行列式定义课程学习

线性代数是研究自然现象数量关系规律的学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.目前,不仅高等学校很多专业都要设这门课程,而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学好的重要课程.

《线性代数》前言第1页/共37页第一页，共38页。

教材

《线性代数》主要教学参考书

华中科技大学大学编

高等教育教育出版社第2页/共37页第二页，共38页。国内有关经典教材1.《线性代数》

同济大学著高等教育出版社

1999年版2.《线性代数》解国瑞著高等教育出版社1998年版国外有关经典著作1.《LinearAlgebra》P.-S.拉普拉斯著

2001年版第3页/共37页第三页，共38页。数学是什么：数学是研究现实中数量关系与空间形式的科学.线性代数的特点：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性。第4页/共37页第四页，共38页。线性代数理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.尤其是计算机日益普及的今天,求解线性方程组等问题已成为研究科技问题经常遇到的课题.例如:1.国民经济投入产出理论2.提高产品质量——数学在微观经济学中的应用本学科的应用3.信息处理第5页/共37页第五页，共38页。线性代数的学习方法因人而异在学习中注意以下几个环节

1.课前预习2.认真听讲3.复习巩固本学科的学习基本方法

4.作业5.答疑6.融会贯通第6页/共37页第六页，共38页。第1.1节行列式的定义线性代数第7页/共37页第七页，共38页。主要内容:一、二阶与三阶行列式二、n阶行列式的定义三、思考与练习第8页/共37页第八页，共38页。问题的提出：求解二、三元线性方程组二阶、三阶行列式引出引出n阶行列式第9页/共37页第九页，共38页。一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组：由消元法，得得同理，得于是，当时，方程组有唯一解.第10页/共37页第十页，共38页。为便于记忆，引进记号称记号为二阶行列式.其中，数称为元素为行标，表明元素位于第行为列标，表明元素位于第列第11页/共37页第十一页，共38页。注:(1)二阶行列式算出来是一个数。(2)记忆方法：对角线法则主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积.因此，上述二元线性方程组的解可表示为第12页/共37页第十二页，共38页。综上，令则，称D为方程组的系数行列式。第13页/共37页第十三页，共38页。例1：解方程组解：因为所以第14页/共37页第十四页，共38页。2.三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组引进记号称之为三阶行列式.其中，数称为元素为行标，为列标。第15页/共37页第十五页，共38页。(1)沙路法三阶行列式的计算:.列标行标第16页/共37页第十六页，共38页。(2)对角线法则注意:

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明:

1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．第17页/共37页第十七页，共38页。2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例：第18页/共37页第十八页，共38页。

如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组:第19页/共37页第十九页，共38页。可以验证，方程组有唯一解，其中，第20页/共37页第二十页，共38页。例2:解:方程左端解得由第21页/共37页第二十一页，共38页。例3:

解线性方程组解:由于方程组的系数行列式第22页/共37页第二十二页，共38页。同理可得故方程组的解为:第23页/共37页第二十三页，共38页。二、n阶行列式的定义由n行n列元素组成,称之为n阶行列式(determinantofordern)第24页/共37页第二十四页，共38页。行列式这个词是Cauchy（柯西）把它用于已经

出现在十八世纪著作中的行列式的．把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的.（两个竖条线是Cayley（凯莱）在１８４１年引进的）．第25页/共37页第二十五页，共38页。定义

由n阶阶行列式D中划去第i行第j列元素后剩下的n-1行n-1列元素组成的n-1阶行列式，即:

称为元素的余子式,称为元素的代数余子式.第26页/共37页第二十六页，共38页。n阶行列式的定义定义1.1注：上式归纳地定义了任意n阶行列式的值.第27页/共37页第二十七页，共38页。注意:在n阶行列式展开式中(1)共有n!项;(2)每项由来自不同行不同列的n个元素相乘而得到;(3)展开式中正负号各一半，即各n!/2项;(4)第28页/共37页第二十八页，共38页。例4:

计算上三角行列式(uppertriangulardeterminant)第29页/共37页第二十九页，共38页。分析这是一个n阶行列式，但它的第一列除所以利用定义展开时只有一项不为零，于是解:都是零，第30页/共37页第三十页，共38页。例5:第31页/共37页第三十一页，共38页。定理1.1

设D是n阶行列式，则对任意

第32页/共37页第三十二页，共38页。同理可得下三角行列式(lowertriangulardeterminant)第33页/共37页第三十三页，共38页。例6:

证明对角行列式(diagonaldeterminant)第34页/共37页第三十四页，共38页。证明:第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义第35页/共37页第三十五页，共38页。思考题:求第一行各元素的代数余子式之和解答:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成三、思考与练习第36页/共37页第三十六页，共38页。感谢您的观看！第37页/共37页第三十七页，共38页。内容总结线性代数是研究自然现象数量关系规律的。第1页/共37页。数学是什么：数学是研究现实中数量关系。说明:1.对角