2023年数学模型学习笔记

《数学模型(第三版)》学习笔记

写在开始---小康社会欢迎您

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今天第一次归纳、复习，整理思绪重点，从最后两章(除了“其他模型”）开始，想也许印象比较深刻。可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握尚有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是．

整本书读下来感觉思绪、数学都有很大拓展,总结起来有一下几个特点:

ﻫ(一)

“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简朴”、“假设多”，但简化分析中,还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；0H６ｐ9U／Ｑ，A

ｍ-C%mﻫ(二)

模型求解之后的解决，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止,而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改善，有的对数学结果做出了现实相应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义)，也尚有纯数学分析的，这些都是很重要的,在我看来,这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始,前面的求解似乎是家常便饭了；:i9F-S7G0i9Ａ＄T！ｍ-sﻫ（三)

用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发现得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展(作为工科专业学生）。+ｎ８ｕ０ｉ0ｖ'r;w%y

;ｗ（b7e,f5Z

从上周六继续自学《数学模型》开始一周,比预期的时间长了许多,但是过程中我觉得即便如此也很难领略完整这本书的内容。最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结,从今天起天天做2章的小结,既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领略很有限。ﻫ

也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~

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——ＴonyＳun

Jｕlｙ２023,TＪU7K%C＇c1J!ｒ５p，Ｖ9Zﻫ／U－m

O/ｒ'ｌ％H&y％B＋p8m)y（目前已更新:全１２章)ﻫ第１章建立数学模型＊W/Z"B0K．ｍ%tﻫ关键词：数学模型意义特点

第１章是引入的一章，对数学模型的意义来源,做了很好的解释。其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只但是它比较“理论”、“摸不着”而已。但通常,数学模型有严谨的特点，并且我们可以根据建模实际需要改变模型，成本也比较低;同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好的效果。

椅子在不平的地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉的例子,用简朴的数学进行描述、建模分析，给数学模型一个最佳的诠释:用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。6\8n2Ｏ$G&o4F-＿

ﻫ9U'b,ｑ0F＇n4O)＾－w*Ｍ第2章初等模型ﻫ关键词:初等数学简化技巧思想ﻫ

这一章顾名思义，是一些用“初等”数学知识建立、求解的模型，虽然数学知识比较易懂,但是其中的巧妙思想的确十分重要的。！t＇a$m:ｗ'Ｔ&L＇N５e#ｄ'Ｘ

如何把问题做恰当的简化，到简朴的数学工具可以表达、求解的限度，本章做出了很好的例子,同时分析也很精彩。ﻫ

2.1节公平席位分派,通过定义不公平限度等衡量标准,确立目的,提出Ｑ值法。故意思的是，在考虑是否存在一个理论上公平的分派方法时，根据所提出的4个(毋庸置疑的)公理，得出的结论却是：不存在满足上述公理的分派方法。这种类似情况在本书中后面的例子也出现过。

这给我们什么启示呢？有些问题和工作，比如公平席位的分派,平常中是一定要做的,就算不能达成绝对公平也要分派，但一旦证明不存在理论上公平的分派方法时,我们尚有分派的意义吗?答案不一;在这个例子中,固然是故意义的,我们自然转而寻求一个相对公平的分派方法，抑或，就是回溯查看提出的“公理”是不是那么的“公理”，看能否通过删改公理来取得更公平方案。ﻫ

录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均是用平常现象、基础的物理知识和巧妙简化进行的建模分析，这里每个例子中的分析，求解后的解释很重要——它们是整个模型的关键，阐述现象。

2.７实物互换——是后面经济学模型的雏形，无差别曲线的图形方法,拟定这种曲线实际中要收集大量的数据；核军备竞赛一节，也是一个动态的变化过程，基本全是用曲线进行分析的——这里给我们一个思想,得出表达式后，许多时候我们只关注曲线的形状、趋势,因此作图分析是很好的方法,图中可以给我们很多信息(交点,截距,极限值……)，而这些信息都一一相应着它们的实际意义；有些即使没有明显的含义,但也很也许为接下来的铺垫、预测作下铺垫。

2.10量纲分析与无量纲化——是另一种重要的求解方法,大体来说思想就是:仅知道变量之间的制约关系(正／负相关)，系数、阶数均未知,即只能得出表达式的“形式”,要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲的一致)来拟定具体的表达式。这是与按理论推导建模并列的另一种方法，这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法的强大。

关键:恰本地选择特性尺度,不仅可以减少独立参数的个数，还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识和经验是关键。/w,\%H:e；U！]9c９a．~ﻫ＆x7~,d4_#ｊ9kﻫ第2章小结：*Z4`＊ｒ5U!G2C2P9N

本章可以总结为“初等数学知识＋巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型的问题、数学方法，很多都是本书后面章节模型的雏形、基础。*J%l1I:P+l;D/cﻫ/f-F６v#O*R7j/v/Y+O1ｒ9i9ｈ*P

C+z7\！n；O%Gﻫ第3章简朴的优化模型８ｚ

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关键词：简朴优化微分法建模思想

本章与第４章连续两章都是优化、规划的问题,可以当作一类问题——内容上也是由简朴到复杂。在第3章中,重要是几个简朴的优化模型,可以归结到函数极值问题来求解，直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒，但是还是那句——建模，求解之后结果分析、结果解释的思想，是我们要学习和引入脑中的。

３.1存贮模型

分不允许、允许缺货两种讨论，中间推出一个最小费用的结果——经济订货批量公式EOQ。对存贮量函数q(t)作图，观测规律,对结果解释。ﻫ3.２生猪出售时机/E（t6x:h＂x！f+M3Q

关键点在于敏感性分析和强健性分析——这对于优化模型是否实用、有效是很重要的。

3.３森林救火"a8w

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亮点是对火势蔓延限度dB/dt的形式作出的数条假设,以及假设相应的实际解释。只要合理、自圆其说，就是一个好的对实际问题的简化。

3．4最优价格7}%X；ｇ7R*m：Sﻫ

重要是引出边际收入、编辑支出，以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达成。ﻫ3.5血管分支7^＇d3q%|％J"｜ﻫ

是很有趣的一节,用数学模型研究生理问题,我们还是只关注建模、数学的层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多，用合理有力的假设代之。:m;Ｔ"W9O)G1z

3.６消费者的选择

一个消费者买两种产品时，钱应当如何分派。分派比例使他得到最大的满意度的最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型的关键在于拟定效用函数U（q1,q1)。ﻫ3.7冰山运送8Q)`

E,[6k&o7d:Ｅ9jﻫ

也是很有趣的问题，考虑各种因素，基于一些假设,这节研究如何运送冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式，二是假设冰山为球形，简化了融化规律等的计算。ﻫ

d7ｆ(w$r4{(p5Ｕ０X9Ｇﻫ第４章数学规划模型!E1K，h3U７Ｗ.d'F

关键词：数学规划方法linｇo/lindo软件结果进一步分析变量个数ﻫ

约束条件、可行域、目的函数,构成了常说的“数学规划”模型。本章揭示了数学规划的本质，和它与传统优化数学问题的区别:常理优化模型属于函数极值问题的范畴,但实际中更多的是决策变量数、约束个数较大，且最优解往往在边界上取得的问题,因此不能用传统的“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。ﻫﻫ

这一章内容不少,但都是一类问题,重要点有几个：

1．lingｏ、lｉndo求解的使用——运营结果中尚有一些平时未留意的信息，可以作为结果分析来用,前两节叙述较多；

2．一些细节之处：把一句话用数学公式表达，它往往作为约束条件，如p１0２的式（19）;'w(C#ｘ'＠0i，H

3.多目的规划的解决，p109的“选课策略”——基本思想是通过加权组合形成一个新的目的，从而化为单目的规划;ﻫ4.同前面章节同样地，对一个问题解出结果后,问题虽然解决了，但分析并没有结束——我们要学习这种ｆuｒtherdｉscussｉon的精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类的,不妨多问自己一句：“这是偶尔的吗?”然后继续分析,得出一般的结论,这样往往能看到更多的风景,得出的结论更有含金量/启发性,而不是仅仅是解决了该个问题而已。如p10９选课策略。ﻫ５．减少变量个数,简化模型、式子(简化起见，同时lｉngo对变量个数有限制）,p１15销售的例子。ﻫ6．求最优解时,为了减少搜索范围，加快速度，可以先去一个特殊情况求出一个可行解，然后让最优解至少优于它。

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Q４F%C8Ｋ3e4X'?第5章微分方程模型＆＠%_"})_３＾$@

关键词：动态模型合理假设分析预测控制2y5w9K９Y"o＋eﻫ

这一章是非常经典的一章，对微分方程模型作了很好的诠释、介绍，每一个模型都有丰富的价值。对于随时间连续变化的对象或状态，当我们要1）分析变化规律；２）预测；3)研究如何控制它的时候，就要建立相应的微分方程模型。7ｋ"V８z4J(n７y5Mﻫ

自然地,这样的模型功能非常强大,也具有一般性，也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述的东西来刻画一个实际动态过程。一个方程，有时就表达着一件事，这件事有也许还连续几十年——多么有趣而强大。＄`-m＆m/^%b+ｐ5n&ｔ%zﻫﻫ5.1传染病模型$Ｉ&Q)s)y7~-ｐ"b＂?9L-Ａ５L＄ｇ

本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进:SI(只分为易感染着、已感染者），SIS(已感染者可以被治愈，重新变为易感染者）,SＩＲ(治愈后具免疫力,即增长了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进,是对实际传染病情况的逐渐进一步、全面的考虑,而其中的分析十分重要,也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到,这一节有很具体的介绍。＋Ｒ,Ｉ4j，Ｎ8U2＼ﻫ

模型改善、建模目的性、方法三者配合,是本节亮点。6z2G%Ｉ

N＆r－a8[%Nﻫ5.2经济增长模型9F8Ｆ)Y/Z#H9Ｈ#V'Uﻫ

通过建立产值与１)资金；2）劳动力之间的关系,来研究１)资金与劳动力的最佳分派，使效益最大;２）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。ﻫ

本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模型——Douglaｓ生产函数。本节给出的模型推导稍繁，但结果简明，有合理解释。

5.3正规战与游击战

这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型,有传统正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。重点在于建模过程：如何描述战争双方的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。ﻫ5.4药物在体内的分布与排除

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X＃ｑ({（d8ｌ

本节建立了房室模型,研究血药浓度的变化过程，为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1）模型的假设：尽管是简化，但由临床实验证明是对的的,可以接受；2)对参数的估计。ﻫ先由机理分析拟定方程形式，再由测试数据估计参数。1d-K*Ｍ3X&A,＾2Cﻫ5.5香烟过滤嘴的作用&i．T$d7B＆Ｆﻫ

看起来不易下手的一个问题,用恰当的假设,引入两个基本函数ｑ,w，及物理学常用的守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。ﻫ5.６人口的预测和控制ﻫ

本节模型与之前的区别在于:考虑年龄的分布,即除了时间外,年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中,系数、因子的实际含义要解释。(Ｖ)t！z"W％\８w,H*X！ｏﻫ５．7烟雾的扩散与消失ﻫ

这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,并且该指标自身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。8C1@：Ｆ4L-c＄Y＊]

5.8万有引力定律的发现*］0L６G：］%m!c#l&?.N7e3Ｄ

十分故意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律,是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:对的假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何发明性地运用数学方法，来提高我们解决实际问题的能力。.B１h8Ｒ

_＊｀"A%｛（Eﻫ6＾，Ｙ％h&G５Ｑ:ｍ8Yﻫ＄_.E+z6ｒ3C/P＃{1l第６章稳定性模型

关键词：稳定性理论建而不解平衡状态趋势相轨线$B

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本章是建立在上一章的基础上,在微分方程基础上引入的一种重要思想/概念，那就是——对于某些问题，我们也许不关注动态过程的每个瞬时状态，而是研究稳定状态的特性，特别是时间充足长以后的状态／趋势,从而判断是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程(组），即“建而不解”；而是运用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。ﻫﻫ*6.6微分方程稳定性理论简介＂_＂ｂ,Ｎ6n－E)H3X5Ｘ

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这一节应为优先阅读的一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程的平衡点和稳定性。数学推导稍复杂(对于未接触过的同学),重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。0r．]%}%i＊Ｄ

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％Ｏ6G:X1Y(l1@-j&A#ｆ%｜ﻫ6.1捕鱼业的连续收获+ｔ#Ｍ%o!Ｌ't7K)h,ｌ;l

研究捕鱼业产量、效益和捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然看似只需要给出一个“捕捞量”的答案就可以了,但是模型整个过程分析中还是得出了许多结论，如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定的前提下步步进一步。＋t$H０r9^1?０M)a!i

６.2军备竞赛

这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性的知识来分析。正如本节引言所说，军备竞赛因素很多，无法圆满描述，只是想告诉我们：一个复杂实际过程可以被合理简化到什么限度,得到的结果又如何解释实际现象。ﻫ6.3种群的互相竞争6.４种群的互相依存６.5食饵-捕食者模型

这三节作为一个系列，用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型的应用。其中,相轨线分析法再次成为主角，它的意义在于：从图中曲线上直观地看出发展趋势,且特殊点相应的意义作出解释。ﻫ

ﻫ第7章差分方程模型.n/u,N0n*q０Ｙ９Ｗ:ｔ９］ﻫ关键词：差分方程稳定性离散时段差分阻滞增长混沌5P1H０U(N)s＋Z＃w

将时间离散化后,就可以建立与微分方程相相应的差分方程模型。这章与第8章讨论的是拟定性离散模型。事实上有些问题既可以用连续，又可以用离散,要看目的而定。离散的一个优势在于，便于计算机求解。2N5n.{－A（v#]

７.5差分方程简介:介绍差分方程稳定性的知识,判别稳定的条件。本章要用到的知识。ﻫ７.1市场经济中的蛛网模型2Ｓ：L）Ｖ/Ｉ6|+］,f８}

先用图形法建立市场经济的“蛛网模型”，给出趋于稳定的条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头的“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作的参考。

本节最后对结果的解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后的变大/变小,也许意味着什么，我们不要容易放过,而是要时刻不忘解释相相应的因素。!Ｊ*Ｇ5P2H0Ｊ0b9X７r４ｈ

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７.2减肥计划——节食与运动

这是一个很生活的问题,重要讨论如何把一个“超重”的人减到目的的正常范围内（均以WTO颁布的体重指数BMI衡量)。:?!Z）S

v5d%q%ｚ*T'@ﻫ

我认为这个模型的两点仍然在建模自身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化，用数学的语言可以表达,写出差分方程。其中p２08的“基本方程”式(1)是整个模型的基石,有了此式后面的工作就可以往上搭建了。注意到，式(1）其实是一个“建而不解”的方程。６ｒ'R$j0Z1＾１c

但正如节末评注中所述，实际参数的设立会更复杂,代谢消耗系数beｔa也因人而异、因环境而异，所以要有更多核对。但我们先要学习的还是建模这一步。９T(M,h8D8v-c3S0K

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7.3差分形式的阻滞增长模型ﻫ

此节是与之前用微分方程Logｉstｉc规律描述的“阻滞增长”规律最佳的对比。有时,用离散化的时间研究比较方便，本节是很好的参考。(按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好，也更“诚实”些,由于我们也只是想要每个时段的数量）;M,h5C6d+Ｋ0l6R5S９f５Ａ＄Zﻫ

要注意的是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p２11的式(6）后，这个一阶分线性差分方程,也是“建而不解”，但注意：此处“不解”是指不需求通项公式，但各项的值仍要计算——用计算机递推可方便得到。我们最关心的往往是ｋ趋向无穷时，ｙ/ｘ收敛情况，即平衡点稳定性的问题。这里微分、差分方程判别上有区别。

P212中，通过进一步讨论和213页的数据表发现,不同的参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”的规律,即存在多个收敛的子序列。然后发现当ｎ区域无穷时，不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象（Chaｏs）。

混沌的特点为对初值极度敏感，这一点在物理课中老师也提到过，许多非线性方程均是如此，即“差之毫厘，失之千里”，蝴蝶效应。!Ｖ;V7_9ｃ８zﻫ7.４按年龄分组的种群增长$S＃@0J+ｕ9ｉ

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这个模型的重要区别在于:将种群提成n个年龄组，分析各年龄组对种群总量增减的影响。这一节的数学推导稍繁。

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第８章离散模型ﻫ关键词:层次分析排名次冲量过程“分赃”群体决策１u２V6C７k４N$Ｎ7Ｙ(I*z"\$oﻫ（本章是拟定性离散模型的应用、方法）：M６s*Ｙ０｝

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8．1层次分析模型

y#A＄ｇ%u２w;^'q8＿'｝ﻫ

社会经济系统分析工具。排名、评分评价，排等级都可以用层次分析模型解决，数学知识虽然不深,但是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1）“成对比较矩阵”的拟定及修正，2)特性根法求权向量的原理(重要），3)１－9比较尺度（Satｔy等人提出)，4）一致性检查。:Ｒ9＿9a0i!n-_－v"~/L

8.２循环比赛的名次ﻫ

这节也是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法：邻接矩阵＋得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特性根＆相应特性向量ｓ。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵的1级得分向量，若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i＋１级得分向量——这个思想是本模型的关键,并且简朴易用易理解。ﻫ

对于所谓的“下一级”得分向量定义的原理依据，或实际意义,是此思想的关键，我觉得可以接受,看上去很有道理,但未想出具体的解释,这里欢迎指教、讨论。(ｐ246）ﻫ８．3社会经济系统的冲量过程ﻫ

区别于机理分析、记录分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,是近２０23来发展起来的解决复杂系统的有力工具。'H-M.w-Ｏ%Ｄ/Sﻫ

这节模型研究能源系统中，各个因素的趋势、预测问题。重要工具有：带符号加权的有向图，冲量过程（类比物理“冲量“概念)。其目的无非是研究系统的“稳定性”，以及如何“调整”到稳定。这是实际问题关注的。6F4T(ｚ2K＆d６Ｉ8ｔﻫ8．４效益的合理分派5ｏ：n3Ｔ６Ｆ：ｙ-A；?3＠0＾ﻫ

几方(大于3方)合作,已知不同子组合可获得不同收益，那么一起合作后，谁的功劳最大?也就是说，干完活后，如何“分赃”——这里是理性的、用数学推理的公平的“分赃”。.ｒ2Q

Ｋ0ｘ4e２i2oﻫ本节介绍了3类方法：Sｈapley值,协商解等,Raiｆfa解。最后用一个3方分派例子对比了这３种方法。3种方法特点在p262。是客观求各因素权重的有力途径。

8.５存在公正的选举规则吗%n$y％ｏ;ｂ,ｉ

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这一节类似第2章的“公平席位”。重要讨论的是“群体决策”这一类问题。

一方面是简朴的选举规则。)_,｝8v9｝)X5～4ｇﻫ

接着介绍ＡrrｏwK的工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理的选举规则,但很具有启发性。＃q＆＾9_

P#c%ｘﻫ

然后是联合尺度选举规则,它是一个简朴易行的规则（但是对投票情况限制了,才也许满足Aｒrow公理）。

最后是一种与Arｒow公理无关的规则——最小距离,这是一种类比思想，很巧妙地把公平转化为距离之和最小的最优化问题。ﻫﻫ第9章概率模型3\＃p＊U%W3|－}%q，Ｍ"Ｂﻫ关键词：随机模型基础概率生灭过程数值解分析ﻫ

相对“拟定性”模型来说,当随机因素的影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就是比较简朴的随机模型,这一章用我们熟悉的概率分布、盼望、方差等知识介绍概率模型如何解决随机因素的。

关键点有:/i'J+e)J２P&Y7B/z

1．如何定义随机因素相关的量。针对一个实际问题，做好定义是开始工作的主线。：c

\2ｐ'D4w:Y

2.随机概率模型一般从离散角度(一个个时段）下手，但求解中为了需要也许会转化为连续(如p2７４的求和转化为积分）。ﻫ３．要灵活根据实际问题，决定哪些参数应设为定值，哪些参数会变(如9.4轧钢问题,重量服从正态分布中，均方差应认为是已知的定值,而均值是可以调整的)。6Ｖ1N!｀%I6U&[ﻫ4.一般的“生灭过程”参考9．5的随机人口模型——相比之前的人口模型,这个更加一般，考虑的因素更多，更接近实际。

５.有些模型无法解析求解,然而数值计算的结果已满足我们对问题进行分析的需要(9.６预订票策略）。

＃D3d)ｏ.］，I２`(n4rﻫ第10章记录回归模型

关键词:数据拟合

MＡＴLAＢ记录残差分析自相关逐步回归.ｐ3T.o6｀'ｂ(B5ｃ

对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理的问题，我们建模、拟合的通常做法就是搜集大量的数据,用记录方法建立模型——记录回归模型。

关键点有:

１.做散点图，大体判断函数趋势(比如有明显的线性增长),拟定方程形式，待定系数。+ｐ*{４P

Ａ９d"I，Xﻫ2.用MATLAＢ记录工具箱regress拟合，得出结果；重点:如何由ＭＡTLAB输出结果下结论(如置信区间不要包含零点,Ｒ^2、Ｆ）。ﻫ3．（考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题，如1０.1中引入价格差（p２９7最后一段说明)。

４.运用好回归变量的预测(置信)区间。ﻫ５.改善回归模型:逐渐考虑回归变量之间的交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。若ＭATLAB拟合输出信息表白有改善,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型(p30０)。9e.v)_$ｙ8ｎ#z3J%dﻫ6．残差分析(ｐ305,但这页我未看懂具体做法，待交流),及分析得出的结论，我们应当如何改善模型。ﻫ7.p307评注内容：0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。.h９|&J０O2］&Q!E7n"|

8.线性化（ｐ30９）,及非线性MATＬAB求解（ｐ310)；p315最后两段。%D＄Q0r1e(`;Ｐﻫ9.自相关的考虑（１０.4节）:若存在自相关性（具有滞后性，即前期对后期有影响的时间序列),普通回归模型将失去意义。我们必须先检测是否存在自相关(D-W检查、广义差分法）,同时注意若高阶自相关,则必须改善直至不存在自相关为止。

10．逐步回归:因素较多时，排除次要因素，用来选择影响因素显著的变量。

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9＾2b%q:o5g/Ｌ．r第11章马氏链模型＄ｇ6n（F%w＆B８v

关键词：离散随机过程无后效性转移概率状态选取

基本概念ﻫ

这一章介绍了解决离散随机过程的重要工具——马氏链模型，及若干个应用。总体从浅到深，阐述了马氏链的重要思想。.I０｀/R&ｎ-}ﻫ1.无后效性/Markｏv性:系统在每个时期所处的状态时随机的，这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于1)这个时期状态2)转移概率,与以前各时期状态无关。4～9Ｈ.V$[:Ｆ!Ｓ

2．马氏链（MａｒkoｖChain)模型通常描述：已知现在，将来与历史无关,具有无后效性的，时间状态均离散的随即转移过程。

3．一些拟定性系统的状态转移问题也能用马氏链解决。

:ｎ４u!O)Ｇ-G1S6Ｆ９Ｑﻫ一、健康与疾病ﻫ

重要介绍马氏链基本概念、要素：系统的状态,状态概率，转移概率，马氏链基本方程,状态概率向量，转移概率矩阵。本章讨论时齐的(转移概率与时段n无关)马氏链。９n9y'Z４}"H;O3]

同时介绍２种重要类型——ﻫ

1）正则链:从任意状态出发，通过有限次转移都能达成此外的任意状态(如何判断是正则链、相应定理);5Ｒ#ｗ-B１x:^/n

Ｆ:｝＆y０~）wﻫ

２)吸取链：一方面引入吸取状态,顾名思义吧,就是某个状态的转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸取”掉。

吸取链是(至少)存在一个吸取状态,使马氏链从每个费吸取状态出发,能有限次到某个吸取状态。％＠,A,|+G

Ｍ&T;ｎ,@ﻫ二、钢琴销售的存贮策略,Ｈ(A

?0i3a:y，]$D3^ﻫ

动态随机存贮。一个简化的存贮模型，关键是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵的设立和求解。判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布ｗ,就是达成稳态后的情况，然后用全概率公式算出失去销售机会的也许性。这个模型虽然简朴，但却是动态存储马氏链的浅显易懂的好例子,其中结合实际问题具体分析是最值得学习的。１i7S8ｍ4`:l$~9f-Ｐ

三、基因遗传:_＋i0h：ｃ;F2Y

用马氏链模型研究遗传过程