、(２０分）若关于x的方程的各根为整数，求ａ的值,并解此方程．1２、（25分）如图,△ABＣ中，AB=AC,D是BC上的任意一点,E,F分别是边AＣ,AB上的点，且DE∥ＡＢ,ＤＦ∥ＡC，作点D关于ＥF的对称点F，证明：PＤ平分∠BPＣ,且△PBＣ∽△AEF.13、(25分)将前30０个正整数1、2、3、4、…、300顺次在黑板上排成一行,然后划去两数１、2，而将这两数的和写在最后面,成为3、４、５、6、…３0０、3;接着，再划去前两数3、4，而将这两数的和写在最后面，成为5、6、7、8、…、30０、3、7；象这样一直进行下去，直到黑板剩下一个数为止,试求黑板上出现过所以数之和（涉及每次划去的数在内）.2023年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分４2分，每小题7分）１.设，则()A.24.B.25.C．.D..2.在△ABC中,最大角∠Ａ是最小角∠C的两倍，且AB=7,AC=8,则BＣ＝()A.．B．．Ｃ．．D..３．用表达不大于的最大整数，则方程的解的个数为()A.1.Ｂ.2．C.3．D.4.4.设正方形ＡＢCD的中心为点O，在以五个点Ａ、B、Ｃ、Ｄ、Ｏ为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为(B）A.．B..Ｃ..D..5．如图,在矩形ＡBCD中，AＢ=３，BＣ=2,以ＢC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE,则CＢE＝()A..B.．Ｃ..D..6.设是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是（）Ａ.3.B．４.C．5．D.6.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是＿_＿_____.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交ＡC于点E，作DF／/AC交ＢＣ于点F，已知△ADＥ、△DＢF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为___．3.假如实数满足条件，,则_＿__4.已知是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对共有对.第二试一、(本题满分２０分）已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.(1）证明:⊙P与轴的另一个交点为定点.(2）假如AB恰好为⊙Ｐ的直径且，求和的值.I1I2二．（本题满分２5分)设CD是直角三角形ＡＢC的斜边ＡD上的高,、分别是△AＤC、△BDC的内心，AＣ=3,BＣ＝4，求.I1I2三.(本题满分2５分)已知为正数，满足如下两个条件：①②是否存在认为三边长的三角形?假如存在，求出三角形的最大内角.2023年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分,每小题7分）.１.设,，且，则代数式的值为(）5.7．9．１１.2.如图,设，，为三角形的三条高，若,，,则线段的长为（）.4．..3．从分别写有数字１,2，3，4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是３的倍数的概率是().．..4.在△中,，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上,则（).．.和的大小关系不拟定.5.现有价格相同的5种不同商品，从今天开始天天分别降价10％或20％，若干天后,这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为().．..6、已知实数满足，则的值为（).２023..1.二、填空题(本题满分２８分，每小题7分)１．设，则．2．如图,正方形的边长为1,为所在直线上的两点，且,，则四边形的面积为3.已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，,且.设满足上述规定的的最大值和最小值分别为,，则4．依次将正整数1，２，3，…的平方数排成一串：4…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2023个位置的数字是第二试一.(本题满分２０分）1、已知，对于满足条件的一切实数,不等式(1)恒成立.当乘积取最小值时,求的值．二．(本题满分２5分)如图，圆与圆相交于两点,为圆的切线,点在圆上,且.（1)证明:点在圆的圆周上.(２)设△的面积为,求圆的的半径的最小值.。三.（本题满分25分）１、设为质数,为正整数,且求，的值.2０２3年全国初中“数学周报”杯数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题６分,满分30分）1.已知实数满足,则的值为()．(A)7(B)(C）（D)52．把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,５，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是(）.（A)（B）(C）(D)3．有两个同心圆，大圆周上有４个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可以拟定的不同直线最少有(）．（Ａ)6条（Ｂ)8条（C）1０条（D）12条４.已知是半径为1的圆的一条弦，且．认为一边在圆内作正△,点为圆上不同于点Ａ的一点,且，的延长线交圆于点,则的长为()．(Ａ)（B）1（C)（D)a5.将1,2，3，4,5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足规定的排法有().（Ａ)2种(B）3种（C）4种(Ｄ)５种二、填空题(共5小题,每小题6分，满分30分)6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是．（第8题（第8题）隔固定期间发一辆车,那么发车间隔的时间是分钟．８.如图，在△中，AB＝7，AC=1１,点M是BＣ的中点,ＡD是∠BAＣ的平分线，ＭF∥AＤ，则ＦC的长为．9．△ABC中，AB＝７，BC=8,ＣA=9，过△ＡBC的内切圆圆心I作DE∥BＣ，分别与AB，AC相交于点D，E,则DE的长为.1０．关于x，y的方程的所有正整数解为．三、解答题（共4题，每题１５分，满分60分）１1.在直角坐标系ｘOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于Ａ，B两点，且使得△OAＢ的面积值等于.用b表达k;求△OAB面积的最小值．1２.是否存在质数p,q，使得关于x的一元二次方程有有理数根?13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角２倍的△ABC?证明你的结论.１4．从1,2，…，9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是所有）,它们的和能被１0整除，求ｎ的最小值．2023年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷)（2023年4月19日上午９:０0—11:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)本题共有6小题,每题均给出了代号为的四个答案,其中有且仅有一个是对的的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个（不管是否写在括号内）,一律得0分.1、从分数组中删去两个分数,使剩下的数之和为1,则删去两个数是（)（Ａ)(B）(C)（D）2、化简的结果是（）(A）(B)(C）(Ｄ)第5题图3、的末尾三位数字是(）(A)1２５(B)37５(Ｃ)625(D)８７5４、若实数满足方程组:，则有（)(Ａ）x＋2ｙ+3ｚ＝0(B）7ｘ+5y+２z=0(C)9ｘ+6y+3z=0(D)１0x+7ｙ+z=05、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线,则以图中线段为边的菱形个数为(）（Ａ)１5(B)18(C)21(D)２4６、某人将2０２3当作了一个填数游戏式：２□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数,结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则=（）（A)４０(Ｂ)５０(C)６０(D)７0二、填空题（本题满分２8分,每小题7分)７、设.8、一本书共有６1页,顺次编号为1,2，…,61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即:形如的两位数被当成了两位数），结果得到的总和是2023,那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是.9、如图，在边长为1的正三角形ABC中，由两条含圆心角的弓形弧，及边BＣ所围成的（火炬形）阴影部分的面积是.10、不超过的最大整数是.三.解答题（共70分)11.(本题满分20分)设ａ为整数,使得关于ｘ的方程a-（ａ+5)ｘ+a+7=0至少有一个有理根,试求方程所有也许的有理根．１2.（本题满分２5分）如图,四边形中ＡBＣＤ中，Ｅ，F分别是AB,ＣD的中点,P为对角线ＡC延长线上的任意一点，PF交ＡD于Ｍ,PE交ＢC于N,ＥF交MＮ于Ｋ;求证：Ｋ是线段ＭN的中点.13．(本题满分２5分）1２０人参与数学竞赛,试题共有5道大题,已知第１、2、3、4、5题分别有96、８3、74、66、35人做对，假如至少做对3题便可获奖,问:这次竞赛至少有几人获奖?20２3年江西省初中数学预赛试题（2023年３月２4日上午9:00~１1:0０)第一试一、选择题（本大题共六小题，每小题7分,共4２分)1、２０２３2023的末位数字是（）Ａ、１Ｂ、３C、Ｄ、2、化简的结果是（)Ａ、B、C、D、３、若为正数，已知关于的一元二次方程有两个相等的实根,则方程的根的情况是()A、没有实根B、有两个相等的实根C、有两个不等的实根D、根的情况不拟定4、若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点，则这种直角三角形的个数为(）A、36Ｂ、６0C、96D、1２0５、对于给定的单位正方形,若将其两条对角线以及每两条边的中线连线作出,便得到右图，则图中互为相似的三角形“对子”数有(）A、4４B、552C、９4６Ｄ、１892６、若将三条高线长度分别为x，y,z的三角形记为（x,y，z)，则在以下四个三角形（６,８，10)，（８,15，1７）,(１2,15，2０)，(２0,21,２9)中，直角三角形的个数为（)A、1个B、2个Ｃ、3个D、４个二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共２8分)7、满足方程的所有实数x的和为8、边长为整数，周长为20的三角形个数是9、在边长为１的正方形ABCD中，分别为Ａ、B、C、D为圆心,作半径为1的圆弧,将正方形提成图中的九个小块，则中心小块的面积是1０、用数字１,2,3,4排成一个四位数,使得这个数是11的倍数,则这样的四位数共有个第二试三、解答题：(本大题共３小题，共７0分，第11小题2０分,第１2、13小题各25分）11、试求所有的正整数，使得关于的一元二次方程的两根皆为整数12、四边形AＢCＤ的对角线AC、ＢD交于P,过点Ｐ作直线,交ＡD于E,交BC于F，若PＥ=PF,且ＡP+AＥ=CP+CF,证明：四边形ABCＤ为平行四边形１3、若数能表达成两个自然数(允许相同)的平方和，则称为“好数”，试拟定在前200个正整数1，2，…,200中，有多少个“好数”？2０2３年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共５小题,每小题６分，满分３０分)1．方程组的实数解的个数为（）.(A）１（B)2(C)３（D）４2.口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个，黑球6个．现从中任取1０个球，使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个，黑球不多于3个,那么上述取法的种数是()(Ａ）1４（B)16（Ｃ)1８（D）20BACDFEOxy(第6题图)BACDFEOxy(第6题图)方程，，恰有一个公共实数根，则的值为(）(A）0（Ｂ）1（C)２（Ｄ）34.已知△AＢＣ为锐角三角形，⊙Ｏ通过点B,C，且与边ＡB，AC分别相交于点D，E.若⊙Ｏ的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定通过△ABC的(）.(A）内心B)外心（C）重心（D）垂心5．方程的整数解(x，ｙ）的个数是(）．（A)0(B）1(C）3（Ｄ）无穷多二、填空题(共5小题,每小题6分，満分３０分）６．如图，点Ａ，C都在函数（x>0)的图象上，点B,D点在x轴上，且使得△OAB,△BCD都是等边三角形，则点D的坐标为．7．如图,在直角三角形ABC中,∠AＣB＝90°，CＡ＝4.点P是半圆弧AC的中点，连接ＢP,线段BＰ把图形APＣB（指半圆和三角形ＡBC组成的图形）提成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．8.如图,∠A+∠B+∠C+∠D＋∠E+∠F+∠G＝，则=．ABCDEFGQABCDEFGQ（第8题图）10.已知对于任意正整数，都有，则=．三、解答题(共4题，每小题1５分,满分6０分)1１.已知抛物线和抛物线相交于点A，B两点.点P在抛物线上，且位于点A和点B之间;点Q在抛物线上,也位于点A和点B之间．（1）求线段AB的长；(2)当ＰＱ∥轴时，求PQ长度的最大值.ABABPQOxy(第11题图)12.已知ａ,b都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？假如有，请把它们求出来;假如没有,请给出证明.解:1３.如图，点E,F分别在四边形AＢCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若CD，FE的延长线相交于点G,△DEG的外接圆与△CFＧ的外接圆的另一个交点为点P,连接PＡ,PＢ,PC,PD．求证:(1）;（2)△PAB∽△ＰＤC．证明：１4.(1）是否存在正整数，,使得?(2）设(≥3)是给定的正整数，是否存在正整数,，使得？解:2023年全国初中数学竞赛预赛试题(202３年3月１２日上午9:０0—11：00）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)1.要使方程组的解是一对异号的数，则a的取值范围是（）(Ａ)<a<3(B)a<(C)a＞3(D)a<，或ａ>32．一块含30°角的直角三角板(如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的相应边平行,且各相应边的距离都是1cm，那么△DＥＦ的周长是（)(A)5cｍ(B)6cm(C)（）cｍ(D)（）ｃm3．将长为15dｍ的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边,则不同的截法有()（A)5种(B)６种（C)7种(Ｄ）8种GFEDCBA(第6题)4．作抛物线Ａ关于x轴对称的抛物线Ｂ，再将抛物线BGFEDCBA(第6题)(A）（B)(C)(D)5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册,在这四册教材中随机抽取两册,恰好组成一套教材的概率是()（A)(B)(C)(D)6．如图,一枚棋子放在七边形ABCＤEFＧ的顶点A处,现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是:第ｋ次依次移动k个顶点.如第一次移动1个顶点,棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D处．依这样的规则,在这1０次移动的过程中,棋子不也许停到的顶点是（）（A)Ｃ，E，F(B)C,E，Ｇ（C)Ｃ,E(D)Ｅ，F(第8题)7.一元二次方程中，若a，b都是偶数，ｃ是奇数，则这个方程()(第8题)(A)有整数根(Ｂ)没有整数根（Ｃ）没有有理数根（Ｄ)没有实数根8.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为L形，那么在由4×５个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是（）(A)16（B)32(C)4８（D)6４二、填空题（共6小题,每小题5分，满分30分）9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和４cm,那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为cm．1０．将一组数据按由小到大(或由大到小）的顺序排列,处在最中间位置的数（当数据的个数是奇数时）,或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数.现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间,假如这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这１00个数据的比例是．11．△ＡBC中,a，b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边.已知ａ=,b=,c=,则bｓinB+csinC的值等于．AEFBCDGM（第13题）12．设直线和直线（k是正整数)及ｘ轴围成的三角形面积为AEFBCDGM（第13题）13.如图，正方形ABCD和正方形CＧＥF的边长分别是２和3,且点Ｂ,C，G在同一直线上,M是线段AE的中点,连结ＭF，则MF的长为．14.边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是．三、解答题（共4题,分值依次为12分、12分、12分和1４分,满分5０分)15.已知ａ，b，c都是整数，且,,求的值.A1A2A3·An-1AnO（第17题）１６．A1A2A3·An-1AnO（第17题）17.如图所示，⊙O沿着凸n边形A1Ａ2A3…Aｎ-1Ａn的外侧（圆和边相切)作无滑动的滚动一周回到本来的位置.(1)当⊙O和凸ｎ边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了两圈．(2)当⊙O的周长是a,凸n边形的周长是b时，请写出此时⊙O自身转动的圈数.1８.已知二次函数.(１)随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上?假如是,请求出该抛物线的函数表达式;假如不是,请说明理由.(２)假如直线通过二次函数图象的顶点Ｐ,求此时m的值．2023年全国初中数学竞赛试题考试时间2０2３年4月2日上午9∶30－11∶30满分１2０分一、选择题(共5小题,每小题6分，满分3０分。以下每道小题均给出了代号为A,B,C，D的四个选项,其中有且只有一个选项是对的的。请将对的选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分)1.在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米通过一个限速标志牌;并且从１０千米处开始,每隔9千米通过一个速度监控仪．刚好在１９千米处第一次同时通过这两种设施,那么第二次同时通过这两种设施的千米数是()（A)36（B）３7（C）55(D)９02.已知，,且=8，则a的值等于(）(A)－5（B)5（C）-9(D)93.Rt△ＡＢＣ的三个顶点A，B,C均在抛物线上,并且斜边ＡＢ平行于x轴.若斜边上的高为ｈ，则（）（A）h＜１（B)h=1(C）1<ｈ＜２（D)ｈ>2４．一个正方形纸片，用剪刀沿一条但是任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分，再沿一条但是任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条但是任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了3４个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是()（A)２０２3（Ｂ）2023（C）２0２３（Ｄ)2023（第5题图）ABCDOQP5.如图,正方形AＢCD内接于⊙O,点Ｐ在劣弧AＢ上,连结DP，交ＡC（第5题图）ABCDOQP（A)(B）(C）（D）二、填空题（共5小题，每小题６分,满分3０分）６．已知a,b,c为整数，且ａ+b=2０2３，c-a=２023.若a＜b，（第7题图）ABCDG（第7题图）ABCDGFE７．如图,面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形AＢC,其中a,b，c为整数,且b不能被任何质数的平方整除,则的值等于.８.正五边形广场ABCＤE的周长为２02３米.甲、乙两人分别从A、C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为４6米/分.那么出发后通过分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上.９.已知０<a<１，且满足,则的值等于．（表达不超过ｘ的最大整数)１０．小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字２,成为一个八位数的电话号码.小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是本来电话号码的六位数的81倍，则小明家本来的电话号码是．三、解答题(共4题，每小题15分,满分６０分)１1．已知，,为互质的正整数(即,是正整数,且它们的最大公约数为1)，且≤8，．试写出一个满足条件的x;求所有满足条件的x.1２．设，,为互不相等的实数，且满足关系式求a的取值范围．（第13题）（第13题）ABCOPEK1３.如图，点P为⊙O外一点,过点P作⊙Ｏ的两条切线，切点分别为Ａ，B．过点A作ＰB的平行线,交⊙O于点C．连结ＰC,交⊙O于点E；连结AＥ，并延长AE交ＰB于点Ｋ．求证：PE·ＡC=CE·KB.14．1０个学生参与ｎ个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参与某一个小组，任意两个课外小组,至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．２０２3年全国初中数学联合竞赛试卷（Ｃ卷）第一试(４月9日

上午

８:30-9:３0)一、选择题(本题满分4２分,每小题７分）１.已知四边形AＢCD为任意凸四边形，E、Ｆ、G、H分别是边ＡＢ、ＢC、CＤ、ＤA的中点，用S、P分别表达四边形ABCＤ的面积和周长；S1、P1分别表达四边形ＥＦＧH的面积和周长.设K＝eq＼f(Ｓ,Ｓ１),K1=ｅq\f(P,Ｐ1),则下面关于K、K1的说法对的的是()．A.K、Ｋ１均为常值B.Ｋ为常值，K1不为常值Ｃ.K不为常值,K1为常值D.K、Ｋ１均不为常值2.已知m为实数，且ｓiｎα、ｃosα是关于x的方程3x2–mx+1=0的两根,则ｓin4α＋coｓ4α的值为（).Ａ.ｅq\ｆ(2,９)B.ｅｑ\f(1，3）C.eq\f(7,9)D．13.关于ｘ的方程|eq＼f（ｘ２，x–1)｜=ａ仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）.A．a>0Ｂ.ａ≥４C.2<a＜4D.0<a＜44.设b>0，a2-2aｂ+c2=0，bc>a2，则实数a、b、c的大小关系是()．A.ｂ＞c>aB.c＞a>bC.a＞ｂ>cD．b＞a>c５.设a、ｂ为有理数，且满足等式ａ+beq＼r(3）=eq\r（６)⋅eq\r(1+eｑ\ｒ(４+2eq\ｒ（3))),则a+b的值为().A.2B.４C.6D.86.将满足条件“至少出现一个数字0，且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：２0，40，6０，80,100，1０4，……,则这列数中的第158个数为().A.２023B.２0２3C.2０2３D．2０23二、填空题(本题满分28分,每小题7分)１.函数y=x２-2０23|x|+2023的图象与ｘ轴交点的横坐标之和等于______＿_＿＿．2.在等腰Rt△AＢC中，ＡC＝BＣ＝1,Ｍ是BC的中点，CE⊥AM于Ｅ交AB于F，则S⊿MBF＝＿___＿_＿___．3.使eq\r(x2+4)+eq＼r((8-ｘ）2+１６）取最小值的实数x的值为____＿__＿__.4.在平面直角坐标系中,正方形ＯＡBC的顶点坐标分别为O(0,０),Ａ(10０,0)，B(１00,10０),C(0,1０0）.若正方形ＯＡBC内部（边界及顶点除外)一格点P满足：S⊿ＰOA⋅S⊿PＢC=S⊿PAB⋅Ｓ⊿POC，就称格点P为“好点”,则正方形OＡＢC内部“好点”的个数为__＿＿_____＿.(注:所谓“格点”,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.）第二试(4月9日

上午

10：０0－11一、(本题满分２０分)如图，D为等腰△ABC底边ＢＣ的中点,E、Ｆ分别为AC及其延长线上的点．又已知∠EDF=90°,ED=DF=1,AD=５.求线段BＣ的长.二、(本题满分２5分）在平行四边形ABCD中,∠A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点Ｅ、Ｆ,点O、O1分别为△CＥF、△ＡBE的外心．(１)求证：Ｏ、E、O1三点共线；(２)求证:若∠ABＣ＝7０°，求∠OＢD的度数.三．(本题满分2５分）设p为正整数，且p≥２.在平面直角坐标系中，连结点A(0，ｐ)和点Ｂ（p，0)的线段通过ｐ–1个格点C１(1，p－1）,…,Ci(ｉ，p–i),…，Cｐ–1(ｐ–1,１).证明：（１）若p为素数,则在原点O（０，0）与点Ci(i,p–ｉ)的连线段ＯCi（i=1，…，ｐ－1)上除端点外无其它格点;(2)若在原点O（0，0）与点Ｃi(i，p–i)的连线段OＣi(i=1，…,p－1)上除端点外无其它格点，则p为素数.2023年全国初中数学联赛预赛试卷3月2５日下午2:３0-4:30或３月2６日上午9:0０－11:3０学校＿＿＿_____＿__考生姓名_＿______＿_＿一、选择题：(每小题7分,共计４２分）1、若a、b为实数,则下列命题中对的的是()(Ａ)ａ>ｂa2>b2；（B)a≠ba2≠b2；(Ｃ）|a｜>ba2>ｂ2;(D)a＞|ｂ|a２>b2２、已知:a+b+c=３，ａ２＋b2+ｃ2=３,则a2０23+b2023+c2023的值是（)(A）0（B)3(C)2２02３(D）3·２20２33、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形，白皮为正六边形,（如图)，假如缝制好的这种足球黑皮有12块,则白皮有（）块。(A)16(Ｂ）18(Ｃ）２０(D）2２4、在Rt△ABＣ中，斜边ＡB=５,而直角边ＢＣ、AC之长是一元二次方程ｘ2－（2m-１）x+4（m－1）=０的两根,则m的值是(）(A)4(B)-1（C)4或－1（D)－4或１5、在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点,设k为整数,当直线y=x-3与y=ｋx+k的交点为整数时,k的值可以取（)（Ａ）2个(B)4个(C）６个（D)8个６、如图,直线ｘ=1是二次函数y=aｘ2+ｂx＋ｃ的图像的对称轴，则有（)（A)a+ｂ+c=0（Ｂ)ｂ>a+c（C)c＞２ｂ(D）abｃ＜0二、填空题:(每小题7分，共计２8分)1、已知：ｘ为非零实数，且＝a,则=___＿____＿__＿＿。2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2＋a２ｘ+a=０有实根,则该方程的根x所能取到的最大值是_＿___＿__＿_＿______＿＿____.3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PＣ与⊙o相切于点C,∠APC的角平分线交AC于Q,则∠ＰQＣ=＿____＿___.4、对于一个自然数n,假如能找到自然数a和b,使n=a＋b＋aｂ，则称ｎ为一个“好数”,例如：3＝1+1+1×1,则3是一个“好数”，在１~２0这20个自然数中,“好数”共有＿_个。三、（本题满分20分)设A、B是抛物线y＝２x2＋４x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、Ｂ两点的坐标。四、(本题满分2５分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点Ｃ,使ＡＣ=AB，连结ＯC叫⊙ｏ于点Ｄ，BD的延长线交AＣ于E,求AE的长。BBAOEDC五、（本题满分25分）设x＝a＋ｂ－c,y=a＋c－b,z＝b+c-ａ，其中a、b、c是待定的质数，假如x２=y,=2,试求积abc的所有也许的值。2０23年全国初中数学竞赛试卷一、选择题(满分３０分)１.如图ａ,ABCD是一矩形纸片,AB=6ｃｍ,ＡD=８cｍ,E是AD上一点,且AE=6ｃm，操作:⑴将AB向ＡE折过去，使AＢ与AＥ重合,得折痕AＦ，如图b；⑵将△ＡFB以BF为折痕向右折过去,得图c，则△GＦC的面积为()Ａ.2B．3C．４D.52.若M＝３x2－8xy＋9ｙ２－4x＋６y+13(ｘ，y是实数)，则M的值一定是（)A．正数Ｂ.负数Ｃ.零D.整数3.已知点Ｉ是锐角△ABＣ的内心,A1，B1,C1分别是点I关于边BＣ,CA,AB的对称点。若点Ｂ在△A１B１C1的外接圆上,则∠ABC等于()A.３0°B.４5°C.60°D.90°4.设,则与A最接近的正整数是()Ａ．18B.20C．24D.25５．在自变量x的取值范围5９≤x≤6０内，二次函数的函数值中整数的个数是()Ａ.59Ｂ.12０Ｃ.118D.60二、填空题(满分30分）6．在一个圆形的时钟的表面，OＡ表达秒针，OB表达分针(O为两针的旋转中心)。若现在时间恰好是12点整，则通过_＿＿__秒后,△OAB的面积第一次达成最大。7.在直角坐标系中，抛物线与ｘ轴交于A，B的两点。若A,Ｂ两点到原点的距离分别为OＡ,OB，且满足，则ｍ=_＿_＿_.８.有两幅扑