第六章平面向量及其应用章末测试题-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

试卷第=page55页，共=sectionpages55页试卷第=page44页，共=sectionpages55页平面向量及其应用章末测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（

）A． B．C． D．2．已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（

）A． B． C． D．3．已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为是（

）A．17 B．13 C．12 D．154．已知非零向量和满足，且，则为(

)A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三边均不相等的三角形5．如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（

）A．-3 B． C． D．6．在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．7．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（

）A． B． C． D．8．在平面内，，，，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（

）A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为C． D．的最大值为210．设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（

）A．若，则存在实数使得B．若，则C．若，则在方向上的投影向量为D．若存在实数使得，则11．已知向量，则下列结论不正确的是（

）A． B．与可以作为基底C． D．与方向相同12．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（

）A．B．向量在向量方向上的投影向量为C．D．若，则第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．14．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.15．已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.16．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，且．(1)求与的夹角；(2)求．18．如图，矩形与矩形全等，且.(1)用向量与表示；(2)用向量与表示.19．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.20．已知，，与的夹角为．求：(1)；(2)；(3)．21．在中，角的对边分别为.(1)求的大小；(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.22．如图所示，在中，与相交于点.(1)用和分别表示和；(2)若，求实数和的值.答案第=page1515页，共=sectionpages1111页答案第=page1616页，共=sectionpages1111页参考答案：1．D【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用，，表示，，进而表示出.【详解】因为，所以，又因为点N为BC的中点，所以，所以.故选：D.2．B【分析】根据题意得到与不共线，从而列出不等式，求出答案.【详解】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，∵，，，∴，，∴，解得.故选：B．3．B【分析】由题意，画图建立坐标系，根据向量单位化运算，可表示出每一个点的坐标，根据数量积的坐标公式，结合基本不等式，可得答案.【详解】由题意建立如图所示的坐标系，可得，，，，，，，，当且仅当时，等号成立，故选：B.4．A【分析】根据向量加法和线性运算可知向量与的平分线共线，根据可知的平分线与对边垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由和向量数量积的定义可求出的大小，从而可判断△ABC的形状．【详解】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，∴向量与的平分线共线，又由可知的平分线与对边垂直，则△ABC是等腰三角形，即，，∴，∵，∴，∴△ABC为等边三角形．故选：A．5．C【分析】根据三点共线求出，然后把当基底表示出和，从而求的值.【详解】因为，所以，所以，因为三点共线，所以，即，所以，又,所以.故选：C.6．D【分析】由题设且，结合向量数乘、加法的几何意义可得，再由已知条件即可得的值.【详解】由题意，且，而，所以，即，由已知，，则.故选：D7．B【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，所以可得：．故选：B.8．D【分析】以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，设，，，由得到P的坐标，再由，结合求解.【详解】解：如图所示：以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系.设，，，则，，，，则，即，所以.由，得，所以，.由，得，即，所以，即.所以的取值范围是，故选：D.9．CD【分析】根据平面向量数量积的坐标运算可得，从而可判断A；根据向量在方向上的投影为可判断B;根据共线向量的坐标运算可判断C；由C可得，根据基本不等式即可判断D.【详解】对于A，因为所以，则与的夹角为锐角，故A错误；对于B，因为所以向量在方向上的投影为，故B错误；对于C，因为所以.因为，，所以，即，故C正确；对于D，因为，，所以，当且仅当,即时取等号，故的最大值为2，故D正确.故选:CD.10．ABC【分析】根据平面向量的模、及线性运算的概念即可判断.【详解】当时，的方向相反且，则存在负实数，使得，故A正确D错误；若，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，所以，故B正确；若则的方向相同．在方向上的投影向量为，故C正确．故选：ABC.11．BD【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.【详解】由题意，向量，可得，所以，所以A正确，B错误；又由，所以C正确；因为，所以，所以与方向相反，所以D错误.故选：BD.12．ABD【分析】利用数量积运算，投影向量和向量平行公式即可判断每个选项【详解】由图可得，对于A，，故A正确；对于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正确；对于C，，所以，故C不正确；对于D，因为，，所以，故，故D正确.故选：ABD13．【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答【详解】解：因为，，所以，因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，所以且，解得且，所以的取值范围为，故答案为：14．##【分析】根据题意，利用余弦定理，计算出的值，根据向量运算，把化成，计算其长度得答案.【详解】在中，设，，则，所以，所以.故答案为：15．##【分析】法一，由由，得，借助于几何作图，作，确定点P的轨迹，结合圆的几何性质，即可求得答案;法二，由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件确定确定点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.【详解】法一由，得.如图所示，分别作,作，由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,作，则,所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值,故||的最大值是,故答案为：法二由，得，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由，得，所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.所以故答案为：16．3【分析】利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围,再根据平方后的式子，即得.【详解】因为，所以，所以，即，则．因为点是圆内部一点，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3．故答案为：3.17．(1)(2)2【分析】（1）根据向量的数量积运算律求解即可；（2）根据向量模的运算求解即可.【详解】（1）∵，，由化简得，∴∵，∴（2）．18．(1)(2)【分析】（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算进行解答.(1).(2)以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为矩形与矩形全等，且，所以，则，，，，，所以，，，故.19．(1)1(2)2(3)证明见解析【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.【详解】（1），；（2），所以，解得：，所以；（3）因为，所以，所以A，，三点共线.20．(1)3(2)(3)【分析】（1）根据平面向量数量积的定义即可得到答案；（2）将式子展开化简，结合向量的模和数量积即可得到答案；（3）先将化为，进而展开化简可得答案.【详解】（1）因为，，与的夹角为，所以；（2）由（1），所以；（3）由（1），所以.21．(1).(2)条件①：；条件③：.【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.【详解】（1）在中因为，由正弦定理得，所以，即，又因为，，所以，.（2）设边上的高为，条件①：因为，所以，，所以，根据三角形全等（角角边）