2023年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题

2023年北京市中学生数学竞赛高中一年级预赛试题参考解答（202３年4月９日)选择题答案123456AAＢDCD填空题答案1234567８2489.525041０１一、选择题1.集合A=｛2,０,1,７}，B={x｜ｘ２−2Ａ，x−2A},则集合B的所有元素之积为(Ａ）36.（Ｂ）54.(C)72.(D）108.答：A.解：由x2−2Ａ,可得x２=4,2,3,9,即x=2,，，３.又由于x−2A，所以x2,x3，故x=−２,，，−3．因此,集合Ｂ={−2,−,，−,，−3}．所以,集合B的所有元素的乘积等于(−２)（−）（)（−)()(−3)=３6.2．已知锐角△AＢC的顶点A到它的垂心与外心的距离相等,则taｎ(）=（A).（Ｂ)．（C）1．（D）.答:A.ABCDOHKE解：作锐角△ＡBＣ的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD,CE相交于点ABCDOHKE连接BO交⊙Ｏ于K,BK为的直径.连接AK，CK.由于AD,ＣE是△AＢC的高,∠KAB,∠KCB是直径BK上的圆周角，所以∠KAB=∠KCB=90°．于是KA/／CE,KC//AＤ,因此AKCH是平行四边形．所以ＫC=AＨ=AO=ＢK．在直角△KCＢ中,由KC=ＢK，得∠BＫC=60°，所以∠ＢAC=∠ＢＫＣ＝6０°．故tan（)=tan30°=．3．将正奇数的集合{1,3,5，7,…}从小到大按第n组2ｎ−1个数进行分组:｛1}，｛３,５，7},{9,11,13,１5,17},…,数2023位于第ｋ组中，则ｋ为（A)３１.(B）32．（C)3３.（D）３4.答：Ｂ.解:数2０23是数列an=2n−1的第1009项．设２023位于第k组,则1+3+５+…+（２k−1）≥１009，且1+３+5+…＋(2ｋ−3)<１0０9.即k是不等式组的正整数解,解得ｋ＝32,所以2023在第3２组中.ABOyxy=4．如图，平面直角坐标系ｘ-Ｏ-y中,A,B是函数y=在第=1\*ROMANＩ象限的图象上两点，满足∠OAＢ＝90°且ＡＯ=AＢ，则等腰直角△ABOyxy=（Ａ).（B）．(C）．（D）．答：D.ABOyxy=DC解：依题意,∠OＡB=9０°且AO＝AB,∠AOB＝∠ABO=45°．过点A做y轴垂线交ABOyxy=DC易见△ＣOA≌△DAＢ．设点A(a，),则点B(a＋,−a）．由于点B在函数ｙ=的图象上，所以（ａ+)（−a)=1，即−ａ2=1.因此S△AＢC=OA2=(+ａ2)＝．5．已知f（x）=x5＋a1x4+a2x3+a3ｘ２＋a４x＋a5且当m=１，2,３，４时，f(ｍ）＝２0２３ｍ，则ｆ(10)−f（−5)=(A）7１65５.(B）７51５6．(C)756１５.（D)7651５.答：C.解：由于当m＝1,2,3,4时，f(m）＝2023m,所以1，2,3,４是方程f（ｘ）−20２３ｘ＝0的四个实根，由于５次多项式f(ｘ)−202３x有5个根,设第5个根为p,则f(x)−20２3x=（x−1)(x−2)（ｘ−３)(x−4)(x−p)即ｆ(x)=(ｘ−1）(x−2)(x−3)(x−４)（x−p）＋2０23x．所以f（10)=9×8×７×6（1０−p)＋2023×10,f(−5)＝−6×７×8×9(５＋p)−2023×5,因此ｆ（1０)−f(−5)＝15(９×８×7×６+2０23)=75615.6.已知函数若存在实数m，使得关于ｘ的方程ｆ(ｘ)＝m有四个不同的实根，则ａ的取值范围是(A).（B)．(C)．（Ｄ).答:Ｄ．解：要使方程f(x)＝m有四个不同的实根,必须使得ｙ=ｍ的图像与y=ｆ(ｘ)的图像有4个不同的交点．而直线与y＝|x｜的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|,ｘ≤ａ的图像和y＝ｘ2−４ax+２a，x>ａ的图像的交点分别都是2个.又由于y＝ｘ2−４ax+2a,x＞a顶点的纵坐标为,所以,要y＝m与y＝x２−4ax+２a，x＞a的图像有两个交点,需要ｍ＞.因此ｙ=m的图像与y＝ｆ(x)的图像有4个不同的交点需要满足：０＜ｍ≤a且m＞,解得.二、填空题1.用［x］表达不超过x的最大整数,设，求的值.答：２４．解:由于12≤1,２,3＜22，所以1≤，,＜2,因此，共３个1；同理,22≤４,5,６，7,8＜32,因此,，共5个２；又３2≤9，10,11,12,13,14,15<４2,因此,共７个３;依次类推,,共９个4；，共1１个5;,共13个６;,共1５个7;,共17个8；,共19个9．S=(）+()+…＋()＝1×3+2×5+3×7+４×9+5×11+6×13+７×1５+8×１7+９×19=615.由于242＝576＜6１5=S＜625=25２,即24<＜２5，所以,[]=24．２.拟定(202３×20２3×2023×２023×2０23)的值．答:8．解：原式=(2023×20２3×2０23×202３×2023）＝（2×4×8×１6×３２)=(２1×22×23×24×25）=(２1＋２＋3+4+５)=(215)＝２3=8.3．NAMBNAMBCP解:注意到１3=32+22，2９=5２+2２，34=５2+32，作边长为5厘米的正方形AＭNＰ,提成25个１平方厘米的正方形网格,如图.根据勾股定理，可知，AB=厘米,BC＝厘米,CＡ=厘米，因此△AＢC的面积可求．△ABＣ的面积=5×5−×3×5−×2×5−×２×３=9．5（平方厘米)．4．设函数的最大值为M,最小值为N,试拟定Ｍ+N的值．答:2．解：由已知得由于＝,所以,因此，是奇函数.进而可鉴定，函数为奇函数．则g（ｘ）的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=０.由于M=Ｍ1+1，Ｎ=Ｎ1+1，所以M+N=2．５．设A是数集｛1，2,…，２０2３}的n元子集，且A中的任意两个数既不互质,又不存在整除关系,拟定n的最大值．答:504.解:在数集｛1,2，…,2０2３}中选取子集,使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集{2,4，…，２023}共１008个元素,但其中，有的元素满足整除关系,由于1010的2倍是20２3，所以集合A={1０１０,101２,10１4,…,2023｝中,任意两个数既不互质,又不存在整除关系,A中恰有504个元素．事实上5０4是n的最大值.由于若从{1009，１011,…,2０23}中任取一个奇数，会与A中的与它相邻的偶数互质；若从{1，2,3，…，1008｝中任取一数，则它的2倍在A中，存在整除关系．BFADCEO６．如图，以长为4厘米的线段AB的中点O为圆心、2厘米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F.再分别以Ａ、B为圆心,4厘米为半径画圆弧交射线AE于点C，交射线BE于点D．再以E为圆心DE为半径画圆弧，求这4条实曲线弧连接成的“卵形BFADCEO答:（12−４)π−4平方厘米．解:半圆(O,2)的面积＝π×2２＝2π.由于AO＝ＯB=2,所以ＡB＝AC=ＢD＝4,AＥ＝BE=２,ＥＤ＝ＥＣ=４−2.又∠AEB=∠ＣED＝9０°，∠EAＢ=∠EBA=45°,因此，扇形BAD的面积=扇形ＡＣＢ的面积＝π×42=2π,△ＡEB的面积=×4×2=4，直角扇形的面积=π(4−２）2=6π−4π，卵形的面积=半圆(O,2)的面积＋扇形ＢＡD的面积+扇形ＡCB的面积−△AＥB的面积＋直角扇形的面积＝2π+2×2π−４+６π−4π=(１２−4)π−4（平方厘米).７.已知,求f(1）+f（2)＋…+f(10０）的值.答:101．解:设ｇ(ｘ)=x2−100x+5000，则g(1００−x）=(100−x)2−100（100−x）+50０0=１002−200ｘ+x２−１００２+１0０ｘ+５000=x２−１00x+5000＝g(x),即ｇ(ｋ）=g(100−k)．所以f（k)+f(１0０−k）=＝=２,又f(5０)=ｆ(10０)所以，f(１)＋f(2)+…+f(100)＝(f(１）+f（9９))＋（f(2）+f(98))＋…＋(f(49)＋f(51))+f（50)+f(100）=2×49+1+2=1０１．8．如图，在锐角△ABＣ中,AC=BC=10，Ｄ是边ＡＢ上一点，△ACＤ的内切圆和△ＢCD的与ＢＤ边相切的旁切圆的半径都等于２，求AＢ的长．DACBDACB解:线段AＢ被两圆与AB的切点及点D提成四段,由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a,b,ｂ,c,由于圆O2的切线长CＥ=CＧ，所以ＢC＋ａ=CD+ｂ＝(AＣ−c+b）+ｂ,而AＣ=ＢC,所以ａ+c＝2b.DACBEGFO1O2·abbcDACBEGFO1O2·abbc·分别计算△BCＤ和△AＣD的面积：所以．