江苏省宿迁市孙园中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析

江苏省宿迁市孙园中学2021-2022学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=lnx+x2+a﹣1有唯一的零点在区间（1，e）内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，0） B．（﹣e2，1） C．（1，e） D．（1，e2）参考答案：A【考点】二分法的定义．【分析】利用导数得到函数为增函数，由题意可得f（1）＜0且f（e）＞0，解得即可．【解答】解：∵f（x）=lnx+x2+a﹣1，∴f′（x）=+2a＞0在区间（1，e）上恒成立，∴f（x）在（1，e）上单调递增，∵函数f（x）=lnx+x2+a﹣1有唯一的零点在区间（1，e）内，∴f（1）＜0且f（e）＞0，即，解得﹣e2＜a＜0，故选：A2.如下四个函数，其中既是奇函数，又在是增函数的是

A、

B、

C、

D、参考答案：C3.若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上（

）

A.是减函数，有最小值0

B.是增函数，有最小值0

C.是减函数，有最大值0

D.是增函数，有最大值0参考答案：D略4.若幂函数的图象经过点，则的定义域为（

）A．R

B．(－∞,0)∪(0,+∞)

C．[0,+∞)

D．(0,+∞)参考答案：D由题意得，幂函数，所以定义域为。故选D。

5.函数的值域是（）

A.[－1，1]B.[-2,2]C.[0,2]D.[0,1]

参考答案：解析：对于含有绝对值的三角函数，基本解题策略之一是将其化为分段函数，而后分段考察，综合结论，在这里，当x≥0时，－2≤2sinx≤2即－2≤y≤2；当x<0时，y＝0包含于[－2，2].

于是可知所求函数值域为[－2，2]，故应选B.6.若sin（α+）=，且α∈（，），则cosα=（）A．﹣ B． C． D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+），再利用两角差的余弦公式求得cosα的值．【解答】解：∵sin（α+）=，且α∈（，），∴α+∈（，π），则cos（α+）=﹣=﹣，∴cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣?+?=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．7.（5分）已知点A（x，y）是30°角终边上异于原点的一点，则等于（） A． B． ﹣ C． D． ﹣参考答案：C考点： 任意角的概念．专题： 三角函数的求值．分析： 利用任意角三角函数的定义知：点A（x，y）是α角终边上异于原点的一点，则=tanα，由此利用正切函数的定义能求出结果．解答： ∵点A（x，y）是30°角终边上异于原点的一点，∴=tan30°=．故选：C．点评： 本题考查任意角三角函数值的求法，是基础题，解题时要熟练掌握任意角三角函数的概念．8.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[－2,1)时,f(x)＝则f()＝(

)A.0

B.1

C.

D.－1参考答案：D9.下列命题中：①存在唯一的实数 ②为单位向量，且③ ④与共线，与共线，则与共线⑤若，其中正确命题序号是（

）A．①⑤ B．②③ C．②③④ D．①④⑤参考答案：B10.若函数f（x）=，则f（﹣1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：C【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式直接求出f（﹣1）的值即可．【解答】解：因为函数f（x）=，所以f（﹣1）=﹣（﹣1）+1=2，故选C．【点评】本题考查分段函数的函数值，注意自变量的范围，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图像关于点P对称，则点P的坐标是

．参考答案：12.在△ABC中，，其面积为，则tan2A?sin2B的最大值是

.参考答案：3﹣2【考点】9R：平面向量数量积的运算；HW：三角函数的最值．【分析】根据数量积运算与三角形的面积公式求出C的值，从而求出A+B的值；利用三角恒等变换化tan2A?sin2B为tan2A?，设tan2A=t，t∈（0，1）；上式化为t?=，利用基本不等式求出它的最大值．【解答】解：△ABC中，，∴bacos（π﹣C）=﹣bacosC=2，∴abcosC=﹣2；又三角形的面积为absinC=，∴absinC=2；∴sinC=﹣cosC，∴C=，∴A+B=；∴tan2A?sin2B=tan2A?sin2（﹣A）=tan2A?cos2A=tan2A?（cos2A﹣sin2A）=tan2A?=tan2A?；设tan2A=t，则t∈（0，1）；上式化为t?===﹣（t+1）﹣+3≤﹣2?+3=3﹣2，当且仅当t+1=，即t=﹣1时取“=”；∴所求的最大值是3﹣2．13.已知数列的前项和，第项满足，则

.参考答案：14.高斯函数[x]表示不超过x的最大整数,如[－2]＝－2,[]=1,已知数列{xn}中,x1=1,xn=+1+3{[]－[]}(n≥2),则x2013＝.参考答案：解:∵0＜＜,＜＜∴π＜+β＜

＜α+＜……2分∴sin(=－,cos(α+)=－…………………6分∴sin=sin[(α+)－(+β)]=sin(α+)cos(+β)－cos(α+)sin(+β)=·(－)－(－)·(－)=－－=－……12分略15.已知，则=__________________参考答案：略16.集合A={lg2，lg5}，B={a，b}，若A=B，则的值为．参考答案：【考点】集合的相等．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据集合的相等求出a+b=1，代入代数式，从而求出代数式的值．【解答】解：集合A={lg2，lg5}，B={a，b}，若A=B，则a+b=lg2+lg5=lg10=1，===，故答案为：．【点评】本题考查了相等集合的定义，考查对数的运算性质，考查代数式的变形，是一道基础题．17.圆的圆心到直线的距离_____．参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，点E是A1B与AB1的交点，D为AC中点.（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：AB1⊥平面A1BC.参考答案：证明：（1）连结，∵直棱柱中，为与的交点，∴为中点，为中点，∴又∵平面，平面∴平面.（2）由知∵，∴四边形是菱形，∴.∵平面，平面∴∵,平面，∴平面∵平面，∴∵，平面，∴平面19.（本小题8分）已知（1）

若与共线，求（2）

若与垂直，求参考答案：与共线

解得

（3分）（2）与垂直

（1分）

解得

（2分）

20.（12分）已知函数（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图象；（2）写出f（x）的单调递增区间．参考答案：考点： 分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．专题： 常规题型；作图题．分析： 本题考查的是分段函数问题．在解答时，对（1）应先根据自变量的范围不同根据相应的解析式画出不同段上的函数图象，进而问题即可获得解答；对（2）充分利用第一问中函数的图象即可直观的看出函数的单调递增区间，注意多个单调区间之间用逗号隔开或用和连接．解答： （1）由题意可知：当x∈[﹣1，2]时，f（x）=﹣x2+3，为二次函数的一部分；当x∈（2，5]时，f（x）=x﹣3，为一次函数的一部分；所以，函数f（x）的图象如图所示；（2）由函数的图象可知：函数f（x）的单调递增区间为：[﹣1，0]和[2，5]．点评： 本题考查的是分段函数问题．在解答的过程当中充分体现了函数图象的画法、单调性的分析以及问题转化和画图读图的能力．值得同学们体会反思．21.已知关于x的函数.（1）若函数是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞1时，对任意，记的最小值为n，的最大值为m，且n+m=3，求实数a的值.参考答案：解：（1）因为函数是偶函数，所以，即，所以.（2）当时，函数在上单调递减，所以，，又，所以，即，解得（舍），所以.

22.已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜1}．（1）若a=﹣，求A∪B；（2）若A∩B=?，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】（1）化简集合A，再求A∪B；（2）若A∩B=?，则a﹣1≥1或a+1≤0